高中人教版新课标A1.6 三角函数模型的简单应用教案

这是一份高中人教版新课标A1.6 三角函数模型的简单应用教案，共75页。教案主要包含了教材分析，本单元所需教学资源的概述，本单元学时建议，布置作业等内容，欢迎下载使用。

人教数学A版教材必修4第一章三角函数Ⅱ教学设计
一、教材分析
1、本单元的教学内容的范围
1.1 任意角的概念与弧度制
1.1.1角的概念的推广
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.2 任意角的三角函数
1.2.1三角函数的定义
1.2.2单位圆与三角函数线
1.2.3同角三角函数的基本关系式
1.2.4诱导公式
1.3 三角函数的图象与性质
1.3.1正弦函数的图象与性质
1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
1.3.3已知三角函数求值
2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用
（1）三角函数在高中课程中的地位和作用
三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学（Ⅰ）中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。

（2）本章知识结构

三角函数的图象与性质
任意角的三角函数
角度制与弧度制
任意角的概念



已知三角函数值求角
诱导公式
同角三角函数关系
扇形的弧长与面积


3．本单元的教学内容总体教学目标
1）知识和技能目标
（1）任意角、弧度
　　 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
　 ② 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（，能画出的图象，了解三角函数的周期性。
　　③ 借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）。
④ 理解同角三角函数的基本关系式：

⑤ 结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2）过程与方法目标
①用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。
②正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。
③通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。
④结合有关内容（如角度与弧度的换算，已知角求它的三角函数值，已知三角函数值求角）进行算法的基本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解决问题。
3）情感，态度和价值观目标
①通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的。
②通过对同角三角函数的基本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯物主义思想。
③通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
4．本单元的教学内容重点和难点分析
①本单元教学内容的重点：任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数的图象和正弦函数图象的关系。
（2）本单元教学内容的难点：弧度制和周期函数的概念，正弦型函数的图象变换，综合运用公式进行求值、化简和证明等。
二、与本单元教学内容相适应的教学方法和教学方法概述
合理选用启发式讲授、探究性学习、合作学习等多种教学方法，结合教材特点、学生基础确定切合教学实际的教法。
三、本单元所需教学资源的概述
几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件、人教社网站，相关资料包（光盘、试题、等）
四、本单元学时建议
1.1 任意角的概念与弧度制 2课时
1.2 任意角的三角函数 7课时
1.3 三角函数的图象与性质 6课时
本章小结 1课时
（共计16学时，仅供参考）
1.1.1 角的概念的推广——任意角、终边相同的角、象限角
教学目标
『知识与技能』
1． 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；
2． 能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3． 能用集合和数学符号表示象限角；
4． 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

『过程与方法』
1. 通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用；
2. 通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容；

『情感、态度和价值观』
通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.

知识的重点
形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法

知识的难点
终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

教学方法
本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.

教学过程
环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.












复习动态的数学观指导下，按“图形（旋转）变换”的方式定义角.



















『提问』角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？
『解答』有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

『提问』不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？
『解答』两个，和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）.

『提问』在图上我们如何区分这两个角？
『解答』标示、添加描述条件等

『提示』『演示』
为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.

『提问』两种定义方式有什么异同之处？
『解答』
角
组合式
旋转式
边
两条射线
一条射线，另一边是其经过旋转变换的结果
顶点
公共端点
旋转中心
个数
两个
？
范围
0°～360°
？

『思考』在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：
1． 一次旋转而得的角有几个？
2． 两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？
3． 当旋转超过一周时，如何描述旋转量？







发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.









比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备









概念形成
任意角的概念

按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
当射线没有旋转时，叫做零角.
在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.









任意角的图示方法







如图(课本图1－1)，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.
显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充.
一． 任意角的概念
我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？
（1） 旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；
（2） 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.这样质疑二中的问题就可以解决了；
（3） 旋转中心：作为角的顶点.

『板书』『画图』
按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
当射线没有旋转时，叫做零角.
在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.








如图(课本图1－1)，射线OA绕端点O旋转到OB的位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边.以OB为始边，OA为终边的角记作∠BOA.
例：∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°.







以旋转变换的要素为线索，发现旋转式定义是如何扩充角的概念的

























应用举例
『例题』如图（课本图1－2），射线’OA绕端点O旋转，旋转的绝对量超过了周角，按照图中箭头所指的方向和弧线表示的周数，可以表示角的度数.

『练习』读角练习
教师讲解，学生练习
在实践中巩固所学概念
概念应用
角的合成与运算问题

各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
二． 角的合成与运算
『例题』课本P4
『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.
于是，角的合成可以用实数运算来表示.
『练习』
1． 课本P7.练习A.5题
2． 课本P6练习A.2题（3）

让学生体会数形结合思想的应用







概念形成
如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.




一般地，如果是终边相同的角，那么我们记
，
当k＝0时，两个角相同.

























终边相同的角的集合形式：
设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为

如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.
因此我们定义：
三． 终边相同的角
1． 定义
如果当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角与角是终边相同的角.
2． 表示方法
『思考』终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？
『解答』终边相同的角度数不一定相等；而度数相等的角终边一定相同？

『思考』终边相同的两个角的度数有什么关系？
『解答』终边相同的两个角的位置关系是——两边重合，数量关系是——差是360°的整数倍.
『思考』设是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？
『解答』，通过变形可以得到

『小结』一般地，如果是终边相同的角，那么我们记
，
当k＝0时，两个角相同.
『说明』
我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的.
从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合.
旋转初值
整数k 形式化 旋转次数
强调建立坐标系的方法
360° 单位旋转量

3． 终边相同的角的集合
设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为
.
集合中的每一个元素都与的终边相同，当k＝0时，对应元素为.
定义终边相同的角









引导学生发现终边相同的角的表示方法


















借助终边相同的角的表示方法，研究旋转变换的数量表示形式，体现数形结合的思想与方法










应用举例
1．写出与下列各角终边相同的角的集合S，并在0°～360°内找出与它们终边相同的角.
（1）－150°
（2）650°
（3）－950°15’

2．课本P6.例4
教师讲解，学生练习
在实践中巩固所学概念
概念推广
从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法

例如，
，表示角每次旋转180°，角与角的终边关于原点对称.

表示角每次旋转90°，角与角的终边关于坐标轴对称.

※角与角－的终边关于x轴对称等.

