人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步达标检测题

这是一份人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若x，y∈R，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x－2y＋3≥0，,y≥x，))则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
解析： 作出可行域如图所示，目标函数y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)z
则过B(1,1)时z取最小值zmin＝3
答案： B
2．若实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－y＋1≥0，))则x＋y的最大值为( )
A．9 B.eq \f(15,7)
C．1 D.eq \f(7,15)
解析： 作出可行域如图所示
令z＝x＋y，则y＝－x＋z，
∴y＝－x＋z过A(4,5)时，
z取最大值zmax＝9.
答案： A
3．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在▱ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )
A．(－14,16) B．(－14,20)
C．(－12,18) D．(－12,20)
解析： 如图，由▱ABCD的三个顶点A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)可知D点坐标为(0，－4)
由z＝2x－5y知y＝eq \f(2,5)x－eq \f(z,5)
∴当直线y＝eq \f(2,5)x－eq \f(z,5)过点B(3,4)时，zmin＝－14.
当直线y＝eq \f(2,5)x－eq \f(z,5)过点D(0，－4)时，zmax＝20.
∵点(x，y)在▱ABCD的内部不包括边界
∴z的取值范围为(－14,20)．
答案： B
4．若实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－my＋1≥0，))且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析： 令z＝x＋y，则y＝－x＋z
斜率为－1的直线向上平移时z逐渐增大
则过直线2x－y－3＝0与x－my＋1＝0的交点时z取到最大值
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－3＝0,x－my＋1＝0))可得：y＝eq \f(5,2m－1)，x＝eq \f(3m＋1,2m－1)
x＋y＝eq \f(3m＋6,2m－1)＝9
解得：m＝1.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,2x－y≤4，,x－y≥0，))则2x＋3y的最小值是________．
解析： 方法一：不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,2x－y≤4，,x－y≥0))所表示的平面区域为三角形区域，
令z＝2x＋3y，则将其视为一组平行线，eq \f(z,3)为直线在y轴上的截距．
于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝2与直线2x－y＝4的交点(2,0)时，eq \f(z,3)最小，
即z最小，此时z＝4.故填4.
方法二：根据线性目标函数在平面区域上的最优化问题可知，在三角形区域的“边界”处取得最小值，即顶点处，求得三条直线x＋y＝2,2x－y＝4，x－y＝0的交点分别为(2,0)，(1,1)(4,4)，于是当x＝2，y＝0时2x＋3y取得最小值4.故填4.
答案： 4
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析： 设购买铁矿石A为x，购买铁矿石B为y，所花费用为z，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.5x＋0.7y≥1.9,x＋0.5y≤2,x≥0,y≥0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋7y≥19,2x＋y≤4,x≥0,y≥0)).
可行域如图中阴影部分所示：
目标函数z＝3x＋6y，即y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,6).
在A点处z有最小值
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋7y＝19,2x＋y＝4))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2)).故A(1,2)
∴zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案： 15
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解析： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,12x＋8y≥64，,6x＋6y≥42，,6x＋10y≥54.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,3x＋2y≥16，,x＋y≥7，,3x＋5y≥27.))
z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
8．实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0,2x－y－5≤0,x＋y－4≥0))，求z＝|x＋2y－4|的最大值．
解析： 先作出不等式组表示的平面区域，而目标函数的几何含义为该区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq \r(5)倍．当然也可观察绝对值内代数式的符号．
方法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝eq \f(|x＋2y－4|,\r(5))·eq \r(5)，
即其几何含义为该平面区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的eq \r(5)倍．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0,2x－y－5＝0))，得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
方法二：由图可知，区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值为zmax＝21.
eq \x(尖子生题库)☆☆☆
9．(10分)某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解析： 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，
依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y∈N*,3x＋6y≥45，,5x＋6y≥55))
钢板总面积z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋6y＝45,5x＋6y＝55，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝5)).
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
a
b(万吨)
c(百万吨)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6