2021学年2.5 等比数列的前n项和课后作业题

这是一份2021学年2.5 等比数列的前n项和课后作业题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A.eq \f(a11－q2n,1－q) B.eq \f(a11－q3n,1－q3)
C.eq \f(a131－q3n,1－q3) D.eq \f(a31－q3n,1－q3)
解析： 由于a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝eq \f(a31－q3n,1－q3).故选D.
答案： D
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则eq \f(S4,a2)＝( )
A．2 B．4
C.eq \f(15,2) D.eq \f(17,2)
解析： eq \f(S4,a2)＝eq \f(\f(a11－q4,1－q),a1q)＝eq \f(a11－16,－a1·2)＝eq \f(15,2).
答案： C
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝( )
A．2 B.eq \f(7,3)
C.eq \f(8,3) D．3
解析： 设公比为q，则eq \f(S6,S3)＝eq \f(1＋q3S3,S3)＝1＋q3＝3⇒q3＝2，
于是eq \f(S9,S6)＝eq \f(1＋q3＋q6,1＋q3)＝eq \f(1＋2＋4,1＋2)＝eq \f(7,3).
答案： B
4．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(5,6)
C．20 D．110
解析： 由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，
S偶＝a2·a4·…·a2n＝120
∴eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(a3·a5·…·a2n＋1,a2·a4·…·a2n)·a1＝eq \f(100,120)＝eq \f(5,6)，
∴a1·qn＝an＋1＝eq \f(5,6)，故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．
解析： ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
又Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60
∴122＝48(S3n－60)
∴S3n＝63.
答案： 63
6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________.
解析： 设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又a1＋a2＋a3＝eq \f(a1,1－q)(1－q3)＝1，
∴eq \f(a1,1－q)＝eq \f(1,3)，
∴S15＝eq \f(a1,1－q)(1－q15)＝eq \f(a1,1－q)[1－(q3)5]＝eq \f(1,3)×[1－(－2)5]＝11.故填11.
答案： 11
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析： (1)依题意有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－eq \f(1,2).
(2)由已知可得a1－a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＝3，
故a1＝4，
从而Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)).
8．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解析： (1)∵an＋1＝2Sn，
∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，
∴eq \f(Sn＋1,Sn)＝3.
又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴Sn＝3n－1(n∈N*)．
当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，且a1＝1，
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 n＝1,2·3n－2n≥2)).
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，
当n＝1时，T1＝1；
当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2①
∴3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1②
①－②得，－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1
＝2＋2·eq \f(31－3n－2,1－3)－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，
∴Tn＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))3n－1(n≥2)，
又∵T1＝a1＝1也满足上式，
∴Tn＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))3n－1(n∈N*)．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2001年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．
(1)试问从2001年底算起，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到1年)
(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2002年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
解析： (1)设从2001年底起以后的每年退耕还林的土地面积(单位：万亩)依次为a1，a2，a3，…，an，….
则a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，…，
an＝515×(1＋12%)n，…
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝eq \f(515×1＋0.121－1.12n,1－1.12)＝6 370－515，
化简得515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N*，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划．所以n＝8.
故到2009年底西部地区才能完成退耕还林计划．
(2)设财政补助费为W亿元．
则W＝(300×0.7＋20)×(6 370－515)×10－4≈135(亿元)，
所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付约135亿元．