四．符号表示终边满足一定条件的角
『例题』已知，角＝45°，角的终边与角的终边关于原点对称，写出角的集合S.
『解答』
『思考』比较与角终边相同的角的集合，你能发现什么？
『讨论』
『小结』在中，表示旋转初值，整数k表示旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程.例如，表示角每次旋转180°，角与角的终边关于原点对称.
『思考』类似地请你自己做一些探究.
『结论』表示角每次旋转90°，角与角的终边关于坐标轴对称.
※角与角－的终边关于x轴对称等.
终边相同的角的表示方法的推广，即旋转变换的数量表示形式、数形结合的思想与方法的练习，这是本节的提升点
重点在于让学生建立起图形变换可以通过数量关系式加以描述的观念，并掌握具体方法







用探究所得的思想和方法解决新问题
应用举例
『例题』课本P5.例3；

『练习』
1． 写出终边在y轴上的角的集合；（课本P7.练习B.1）
2． 写出终边在一、三象限角平分线上的角的集合.（课本P7.练习B.2）
3． 课本P7.练习B.3
教师讲解，学生练习
在实践中巩固所学概念
概念推广
平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
五．象限角的概念
今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.
『定义』
平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
将任意角等概念与坐标系相结合，为三角函数做准备

应用举例
『例题』
1． 课本P7.练习A.4
2． 课本P7.练习B.4
3． 如果用数轴上的点表示角度，象限角所对应的点如何分布？
4． 新学案P1.例题2
教师讲解，学生练习
第3题，进一步明确终边相同的角的周期性，为三角函数做准备
总结回顾
1、 任意角的概念
2、 角的合成与运算
3、 终边相同的角的表示方法
4、 终边满足一定条件的角的表示方法
5、 象限角的概念与表示方法
教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图
本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识
作业
新学案 A组、B组
下节课通过测验检查作业落实情况
课后练习，巩固所学
备注
本节所选例题超过课时限制，宜在实际操作中加以选择
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
四、教学过程：
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图





复
学
引
入
1． 复习上节课所学角的概念。
2． 初中所学的角度制。
师：上节课我们把角的概念进行了扩充，角分为几类？（正角、负角、零角）
师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
答：周角的1/360为1度的角。
师：这种用角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。（板书课题）

共同回顾角度制，从而为下面角度制与弧度制的比较埋下伏笔。

概念
形成














概
念
形
成
1． 圆心角、弧长和半径之间的关系：
在同心圆中，同一圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即
定值.
2． 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3． 与角度制相比：
(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；（3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4． 公式：，表示的是在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是 rad。


1． 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，如图所示，但都对应同一个圆心角。
教师用多媒体演示，引导学生思考=定值，并与学生一起探究相等的原因：设，弧长为，半径为，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2． 在给出弧度的定义之后，请同学们讨论弧度制与角度制的区别和联系，教师加以概括总结。
3． 用公式求圆心角时，应强调其结果是圆心角的弧度数，并要求学生掌握此公式的变形形式：和。
1．边演示边说明，使学生通过图像来获取对新概念的直观印象。






2．通过和学生一起探究，使学生明白新概念的由来，从而加深理解。











3．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移和联想，加深对概念的理解；通过分组讨论，加强学生间的交流和合作，发挥他们学习的主动性。
4．由于在物理上计算角速度时要经常用到此公式，因此要求学生掌握它及其两个变形。


弧度制与角度制的换算











弧度制与角度制的换算
1． 用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的。
2． 周角的弧度数：
rad
3． 换算公式：
rad=,
rad.
4．特殊角的角度数与弧度数的对应表
5．角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。
6．把角度值换算为弧度值的一个“算法”：
（1）给变量和圆周率的近似值赋值；
（2）如果角度值是以“度、分、秒”形式给出，先把化为以“度”为单位的10进制表示；
（3）计算，得出的结果赋给变量；
（4）计算，赋值给变量。

1． 由上面的公式可以计算给定弧长和半径的圆心角的弧度，请同学们考虑一下，人给一个角度时怎么换算成弧度呢？反过来又该怎么做呢？
2． 先引导学生计算周角的弧度数，在此基础上再来考虑换算问题，并和学生一起推导出两个换算公式。补充负角所对应的弧度数。
3． 通过学生的实际计算和运用，让学生熟练掌握特殊角的角度和弧度的对应表。
4． 同学分组讨论一下角的集合与实数集的对应关系。
答：一一对应。
问：在这两种单位制下都是一一对应吗？
由于每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应，因此，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。
5．根据上面的公式，带领学生写出由角度换算为弧度的算法，让学生自己写出由弧度换算角度的算法。
1．让学生意识到相互转换得必要性和重要性，激发学生积极思考问题。
2．从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展。


3．观察分析和小组讨论相结合，进一步加深学生对新知识的理解和掌握。


4．写算法一方面训练学生的逻辑思维能力，另一方面也为后面学习算法打下基础。







典型例题
例1 （1）把化成弧 度（精确到0.001）；
（2）把化成弧度（精确到）。
例2 把化成度。
例3 扇形AOB中，所对的圆心角是，半径是50米，求的长（精确到0.1米）。
例4 利用弧度制推导扇形面积公式其中是扇形的弧长，是扇形的半径。
例1、例2学生板书，教师指导。
例3、例4教师讲解并板书，在解题步骤的规范性上为学生做好榜样。
关于例4，请学生思考：把扇形面积公式和三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？
通过例1和例2 让学生掌握弧度和角度换算的方法，例3 是弧长公式的应用，例4是推导扇形面积公式，从而对相关问题的解决提供工具。

归纳小结
1．1弧度的角和弧度制的定义；
2．弧度与角度的换算；
3．弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
让学生谈谈本节课的收获，教师归纳。
注重学生学习的自主性，发表本节课的体验和收获。

布置作业
层次一：教材练习A，2，4，5。
层次二：教材练习B，4；习题1-1A，2。
层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。
通过分层作业，使不同层次的学生进一步巩固本节课所学知识。



附录（表格和图）：


度













弧度





























1．2．1（第一课时）任意角的三角函数的定义（一）
一、 学习目标
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
二、重点难点
教学重点：三角函数的定义和定义域。
教学难点：根据任意角三角函数定义求三角函数值
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
三、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:



教师提出问题：初中是如何定义角的？
师:前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数.
温故知新
概念形成
1．用坐标形式表示出中所学的锐角三角函数
设点P（x,y）是锐角终边上的任意一点，记OP=r(r≠0),
则，，

2．任意角的三角函数
设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)
则P与原点的距离根据三角形的相似知识得到均为定值。
比值叫做的正弦,
记作：
比值叫做的余弦,
记作：
比值叫做的正切,
记作：
(4)角的其它三种三角函数
比值叫做的余切,
记作：
比值叫做的正割,
记作：
比值叫做的余割,
记作：

1. 以坐标原点为锐角的顶点,以Ox轴为角的始边,则角的终边落在直角坐标系的第一象限内,若设点P(x,y)始终边上的任意一点,记OP=r(r≠0),试将角的三角函数用x,y,y表示出来.
学生作图,教师在此过程中要引导学生在坐标系中做出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形.该过程中要适时指点学生,并加强学生与学生之间的讨论与交流.
回答问题:教师通过多媒体将此过程展示给学生,明确坐标与三角函数的关系.
2. 教师提出问题:
问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意角的三角函数定义吗?
由学生讨论回答.
问题2: 角的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？
这是一个较有思考价值的问题,教师要注意正确地引导和必要地提示,锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关,与直角三角形的大小无关,类似地-…
问题3: 依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，他们的自变量是什么？x还是y？r还是？

