数学必修5第二章 数列2.4 等比数列练习题

2-4-2技能训练基础巩固强化

一、选择题

1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　)

A．27　　　 　　　　　 B．27或－27

C．81   D．81或－81

2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)

A．210   B．220

C．216   D．215

3．如果数列{an}是等比数列，那么(　　)

A．数列{a}是等比数列

B．数列{2an}是等比数列

C．数列{lgan}是等比数列

D．数列{nan}是等比数列

4．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则等于(　　)

A．－或－   B.

C.   D.或

5．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(　　)

A．4　　　　 B．2　　　　

C．－2　　　　 D．－4

6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)

A．13项   B．12项 

C．11项   D．10项

二、填空题

7．等比数列{an}中，a1<0，{an}是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是__________．

8．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值为__________．

9．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．

三、解答题

10．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．

能力拓展提升

一、选择题

11．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c(　　)

A．成等差数列不成等比数列

B．成等比数列不成等差数列

C．成等差数列又成等比数列

D．既不成等差数列又不成等比数列

12．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于(　　)

A．32   B．34 

C．66   D．64

13．已知公差不为零的等差数列的第k、n、p项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.   D.

14．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是(　　)

A．4　　　　 B．2　　　　

C.　　　　 D.

二、填空题

15．a、b、c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则三数为__________．

16．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

三、解答题

17．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原计划中每年的产值．

*18.(2010～2011·山东临清实验高中高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图象上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，当Tn最小时，求n的值；

(3)求不等式Tn<bn的解集．

详解答案

1[答案]　B

[解析]　∵q2＝＝9，∴q＝±3，

因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B.

2[答案]　B

[解析]　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，

C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，

公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，

∴C＝B·210＝220.

3[答案]　A

[解析]　设bn＝a，则＝＝()2＝q2，

∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；

当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，

则＝＝≠常数．

4[答案]　D

[解析]　a2a10＝a5a7＝6.

由，得或.

∴＝＝或.故选D.

5[答案]　D

[解析]　消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，

∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.

6[答案]　B

[解析]　设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.

所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.

两式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.

又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64，

即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.

[点评]　运用性质a1an＝a2an－1＝a3an－2，有(a1an)3＝2×4＝8，∴a1an＝2，

∴a1a2…an＝()n＝2＝64，∴n＝12.

7[答案]　0<q<1

[解析]　∵∴∴0＜q＜1.

8[答案]　

[解析]　∵a1，a3，a9成等比∴a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d＝a1，∴an＝a1＋(n－1)d＝nd，

∴＝＝.

9[答案]　3或27

[解析]　设此三数为3、a、b，则，

解得或，

∴这个未知数为3或27.

10[解析]　由题意设此四个数为，b，bq，a，

则有解得或

所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.

11[答案]　A

[解析]　解法1：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1，

c＝log2 12＝log2 3＋2.

∴b－a＝c－b.

解法2：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A.

12[答案]　C

[解析]　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.

[点评]　本题容易出现由an＋1＝an＋2得出{an}成等差数列的错误．

13[答案]　A

[解析]　设等差数列首项为a1，公差为d，则

q＝＝＝

＝＝＝.

故选A.

14[答案]　D

[解析]　由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．

15[答案]　4,12,36

[解析]　∵a、b、c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，

即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.

16[答案]　

[解析]　本题考查等比数列及古典概型的知识．

等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．

若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p＝1－＝.

[点评]　本题可以直接列举出这10个数找出小于8(或大于等于8)的数即可，直接考虑情况较多时，也可以从其对立面来考虑问题．

17[解析]　原计划三年产值成等差数列，设为a－d，a，a＋d，d>0，由三年总产值为300万元，得a＝100万元，又a＋10－d，a＋10，a＋11＋d成等比数列，得(a＋10)2＝(a＋10－d)(a＋11＋d)，∴(110－d)(111＋d)＝1102⇒d2＋d－110＝0⇒d＝10，或d＝－11(舍)．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．

18[解析]　(1)依题意：Sn＝2n－1(n∈N*)，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.

当n＝1，S1＝a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．

(2)因为bn＝log2an－12＝n－13，所以数列{bn}是等差数列．

∴Tn＝＝(n－)2－.

故当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．

(3)∵Tn－bn＝－(n－13)＝

＝<0，

∴1<n<26，且n∈N*，

所以不等式的解集为{n|1<n<26，n∈N*}．