数学必修5第二章 数列2.4 等比数列第2课时巩固练习

第2章  2.4  第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：

①{an3}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}，其中是等比数列的有________个(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：　对于①，因为＝3＝q3(常数)，所以{an3}是等比数列；

对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；

对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；

对于④，q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)

∴{an＋an＋1}是等比数列，若q＝－1，an＋an＋1＝0，不是等比数列，故选C.

答案：　C

2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)

A．(－2)n－1   B．－(－2)n－1

C．(－2)n   D．－(－2)n

解析：　a5＝－8a2＝a2·q3

∴q＝－2

∵a5>a2

∴a5>0>a2

∴a1>0

∴an＝(－2)n－1，故选A.

答案：　A

3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　)

A．3×10－5   B．3×29

C．128   D．3×2－5或3×29

解析：　∵a2＝，a4＝a3q，

∴a2＝，a4＝12q.

∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，

∴q＝或q＝2.

a10＝a3·q7＝12×7＝3×2－5

或a10＝12×27＝3×29.故选D.

答案：　D

4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)

A．n(2n－1)   B．(n＋1)2

C．n2  D．(n－1)2

解析：　由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.

答案：　C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则的值为________．

解析：　由等比数列的性质知a3a11＝a5a9＝a72得a75＝243，

∴a7＝3，而a7a11＝a92，∴＝a7＝3.

答案：　3

6．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．

解析：　方法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，

b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，

∴b2＝2，∴＝＝2.5.

方法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3.

∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2.

∴＝＝2.5.

答案：　2.5

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

证明：　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，

∴Sn＋1－Sn＝an＋1

＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.

∴an＋1＝2an.　　　　　　①

又∵S1＝a1＝2a1＋1，∴a1＝－1≠0.

由①式可知，an≠0，

∴由＝2知{an}是等比数列，

an＝－2n－1.

8．(1)有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．

(2)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．

解析：　(1)由题意设此四数为，b，bq，a，

则有解得或，

所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.

(2)设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，

据题意.

整理得，解得.

因此所求四个数为3,6,12,24.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.

(1)求d和q；

(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在求出a、b的值，若不存在，请说明理由．

解析：　(1)由题意得，

解得d＝3，q＝4.

(2)假设存在常数a，b，由an＝3n－2，bn＝4n－1，

代入an＝logabn＋b得3n－2＝loga4n－1＋b，

即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N*都成立，

∴，

∴，所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．