将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中的讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。
2．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。通过讨论，充分发挥学生学习的主动性
概念深化
1。角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。
2．定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没用说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上的除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
3．三角函数是以“比值”为函数值的函数
4．对于正弦函数sinα=，因为r>0所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域R;类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα=,因为x=0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x=0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义。
现将它们列表如下:


三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠kπ+,k∈Z }


对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题:谈到函数,定义域要先行.在此,对三角函数的定义与要进一步地明确,确定三角函数的定义域的依据就是任意角的三角函数的定义.三角函数是以角为自变量的函数,如何去确定这些函数定义域?他们的定义域是什么?
由学生讨论回答
1． 让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角的终边，至于是转了几圈,安什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.
2． 使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数包含锐角三角函数.实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。
3． 让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。
应用举例
例1.已知角的终边过点P(2,-3)，求的六个三角函数值.
例2.求下列各角的六个三角函数值
（1）0
（2）π
（3）

学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导
让学生巩固六种三角函数概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。
归纳小结
1。知识：三角函数的定义及其定义域
2．数学思想方法：数形结合思想；类比法。


让学生学会学习学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用
布置作业
层次一：教材练习A,1~3
层次二：教材习题1-2A,1,2

使学生进一步巩固和应用所学知识



















1．2．1（第二课时）任意角的三角函数的定义（二）
学习目标：
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等
教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
任意角的三角函数定义
教师提出问题：任意角的三角函数是如何定义的？
温故知新，为新课引入埋下伏笔
概念的形成
1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离，
比值只与角的大小有关.

2．三角函数是以“比值”为函数值的函数。
3．三角函数值的符号的讨论
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

教师提出问题：我们发现这三个比值中而x,y的正负是随象限的变
化而不同，故三角函数的符号应由象限确定请同学们探讨一下三角函数值的符号是如何？

问题2。你能否归纳出更易记忆的规律？
学生甲：记忆法则：
第一象限全为正,二正三切四余弦.
学生乙：


为正 全正
为正 为正
学生丙：







教师点评：

由学生讨论得出新的结论
应用举例
例1.确定下列三角函数值的符号
(1) cos260º (2)
(3) tan(-672º20’)
(4)
例2.设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。
例3填表：如表1
学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导
让学生巩固六种三角函数的符号，感受三角函数的定义在三角函数符号中的作用。
巩固特殊三角函数值
表1
a
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
















































课堂练习
1.确定下列各式的符号
(1)sin10º·cos240º
(2)sin5+tan5
2. x取什么值时,有意义?
3. 若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为……（）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（）
A: sina+cosa0 B: tana-sina0
C: cosa-cota0 D: cotacsca0
5．已知q是第三象限角且，问是第几象限角？
6．已知，则q为第几象限角？
分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号
分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.
B
B
∴必为第二象限角
必为第二象限角
学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导
复习这两节课有关的知识内容
归纳小结
本节课我们重点讨论了,三角函数在各象限内的符号，确定函数值的符号，这个内容是我们日后学习的基础。


让学生学会学习学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用
布置作业
层次一：教材练习A,4教材练习B,3,4
层次二：教材练习B,5


使学生进一步巩固和应用所学知识




1.2.2单位圆与三角函数线
一、教学目标
1.知识目标：单位圆、有向线段的概念；正弦线、余弦线、正切线。
2.能力目标：理解并掌握单位圆、有向线段的概念，正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
3.情感目标：通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。
二、重点与难点
重点正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值。
难点正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
三、教学方法
讲授法
讲清楚单位圆、有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，让学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应。对理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在。
四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习导入
上节课我们学习了三角函数的
定义以及三角函数在各象限内
的符号。由三角函数的定义我
们知道对于角的各种三角
函数我们都用比值来表示，或
者说用数来表示。
今天我们再来学习正弦、余弦、
正切函数的另一种表示方法---
几何表示法。先看日常生活中
的一个实例：观览车在转动过
程中，座椅离地面的高度随着
转动角度的变化而变化，高度
与转动角度的关系如何？

生：三角函数的定义以及三角函数在
各象限内的符号。
通过复习再用实
例导出今天要学
习的正弦、余弦、
正切函数的另一
种表示方法---几
何表示法，即正
弦线、余弦线、
正切线.
预备知识
1. 单位圆概念
2. 有向线段概念
师：把半径为1的圆叫做单位圆。
生：半径为1中的“1”的单位是什
么
师：“半径为1”中的“1”指的是1
个单位长，可以是1cm、1dm、1m、
1km等，都是1个单位长。即单位
圆的半径是1（个单位长）
师：带有方向的线段叫有向线段。
注：有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。
单位圆概念的深刻把握。
正弦线、余弦线、正切线的定义






实例的解决
师： 边作图边叙述
以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为1个单位长建立直角坐标系。设点P为转轮边缘上一点（考虑点P在不同象限的情况），它表示转椅的位置，记为角XOP

其中
生：利用单位圆有向线段概念及正弦函数的定义可知



把有向线段OM、ON、AT（即向量）分别叫做角的余弦线、正弦线和正切线。
师：当点P在二、三、四象限的情况时，教师画出图，引导学生找正弦线、余弦线、正切线。
（2）
（3）
（4）
通过实例引出正弦线、余弦线、正切线的定义
正弦线、余弦线、正切线的应用
1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。
2.比较大小：
和
和
和
3.已知,求。






学生作答
正弦线、余弦线、正切线的强化训练。
归纳小结
给定任意一个角能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线
师：三角函数线的位置
生：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直的有向线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
师：三角函数线的方向
生：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点有指向垂足；正切线由切点指向与终边（或其反向延长线）的交点。
师：三角函数线的正负，即三条有向线段的正负。
生：凡与轴或轴同向的为正值，反向的为负值。
特殊情况：
①当角的终边在轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这是正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或-1。
②当角的终边在轴上时，正弦线MP=1或-1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
让学生明确本节课的重点和要达到的要求。
布置作业
1.必修4:P21练习A、练习B。
2.课后思考题：
必修4：P21探索与研究

对本节内容及时巩固
















1.2.3 同角三角函数的基本关系式

教学目标：
⒈理解同角三角函数的基本关系式，会用解方程组的通法求三角函数值；
2．培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
3．通过对同角三角函数的基本关系式的学习，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。
教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明)
教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：
本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用。要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．
教学过程：

教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复

习

引

入



复习单位圆和三角函数线；三角函数定义和勾股定理
教师提出问题，学生回答








推出 这两个最基本的关系式。


关

系

式

的
深

化

理

解

同角三角函数的基本关系式：





“同角”的概念与角的表达形式无关，如：
当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，就可求出这个角的其余三角函数值。此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式。当然，上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立

提问：
1．何谓“同角”？
2．同角三角函数的基本关系式的作用，它可以用来解决哪些问题？
3．利用同角三角函数的基本关系式解题的注意事项？
更好地理解同角三角函数的基本关系式及功能。











应


用


举


例
例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．
分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值．
解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角




例2．已知，求sin、tan的值．
分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．
当是第二象限角时，

当是第三象限时，



例3 已知


例4 化简：.

