人教版新课标A必修53.4 基本不等式课后作业题

3-4-3技能训练

基础巩固强化

一、选择题

1．a，b∈R＋，则，，三个数的大小顺序是(　　)

A.≤≤　　 B.≤≤

C.≤≤   D.≤≤

2．(2012·浙江文，9)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)

A.   B.

C．5   D．6

3．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．[3，＋∞)   D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

4．(2011·山东潍坊一中期末)设a，b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有(　　)

A．0个   B．1个

C．2个   D．3个

5．(2010～2011·福建省福州市高二期中)设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则(　　)

A．a11＝b11   B．a11>b11

C．a11<b11   D．a11≥b11

6．设a、b是正实数，给出以下不等式：

①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，其中恒成立的序号为(　　)

A．①③   B．①④

C．②③   D．②④

二、填空题

7．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．

8．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．

9．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是________．

三、解答题

10．已知：a、b、c同号且互不相等，a＋b＋c＝1，

求证：＋＋>9.

能力拓展提升

一、选择题

11．设a、b、c都是正实数，且a、b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围是(　　)

A．(0,8]   B．(0,10]

C．(0,12]   D．(0,16]

12．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为RA、RB，则RA与RB的大小关系是(　　)

A．RA>RB   B．RA＝RB

C．RA<RB   D．不确定

13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是(　　)

A．(0，]   B．(0，]

C．(，π]   D．(，π]

14．若A＝asin2x＋bcos2x，B＝acos2x＋bsin2x(a、b、x∈R)，则m＝AB，n＝ab，p＝A2＋B2，z＝a2＋b2满足(　　)

A．m≥n，p≥z   B．m≤n，p≤z

C．mn≥pz   D．m＋z≥p＋n

二、填空题

15．函数y＝loga(x＋3)－1(a>1，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

三、解答题

16．已知a，b，c∈R＋，求证＋＋≥a＋b＋c.

*17.某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

详解答案

1[答案]　C

[解析]　取a＝2，b＝8，则＝5，＝4，＝3.2

∴选C.

比较如下：已知≥，又－

＝＝≥0

∴≥.也可作商比较＝≥1.

2[答案]　C

[解析]　本题考查了均值不等式的应用．

由x＋3y＝5xy得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋＋≥2＋＝＋＝5，

当且仅当＝时，得到最小值5.

[点评]　均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵x＋3y＝5xy≥2，∴xy≥，

∴3x＋4y≥2≥2＝，错因是两次等号不能同时取得．

3[答案]　D

[解析]　设等比数列的公比为x(x≠0)，则有

S3＝x＋1＋(x≠0)，

∵当x>0时，x＋≥2；x<0时，x＋≤－2，

∴S3＝x＋1＋的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.

4[答案]　B

[解析]　①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B.

5[答案]　D

[解析]　∵an>0，bn>0，a1＝b1，a21＝b21，

∴a11＝＝≥＝b11，等号成立时，b1＝b21，即此时{an}，{bn}均为常数列，故选D.

6[答案]　D

[解析]　∵a、b∈R＋时，a＋b≥2，∴≤1，

∴≤，∴①不恒成立，排除A、B；

∵ab＋≥2>2恒成立，故选D.

7[答案]　1760

[解析]　设水池池底的一边长为 xm，则另一边长为m，则总造价为：

y＝480＋80××2＝480＋320

≥480＋320×2＝1 760.

当且仅当x＝ 即x＝2时，y取最小值1 760.

所以水池的最低总造价为1 760元．

8[答案]　6

[分析]　此类题一般利用基本不等式转化为的不等式求解．

[解析]　＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.

9[答案]　3

[解析]　以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则AB方程为＋＝1，

∵x，y∈R＋，∴1＝＋≥2，

∴xy≤3.

10[解析]　左边＝＋＋＝＋＋

＝1＋＋＋1＋＋＋1＋＋

＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋3，

∵a＋b＋c＝1且a、b、c同号．∴a>0，b>0，c>0，

∴，，，，，均大于0，又a，b，c互不相等，由基本不等式得＋>2，＋>2，＋>2于是，左边>2＋2＋2＋3＝9，

∴＋＋>9.

11[答案]　D

[解析]　解法1：∵a、b都是正实数，且＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)·

＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当＝即b＝3a时等号成立，

此时a＝4，b＝12，∴(a＋b)min＝16.

∵a＋b≥c恒成立，∴0<c≤16.

解法2：由＋＝1得b＋9a＝ab，

∴(a－1)(b－9)＝9，

又∵＋＝1，a>0，b>0，

∴a>1，b>9，

∴(a－1)(b－9)≤2

∴a＋b≥16，等号在a－1＝b－9＝3时成立，

∴要使a＋b≥c恒成立，应有0<c≤16.

12[答案]　A

[解析]　RA＝，RB＝，

RA－RB＝－＝

＝>0，所以RA>RB.

13[答案]　B

[解析]　∵a、b、c成等差数列，∴b＝.

∵cosB＝＝

＝

≥＝＝(等号在a＝c时成立)．

又∵y＝cosx在(0，π)内是减函数，∴0<B≤.

14[答案]　D

[解析]　AB＝(a2＋b2)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)

＝ab＋(a－b)2sin2xcos2x≥ab，∴m≥n，

p＝A2＋B2＝(A＋B)2－2AB＝(a＋b)2－2AB，

z＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，∴p≤z，

∴m＋z≥p＋n.

15[答案]　8

[解析]　∵y＝loga(x＋3)－1，恒过点(－2，－1)，

∴A(－2，－1)，又点A在直线上，

∴－2m－n＋1＝0.即2m＋n＝1.

又mn>0，∴m>0，n>0.

而＋＝＋

＝2＋＋2＋≥4＋2＝8.

当n＝，m＝时取“＝”．∴＋的最小值为8.

16[解析]　∵a，b，c∈R＋，，，均大于0，

又＋b≥2＝2a，

＋c≥2＝2b，

＋a≥2＝2c，

三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，

∴＋＋≥a＋b＋c.

17[解析]　(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为

3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．

设平均每天所支付的总费用为y1元，则

y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800

＝＋9x＋10809

≥2＋10809＝10989.

当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．

设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90

＝＋9x＋9729(x≥35)，

令f(x)＝x＋(x≥35)，x2>x1≥35，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝，

∵x2>x1≥35.

∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0.

∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．

即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数．

∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10989，

∴该厂应该接受此优惠条件．