高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数导学案

任意角的三角函数和弧度制及任意角的三角函数

一、学习目标：1.三角函数的定义：2.三角函数线（单位圆中）

二、自主学习：

【课前检测】

已知角的终边经过点，则的值是_________。答案：

2．求的值为         。答案：

3．设是第四象限的角，则和的大小关系为____________。答案：>

4.函数的值域为____________。答案

【考点梳理】

1.三角函数的定义：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：.

设点为角终边上任意一点，那么：（设）

     ，，.

2.，，在四个象限的符号（一全正二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c”）

3.三角函数线（单位圆中）

   正弦线：MP;   余弦线：OM;    正切线： AT.

4.三角函数的定义域

5. 特殊角的三角函数值

6.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。即：

解读：1）化不在的角的三角函数为在的角的三角函数；

      2）三角函数值有“周而复始”的变化规律，呈现明显的周期性。

三、合作探究：

例1．  若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（   ）

  A.              B.－            C.－          D.－

答案：C

变式训练1: 已知角的终边经过，求的值.

错解：

错因：在求得的过程中误认为0

正解：若，则，且角在第二象限

若，则，且角在第四象限

变式训练2: 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.

解：∵角的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),

则x=4t,y=-3t,

r=|t|,

当t＞0时，r=5t,

sin=,cos=,

tan=;

当t＜0时，r=-5t,sin=,

cos=,

tan=.

综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;

t＜0时，sin=,cos=-,tan=.

小结与拓展：

（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；

（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.

例2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

（1）                                  （2）

（3）                                   （4）

变式训练:下列四个值:sin3,cos3,tan3的大小关系是(     )

A.cos3＜tg3＜sin3   B.sin3＞cos3＞tg3   C.tan3＜cos3＜sin3   D.sin3＞tan3＞cos3

答案：D

小结与拓展：

例3．在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:

   (1)sin≥;                 (2)cos≤.

解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，

则OA与OB围成的区

域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为

|2k+≤≤2k+，k∈Z  .

（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）

即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为

  .

变式训练: 求下列函数的定义域：

（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.

解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

∴x∈（k∈Z）.

（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),

∴x（k-,k+）（kZ).

四、课堂总结：

五、检测巩固：

1.已知是第二象限角，其终边上一点为，且，求与的值。答案：

2.若角的终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且，则等于_________。答案：2

3．(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P(－4cos α，3cos α)(<α<)，则sin θ＋cos θ＝________.

解析　∵r＝

＝5|cos α|＝－5cos α，

∴sin θ＝＝－，cos θ＝＝.

∴sin θ＋cos θ＝－＝.

答案　

5． (2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上

的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cosβ＋tan α·tan β的值．

解　由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，

点Q的坐标为(2a，a)．

sin α＝＝，

cos α＝＝，

tan α＝＝－2，

sin β＝＝，

cos β＝＝，

tan β＝＝，

故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β

＝·＋·＋(－2)×＝－1.

六、学习反思：