例5化简：
点评：三角函数化简时，应合理利用公式，明确化简的基本要求，尽量化为最简形式。


例6求证：
（1）
（2）
（3）
分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．
证法1：左边=右边，
∴原等式成立
证法2：左边=＝
＝右边
证法3：
∵，
∴
证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，
∴
=
＝＝1，
∴．

∴左边=右边 ∴原等式成立．
证法6：∵＝＝＝
∴．
证法7：∵， ∴=


例1可让学生自己解决




















例2可让学生讨论解决


















学生独立完成，并交流不同解法，比较优劣。






提问：你怎样理解化简？







证明恒等式有哪些途径？
由学生完成证明，展示不同证法，可能的证法除课本给出的以外，左侧还给出了一些证法，供参考。
结合例6，由学生总结证明三角恒等式的常用方法。教师在证明思路和解题规范上给予指导。



例1是已知一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值的简单应用。













体现分类讨论的思想，比较与例1 的异同。





















体现方程的思想
展示不同的解题方法，培养学生灵活应用公式的能力和思辩的能力。




体会如何运用公式化简，明确化简的目标。
三角函数式的化简是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本解题原则。


通过讨论探究，培养发散思维，提高综合运用知识思考、解决问题的能力。






体验证明的过程就是通过化简与消去等式两边差异来促成统一。

小
结
1． 理解同角的含义
2． 掌握公式及公式的变形
3． 灵活应用公式解决简单的求值、化简和证明。
4． 本节课在思想方法上的收获
师生共同完成
关注学生的自主体验，总结反思本节课在知识、方法上的体验、收获。
作
业
层次一：课本P25 A组
层次二：课本P25 B组

巩固本节所学内容

1.2.4（第一课时） 诱导公式

教学目标：
1． 借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，并掌握其应用；
2． 经历由几何特征发现数量关系的学习过程，培养数形结合的分析问题能力；通过独立探讨公式，培养抽象概括能力；了解对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯。
3． 揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想
教学重点：诱导公式(一)、（二）的探究、推导及利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明。
教学难点：在单位圆中对所讨论角与a角终边位置关系特点发现对称性提出研究方法
教学方法与学习指导策略建议
这一部分知识的学习，建议主要以师生互动为主。多给学生一些感性认识，通过讨论、辨析获得对知识更深层次的理解。
教学过程：

教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图





复


习


引



入












复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线



直角坐标系中，的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即公式（一）：



指出结构特征和作用：
这组公式可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正
由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切
例1 求下列各三角函数值：






教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线










共同探讨公式（一）的结构特征和作用
由教师提问，学生相互交流，教师纠正、完善。







由学生完成






如何求的三角函数值呢？
共同回顾，为新课做准备。










理性地把握公式










体会诱导公式的作用。




将问题一般化,转化为探索与的三角函数间关系


概

念

形

成

与

深

化
引导学生利用单位圆和三角函数线从中心对称图形和轴对称图形这两个重要的几何性质出发，探寻所求角与角终边的位置关系，得到函数值之间关系。如图，点P´与点P关于x轴对称．已知。




拓展延伸：如何利用对称变换思想研究与的三角函数间关系？
讨论交流：谈谈你对研究诱导公式的思想方法的认识。

给学生思考、研究的时间，由学生发现所求角与角终边的位置关系，得到函数值之间关系。

鼓励学生自主探究，教师做适当点拨。











师生适当讨论交流，解决不了的问题可留做课后思考。
使学生理解旋转的合成与对称之间的关系







让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系，了解对称变换思想在研究数学问题中的应用。




应

用

举

例




例2 求下列各三角函数值：

（例题答案参考课本）





学生独立完成，并交流解题心得。


解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值。


归

纳

小

结


1． 诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．
2．诱导公式（一）、（二）的内容、
3．研究诱导公式的思想方法
师生共同总结、交流、完善
让学生学会学会学习，养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法在分析解决问题中的应用。
布

置

作

业
课本P27 A
学生独立完成
巩固所学知识、方法。



1.2.4 （第二课时）角与的三角函数关系
一、教学目标
知识目标 要求学生掌握诱导公式的简单综合运用
能力目标 运用数形结合的思想探究问题、解决问题，理解对称变换思想在学生学习过程中的渗透
素养目标 培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，养成勤于联想、善于探索的习惯
二、教学重点、难点

重点是诱导公式以及这诱导公式的综合运用
难点是公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透

三、 教学方法
在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。变换的思想贯穿始终，在数学教学中将数学思想渗透于知识的传授之中，让学生充分了解对称变换思想在研究数学问题中的作用，初步形成用对称变思想解决问题的习惯。知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力，所以在习题的安排上遵循由浅入深，循序渐进的原则。

四、 教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
1． 复习公式一，公式二
2． 回忆公式的推导过程
教师提问
学生回答
为学生学习公式三，公式四做好准备






公
式
形
成

可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看与，与的终边的关系。从而易知，

终边相同，所以三角函数值相等。由与的终边与单位圆分别相交于P与 P´，它们的坐标互为相反数P( x，y) ，P´(-x，-y) （见课本图1-18），所以有

（三）


结合公式（一）和（三）可以得出下结论：




由与和单位圆分别交于点P´与点P，由诱导公式（二）和（三）或P´与点P关于y轴对称，可以得到 与只见的三角函数关系（见课本图1-19）


1．在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。

2．教师提问：给定一个角，终边与角的终边关于原点对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

3．学生回答

4．教师引导结论
学生通过简单的例子，将问题简单化。公式三的获得主要借助于单位圆，根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，点P´与点P关于原点对称．直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．








应
用
举
例
例1．求下列各式的值：（1）sin(－)；
(2)cos(－60º)－sin(－210º)
解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；
（2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=－=0









例2．化简
解：原式=
==－1



教师引导：应该怎么做最好呢？
求解时一般步骤：
1． 先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，
2． 然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．
例2这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键。


1． 在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．
2． 通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性
3．进一步强化学生运用公式的灵活性。
五、 课堂小节
通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性。知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力。

六、布置作业

































1.2.4 （第三课时）与的三角函数间的关系
一、 教学目标
知识目标 要求学生掌握诱导公式的简单综合运用
能力目标 运用数形结合的思想探究问题、解决问题，理解对称变换思想在学生学习过程中的渗透
素养目标 培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，养成勤于联想、善于探索的习惯

二、 教学重点、难点

重点是诱导公式以及这诱导公式的综合运用。
难点是公式 4的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透。

三、 教学方法
在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。变换的思想贯穿始终，在数学教学中将数学思想渗透于知识的传授之中，让学生充分了解对称变换思想在研究数学问题中的作用，初步形成用对称变思想解决问题的习惯。知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力，所以在习题的安排上遵循由浅入深，循序渐进的原则。

教学过程

教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
1 复习公式一，公式二，公式三
2 回忆公式的推导过程
教师提问
学生回答
为学生学习公式四做好准备




公
式
推
导





















应
用
举
例









如课本图1-20，设的终边与单位圆交于点，点关于直线的轴对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为，点经过两次轴对称变换到达点，等同于点沿单位圆旋转到，而且旋转的角度大小为，因此点的坐标又为所以：
------ 公式 (四)
在公式 (四)中，以替代，得到另一组公式：


由三角函数间的关系又得：






例1 下列各三角函数值：

解：



例2 将下列三角函数化为到之间角的三角函数：

解：略。

1．在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。
2教师提问：给定一个角，终边与角的终边关于直线对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间又有什么关系？
3．学生回答

4．教师引导结论



1 因为任意角都可以转化为的形式，所以利用公式（一）（二）（三）（四）可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题。
2 教师引导学生总结：
公式记忆：的各角的三角函数值，当为偶数时，得的同名三角函数值，当为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
“奇变偶不变，符号看象限”

公式的获得主要借助于单位圆，根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，点P´与点P关于原点对称．直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性





1、在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．
2、通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性
3、进一步强化学生运用公式的灵活性。




四、 目标小节
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及化任意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗？
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数

三角函数
的
锐角的三角函数
用公式
三或一
用公式一
用公式
二或四
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2．你能概括一下研究研究诱导公式的思想方法吗？
“对称是美的基本形式”
圆的对称性
角的终边的对称性
对称点的数量关系
角之间的数量关系
诱导公式


五、 布置作业







1.3.1(第一课时) 正弦函数的图象
教学目标：
1．理解并掌握作正弦函数图象的方法．
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法．
3. 培养学生数形转化的能力。
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．
教学难点：理解弧度值到轴上点的对应。开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程。在小学度量角度使用的进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为轴上的有向长度。实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪

教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图


复

习

引

入
1. 复习：正弦线
2. 引入

教师提出问题：用什么方法作出正弦函数的图象呢：
学生回答：描点法。
教师点评：但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．

为引入几何作图法作好准备。


概

念

形

成
正弦函数的图象
用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份（等份越多，作出的图象越精确），过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的角的。正弦线（这等价于描点法中的列表）．
第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段（）分成12等份，每个分点分别对应于分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，（把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．）
第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．


以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为所以正弦函数在时的图象与的形状完全一样，只是位置不同。现在把上述图象沿着x轴平移，就得到y=sinx，x∈R，的图象。叫做正弦曲线．

正弦函数y=sinx，x∈R，的图象。叫做正弦曲线．
2）．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图，要求熟练掌握．在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”，这种作图法叫做五点法。










学生作图，该过程中教师适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与交流。教师通过多媒体将此过程展示给学生。




















教师提问：怎样作出y=sinx，的图象？
学生回答：因为。
所以正弦函数在时的图象与的形状完全一样，只是位置不同。
教师鼓励和肯定好的想法。










教师提问：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，确定图象形状时哪些点起关键作用？
学生回答：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
教师引导学生观察图象并总结出正弦函数在这五个点附近的函数变化情况。










学生通过教师讲解、讨论将弧度值转到轴上点，再通过平移正弦线得到图象上的点。











教师可以通过一些特殊角的正弦值的重复规律，使学生悟出正弦函数当时的图象与x∈[0，2π]的图象间的关系。







正弦函数有无数个点，在x∈[0，2π]上，引导学生抓住最关键的五个点。


应

用

举

例



例1 用五点法作下列函数的简图
(1)y=sinx，x∈[0，2π]，　　　
(2)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　

例2　利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：


1. 学生独立完成，并请两位同学板演。由学生和教师共同点评。对于表格规范，图象正确的学生给予鼓励和表扬，对于有不足的学生给予指导。
2. 由学生独立完成，并由学生讲解，教师指导。
1.复习五点作图法，并为今后图象平移打下基础。
2.巩固作图法，并培养逆向思维能力。

归
纳
小
结

小结：学习了几何法和五点法作正弦函数图象的方法。

教师归纳本节课内容
学生回顾本节课内容。
布
置
作
业
P.39练习A，练习B

复习本节课内容
1.3.1(第二课时) 正弦函数的性质
教学目标：
1．理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
教学重点：正、余弦函数的性质
教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法与学习指导策略建议：讲正弦函数的性质时，要从多方面讲解，一方面要用正弦函数的定义，从理论上分析推导；用诱导公式证明正弦函数是周期函数，且周期为，等等。另一方面要观察图形，使学生对这些性质有直观印象。教师在讲课时，可充分利用多媒体设备，让学生观察、理解、记忆。


教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线
教师提问，学生回答。

为本节课的讲解新课作准备。



概

念

形

成
由正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数 还有以下重要性质：
(1)定义域：
正弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作：
y＝sinx，x∈R
(2)值域
因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线和之间，所以｜sinx｜≤1，即
－1≤sinx≤1也就是说，正弦函数的值域都是［－1，1］
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1
(3)周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知：
正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现。在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(－x)＝－sinx
可知：y＝sinx为奇函数
因此正弦曲线关于原点O对称
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1




教师提问：定义域、值域分别是什么？并说明理由。
学生回答：从函数图象和正弦函数定义以及正弦线的知识，可以知道定义域为x∈R，值域［－1，1］。
教师提问：任意一个周期函数是否都有最小正周期？
学生回答：否。反例：








































教师提问：函数奇偶性的定义及图象特征？
学生回答。
教师提问：正弦函数具有什么样的性质？
学生回答。
教师提问：从正弦函数的图象观察正弦函数具有什么样的单调性？
学生回答。



1.希望学生不仅能够知道正弦函数的定义域和值域，而且能够体会知识间的联系，知其然更知其所以然。













2.通过讨论和提问使学生更深刻理解周期的定义。














应

用

举

例



























例1：设，求的取值范围。
解：因为
所以
由此解得
例2： 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
1°y＝sin2x，x∈R 2° y=sin(3x+)-1
解：
1°令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，
得x＝＋kπ
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1
2° 当3x+=2kp+即 x= (kÎZ)时y的最大值为0
例3：求下列三角函数的周期：1° y=sin(x+) 2° y=3sin(+) 3° y=|sinx|
解：1° 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)
f [(x+2p)+ ]=f (x+) ∴周期T=2p
2°令z=+ 则
f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)=3sin()=f (x+4p)
∴周期T=4p
3° T=p
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（其中）的周期，下一
节将进一步研究这类函数的性质。
例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)(－)－(－)．
解：(1)∵－＜－＜－＜．
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数
∴sin(－)＜sin(－)
即sin(－)－sin(－)＞0
(2)sin(－)＝-sin＝-sin=-sin=-sin
sin(－)＝-sin＝-sin
∵0＜＜＜
且函数y＝sinx，x∈［0，］上是增函数
∴sin＜sin
- sin- sin
∴sin(－)－sin(－)＜0
例5．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去） ∴k=3 b=-1

学生独立完成，并请两位同学板演。由学生和教师共同点评。对于表格规范，图象正确的学生给予鼓励和表扬，对于有不足的学生给予指导。

巩固本节课所学知识。
归
纳
小
结
小结：本节课学习了正弦函数的性质，请大家总结一下理解和记忆的方法。


教师归纳本节课内容
学生回顾本节课内容。
布
置
作
业
P.43，44练习A，练习B

复习本节课内容






1.3.1(第三课时) 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象
教学目的：
1理解振幅、周期、频率、初相的定义；
2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;
3会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和对函数图象的影响作用；
4.培养学生数形结合的能力。
5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。
教学重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换。
教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。
教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪

教学
环节

教学内容
师生互动
设计意图
复习引入

复习正弦函数的图象和性质
教师提出问题，学生回答
为学生认识正弦型函数奠定基础




概念形成及应用举例
通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数中，点P旋转一周所需要的时间，叫做点P的转动周期。在1秒内，点P转动的周数，叫做转动的频率。与轴正方向的夹角叫做初相。





















例1画出函数y=2sinx xÎR；y=sinx xÎR的图象（简图）
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：
x
0

p

2p
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
sinx
0

0
-
0
作图：

利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈R。的简图
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)
一般地，函数的值域是最大值是，最小值是，由此可知，的大小，反映曲线波动幅度的大小。因此也称为振幅。
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 2．它的值域[-A, A] ，最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
称为振幅，这一变换称为振幅变换
例2 画出函数
y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，x∈R的简图
解：列表
x
-




x+
0



2
sin(x+)
0
1
0
–1
0
描点画图：



x





x－
0



2
sin(x–)
0
1
0
–1
0







引导,观察,启发：

(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
例3 画出函数y=sin2x xÎR；y=sinx xÎR的图象（简图）
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, p]上作图,列表：
2x
0

p

2p
x
0



p
y=sin2x
0
1
0
-1
0
作图：


函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：


0

p

2p
x
0
p
2p
3p
4p
sin
0
1
0
-1
0
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到
引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比较
1．函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
例4 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表：

x
–




2x+
0

π

2π
3sin(2x+
0
3
0
–3
0
描点画图：











左移个单位
这种曲线也可由图象变换得到：即：
y＝sinx y＝sin(x＋)
纵坐标不变
横坐标变为倍

y＝sin(2x＋)
纵坐标变为3倍
横坐标不变





一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；
ωx＋：称为相位x＝0时的相位，称为初相
评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象
课堂练习：
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为( )
Ay＝sin(x＋) By＝sin(x＋)
Cy＝sin(x－) Dy＝sin(x＋)－
答案：A
2函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( ) 答案：B
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍

3.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋)
Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－)
解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(，2)和点(，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：
解得 答案：B
由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中
小结 平移法过程：




作y=sinx（长度为2p的某闭区间）
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
















1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。
2.教师提问：通过分析，对观缆车的旋转有什么影响？
3.学生回答。
4.教师引导归纳。
函数y＝Asin(ωx＋)，其中表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；称为相位；时的相位称为初相。
5.学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y=2sinx xÎR和y=sinx xÎR的图象与的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)
教师提问：一般地
y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y＝sin(x＋)，和y＝sin(x－)的图象与的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到
教师提问：一般地
y＝sin(x＋)的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y=sin2x和y=sinx的图象与的图象间的关系怎样？
学生回答：(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到

教师提问：一般地
y=sinωx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生回答：函数y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）




































































学生在黑板上利用“五点法”画图。
教师提问：y＝3sin(2x＋)，的图象与的图象间的关系怎样？
学生回答：由y＝sinx左移个单位，得到y＝sin(x＋)的图象，纵坐标不变，横坐标变为倍，得到y＝sin(2x＋)的图象，纵坐标变为3倍，横坐标不变，得到的图象。





教师提问：一般地y＝Asin(ωx＋)的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？
学生讨论并回答
















































学生自己完成。









1.要求学生通过实例，将问题转化为数学问题，引出数学概念，培养学生数学来源于实践又指导实践的辨证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。













2.通过作图，使学生加强对“五点”法的理解。
3.观察图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象间的变换。4. 鼓励学生大胆猜想，使学生将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。
5.培养学生由特殊到一般的解决问题方法，以及归纳概括的能力。





















































































































































































































































巩固本节课所学习内容


布置作业
作业：P .49.练习A1.2.3.4.P50.练习B.1.2.3.4.5


复习回顾


1.3.2(第一课时)余弦函数的图象及性质
一、教学目标
1.知识目标
（1）学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象；
（2）根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2、能力目标
（1）让学生进一步学会作图；
（2）引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质；
（3）培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。
3、情感目标
（1）渗透数形结合的数学思想；
（2）培养学生静与动的辨证思想；
（3）培养学生欣赏数学美的素质。

二、教学重、难点
重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。
难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。

三、教学方法
结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。适当借助多媒体等教学辅助手段。

四、教学过程

教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图


复

习

引

入

1、正弦函数的图象——解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。

2、 “五点描图法”作图。

3、


1、教师提问，学生回答；
2、学生在草稿纸上推理。

1、引导学生复习巩固“五点描图法”作图；
2、回顾诱导公式；
3、回顾平移。


















概

念

形

成
1、利用五点描图法画出的图象。

2、图象向两边延伸

于是得到余弦函数的图象。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：

3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：
a 定义域： y=cosx的定义域为R
b 值域：
1°引导回忆单位圆中的三角函数线，结论： |cosx|≤1 （有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论：值域为[-1，1]
2°对于y=cosx
当且仅当x=2kp kÎZ时 ymax=1
当且仅当x=2kp+p kÎZ时 ymin=-1

观察R上的y=cosx的图象可知
当2kp-0
当2kp+ c.周期性：
（观察图象）
1°余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2°规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ重复出现）
3°这个规律由诱导公式 cos(2kp+x)=cosx也可以说明
d. 奇偶性
由诱导公式 得余弦函数是偶函数。
e.单调性
余弦函数在每一个闭区间上是减函数；
在每一个闭区间上是增函数。

1、 学生自己动手描点作图，请1到两个学生到黑板上演排；













2、引导学生观察图形的特征，并提炼出特征；




3、教师给出启发，诱导学生类比正弦函数的性质，得到余弦函数的性质，并分析每个性质成立的原因等。
1、培养学生动手作图的能力；














2、培养学生观察能力和总结问题的能力；




3、培养学生类比得结论的能力；










应

用

举

例













例1、求下列函数的最值
（1）
（2）
解答略。
练习：课本A组练习4。
例2、判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（解答由学生自主完成并有学生评价。）
例3、求函数的最小正周期
解答略（解答由学生自主完成并有学生评价。）
练习：课本练习A 5
小结：

例4、求函数的单调区间
（解答由学生自主完成并有学生评价。）

1、学生分析解答；

2、学生相互评价；













3、先引导学生分析问题，在引导学生回忆正弦函数相关的性质，然后得到关于周期的一般性结论。
1、考察学生对基本性质的掌握；
2、让学生体验成功的快乐，利于培养学生学习数学的兴趣；
3、通过学生之间的交互活动，可以培养学生的协作精神；
4、学生用自己的语言来表达对知识的认识，反映了学生获取知识的自然过程。


归

纳

小

结


请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。
（1） 定义域分别是什么？
（2） 值域是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？
（3） 奇偶性如何？为什么？
（4） 单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）
（5）它与其他函数有什么不一样的性质。

让学生提问，学生来回答（可以一小组之间的对抗赛的形式展开）
1、自己归纳总结，寻找知识建立的支点，利于学生对知识的掌握；

2、通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成和提升抽象问题的能力。
布

置

作

业
作业：课本 练习A 4、5
练习B 2、3
课后笔记总结。


学生课后独立自主完成，教师批改讲评。
复习巩固知识，培养学生的实战能力。



1.3.2(第二课时)正切函数的图象和性质
一、教学目标
1.知识目标
（1）了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
（2）了解正切曲线的特征；
（3）了解正切函数的性质。
2、能力目标
理解并掌握利用正切函数的图象和性质解题
3、情感目标
（1）掌握“类比”的学习方法；
（2）渗透数形结合，换元法等基本数学思想方法。

二、教学重、难点
重点：正切函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）。
难点：利用正切线画出函数的图象，并使直线确实称为此图象的两条渐进线。
关键：充分利用图形讲清正切曲线的特性，通过一定的训练使学生正确了解图象性质（例如定义域必须去掉各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等）。

三、教学方法
结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。适当借助多媒体等教学辅助手段。

四、教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图


复

习

引

入
1、在单位圆中复习正切线（AT）的定义；
2、回忆正弦函数图象的作法（几何法）；
3、由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象。如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？

1、教学提问，学生回答或演练；
2、配合多媒体分析问题的实质，让学生归纳总结出相应的结论。
1、鼓励学生提炼解决问题和研究问题的一般方法，养成获取新知识的习惯；
2、加强学生的实践经验。














x
y






概

念

形

成
1、首先考虑定义域：
2、为了研究方便，再考虑一下它的周期：
的周期为（最小正周期）
因此我们可选择的区间作出它的图象。












3、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”







0
y
x









4、正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
定义域：，
值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。

周期性：

奇偶性：奇函数。

单调性：
在开区间内，函数单调递增。

1、师生共同寻找研究图象的常见的参数：定义域、周期等；


2、通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图象的画法作出正切函数的图象；





























3、学生自主分析归纳函数的性质；
1、让学生学会分析、解决问题的一般方法；





2、学会实际动手作图；


















3、学习应用类比的思想解决问题。















应

用

举

例













例1、比较与的大小。
解：，
，
又：内单调递增，
。
例2、谈论函数的性质
解析：
1．由函数的定义域知，将看作一个整体；
2．求函数的定义域；（P71练习3）
3．值域如何？在回答此问题之前先思考函数与函数的图象之间的关系？（左右平移）——值域不变：R；
4．周期呢？不变：π；
5．单调性如何？（整体来看：化复杂（）为简单（））
6．奇偶性如何？由定义判断它是非奇非偶函数；进一步：函数与函数有何关系？（倒数）

1、引导学生实践，简单利用函数的性质解决问题；

















2、通过一个简单的问题，探索整个函数的各种性质，让学生自主的解决、评价等，复习巩固刚学的新知识。









学生通过自己的实践，真确地体会函数的性质，强化对新建构的知识的理解与掌握。


归

纳

小

结


定义域：，
值域：R
周期性：

奇偶性：奇函数。

单调性增区间：





让学生提问，学生来回答（可以一小组之间的对抗赛的形式展开
1、自己归纳总结，寻找知识建立的支点，利于学生对知识的掌握；
2、通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成和提升抽象问题的能力。
布

置

作

业

练习A 2、3、4

学生课后独立自主完成，教师批改讲评。
复习巩固知识，培养学生的实战能力，培养学生独立思考问题的精神。



1.3.3已知三角函数值求角
一、教学目标
1．知识目标：使学生理解符号，，的意义
2．能力目标：
　　　（1）会用符号，，表示角；
　　　（2）当为特殊的三角函数值时，会求符号，，的值；
　　　（3）使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；
（4）培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。
3．情感目标：
通过本节的学习，让学生认识到事物间是相互联系、相互依存的关系，抓住了事物间的内在联系，就能更加清楚地认识事物的有序结构。
二、教学重点、难点
　　本节的重点是已知三角函数的值求角，难点是符号，，所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。
三、教学方法：
　　利用数形结合思想，从特殊过渡到一般的方法，重点突破用如何来表示角的意义，再运用类比的思想，让学生自主探究符号，，所表示角的意义
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
直接
引入

师：我们知道，任意给定一个角，可以唯一地确定其正弦值；反之，我知道角的正弦值，能否确定角？









概
念
的
形
成































概
念
的
形
成

1．教师给出例1：
已知，1），求；2），求；3），求；
2．引导学生运用已学过的三角函数线和
三角函数图像求解，让学生讨论解决。













3．对于上例的3）问，教师利用几何画板制作的课件演示函数与图像交点，分析交点的结构，并求出所有角。














4．教师给出例2：
引出用反正弦符号表示角。
已知，，求；















5．更一般地性况：的解决，给出反正弦符号：及所表示角的意义：在范围内，正弦值为的角。
生：教师给出实例，让学生讨论解决。
　引导学生运用已学过的三角函数线和三角函数图像求解。
师：我们可以用正弦函数图像来求角，也就是在函数图像上找出正弦值为的点所对应的角，即求函数与图像交点横坐标。
教师利用几何画板制作的课件演示函数与图像交点。
分析交点的结构：一个角在增区间上，另一个角在减区间上；而恰好为正弦函数的一个周期长度，利用三角函数的周期性，只要表示出两个角，再在这两个角的基础上加周期的整数倍，从而就能表示出所有的角。而关于对称，所以，因此只要表示出在增区间上的，就能表示出，所以只要求出了增区间上的，就能求出，从而能求出所有的角。
此时为特殊角的正弦值，所以满足的所有角可表示为或

师：教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点。
学：让学生观察满足条件的角的个数以及所有角的相互关系，引导学生得出以下结论：表示出了增区间上的角，利用对称性就能表示出减区间上的，再在这两个角的基础上加周期的整数倍，从而就能表示出所有的角。
师：此时为非特殊值，因此所求角不为特殊角，那么此时增区间上的角该如何表示呢？
我们用表示在增区间上的角，那么满足的角怎样用符号表示呢？
学：让学生用符号表示所有角。
　师：一般性况下，该如何表示满足的角？ 教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点。
师：设问：1）满足条件的角有多少个？2）这些角之间有什么关系？3）这些角中我们可以把哪个角作为关健的角？ 4）你该如何表示这个关健的角？
生：学生回答以上问题，并表述符号的意义，并求的范围。

复习三角函数线及函数与方程的关系；











培养学生运用数形结合的思想方法解决数学问题；




























由特殊到一般的过渡，让学生更容易理解
概
念
的
深
化
利用所表示角的意义求值：
生：让学生练习课本P60练习A组第3题（1）、（2）。
巩固符号所表示角的意义
概
念
的
形
成













利用例题：引入符号来表示角，及符号的意义：在范围内，余弦值为的角。







类比引入例题：求满足条件的角，引入符号来表示角，及符号的意义：在范围内，正切值为的角。
师：以上我们利用函数图像来求满足条件的角，并引入了符号：来表示其中的一个角，下面我们如何利用以上方法来求满足条件的角？
教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点，让学生观察满足条件的角的个数以及所有角的相互关系。
师：减区间的角与增区间的角有什么关系？其它所有角与这两个角有什么关系？
生：学生回答以上问题
师：类似以上符号的定义方法，我们可以将减区间的角表示为，则满足条件的所有角该如何表示？
生：
师：类似符号的意义，符号所表示角的是什么意义？
生：表示区间上余弦值为的角。
师：求满足条件的角，教师利用几何画板制作的课件，移动直线，演示函数与图像交点。
生：让学生观察满足条件的角的个数以及所有角的相互关系。让学生看书理解符号所表示的角，并在函数图像上指出角所对应的点。













利用类比的思想来定义符号，所表示角，让学生更容易理解
概
念
的
深
化
利用、所表示角的意义求值：
生：让学生练习课本P60练习A组第3题（3）、（4）。
补充练习：　　　　，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　，
巩固符号、所表示角的意义
应
用
举
例
例1：求满足条件，的角
例2：求满足条件，的角
例3：求满足条件，的角。

生：请学生完成例1
师：例2与例1有什么联系？我们可以用什么方法来解例2？
生：可以运用换元法求解
生：让学生讨论例3：的解决方法：1）因为，利用简单的三角变形化为：，再求解；2）利用三角函数线，角的终边落在一、三象限的角平分线上，则
让学生利用换元的思想方法，将复杂的问题分解为两个简单的问题。


让学生多角度地解决问题，培养学生一题多解的能力。
归
纳
小
结

师生共同完成
1．让学生总结所学知识：
　1）会用符号，，表示角；
　2）当为特殊的三角函数值时，会求符号，，的值；
2．获取新知识过程中所采用的思想方法：
　1）数形结合；2）类比思想
关注学生的体验，培养学生的表达能力
布
置
作
业
层次一：P61练习题A组T4
层次二：P61练习题B组T1，T3



　　



《第一章 基本初等函数》小结
一． 教学目标
1． 知识目标
（1）任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式；
（2）三角函数的图像和性质；
（3）已知三角函数值求角．
２．能力目标
（１）理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；
（２）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；并能应用它们进行简单的求值、化简、证明；
（３）会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、余切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数
的简图，理解 的物理意义；
（4）会用已知三角函数值求角，并会用、、表示。
3．情感目标
（1）渗透“变换”、“化归”思想；
（2）培养逻辑推理能力；
（３）引导学生体会数形结合思想，学会用数形结合来思考和解决数学问题；
（４）培养学生探求意识．
二．教学重点
任意角三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，正弦函数的性质与图象，函数的图象和正弦函数图象的关系．
三．教学难点
弧度制和周期函数的概念，正弦型函数的图象变换，综合应用公式进行求值\、化简、证明等。
四．教学方法
引导启发式
应用“整体化”教学思想，引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的逐步认识，强化知识点的理解掌握，进而达到应用的目的。
五．教学准备
图表一：知识网络结构图






扇形的弧长与面积
角度制与弧度制
任意角的概念




三角函数的图象和性质
任意角的三角函数




三角函数的求值、化简、证明

证明
任意角的三角函数符号

证明
同角三角函数的关系式
诱 导 公 式

证明











应 用 举 例

任意角



图表二：三角函数定义、同角三角函数基本关系式、三角函数值的正负
1．
2．


3． + + -- + -- +
-- -- -- + + --

图表三：诱导公式

函数
角






















图表四：三角函数的图像和性质

函数
正弦函数
余弦函数
正切函数


图像



定义域



值域
[-1,1]
最大值为1，
最小值为-1
[-1,1]
最大值为1，
最小值为-1

无最值
周期性
最小正周期
最小正周期
最小正周期
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在
上是减函数（）
在上是增函数；在
上是减函数（）
在上是增函数；



六．教学过程：

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
知识网络结构图
1．教师提出问题：大家回忆本章学习内容，仔细考虑、归纳总结出这一章
的知识网络结构图。
2．教师引导提示，由学生回答。
2．教师给出图表一。
使学生对本章知识结构有一个宏观掌握。
复
习
深
入

复习具体内容
一1．任意角的概念；
2．角度制与弧度制；
3．扇形的面积；












二．1．任意角的三角函数的定义；
2．同角三角函数的基本关系式；
3．各三角函数值在四个象限的正负；
4．诱导公式；











三．三角函数的图像和性质
教师提出问题，组织学生思考并回答;
1．角的概念推广后，拔角的范围从到推广到一个什么样的范围？都包括什么样的角？
2．第一、二、三、四象限角及终边落在 轴、 轴的角的集合各是什么？
3．弧度制的定义是什么？角度制与弧度制如何转换？弧度制下的公式是什么？


1．教师提问：任意角的三角函数的定义是什么？学生回答；
2．教师引导学生由上述定义回答同角三角函数关系式、三角函数的正负、诱导公式；
3．给出图表二。
4．进一步拓展只是给出：







1．教师板演并要求学生利用“五点法”话出政弦函数的简图；要求学生根据图像分析回答该函数的值域、最值、区的最值时的集合；
2．给出图表四。
3．让学生自己观察分析余弦函数、正切函数的性质。



让学生根据教师的问题通过思考回忆各知识点。













使学生根据教师的问题进一步体会理解知识点的由来，以便灵活记忆。











培养学生的识图能力，进一步强化由图像直观分析总结函数性质的能力。

归
纳
总
结










应用举例

1．把握由“整体”到“局部”再到“整体”知识的综合应用的复习思路；
2．化归思想的应用。











例题

题组一：1.若角的终边落在直线上，求和的值。
2． 已知，求下列各式的值：
（1）
（2）
3．计算：

4．证明：

题组二：1.已知函数试确定该函数的值域、单调增区间、最大值及取得最大值时x的集合。
2． 观察正弦函数的图像，写出使
的的集合。
3．求适合的集合。
4．思考题：
利用图像变换讨论由得图像怎样得到的图像（写出你能想到的方法）

教师总结：
1． 在掌握知识的同时，还应注意到该章知识的复习思路。即由“整体”到“局部”再到“整体”。
2．这一张还突出应用了化归思想，这是一种重要的数学思想。主要表现在：
（1）把未知化归为已知；
（2）把特殊划归为一般；
（3）等价化归等






学生板演，教师对学生在解题思路和规范方面进行指导

























针对思考题要求学生从相位、周期、振幅入手考虑它们的图像关系。

培养学生把握整章知识的能力，同时注意渗透数学思想和方法。













让学生感受本章知识的应用

























1. 使学生进一步巩固和应用所学知识.
2. 培养学生的探究意识，

布置
作业
P68