必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性当堂达标检测题

3-3-3技能训练

基础巩固强化

一、选择题

1．设集合U＝{(x，y)|x、y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩∁UB的条件是(　　)

A．m＞－1，n＜5　　　 　 B．m＜－1，n＜5

C．m＞－1，n＞5   D．m＜－1，n＞5

2．(2010·全国卷文，3)若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为(　　)

A．4　　 　B．3　　 　C．2　　 　D．1

3．(2012·山东理，5)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)

A．[－，6]   B．[－，－1]

C．[－1,6]   D．[－6，]

4．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件则z的最小值为(　　)

A．1   B．－1

C．3   D．－3

5．变量x、y满足下列条件则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是(　　)

A．(4,5)   B．(3,6)

C．(9,2)   D．(6,4)

6．(2010～2011·辽宁鞍山高二期中)已知x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是(　　)

A.   B.

C．2  D．4

二、填空题

7．已知x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

8．已知x，y满足则x2＋y2的最大值为________．

9．(2011·江苏南京一模)已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值是________．

三、解答题

10．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．

能力拓展提升

一、选择题

11．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)

A．0   B．2

C．4   D．5

12．已知x、y满足，则的最值是(　　)

A．最大值是2，最小值是1

B．最大值是1，最小值是0

C．最大值是2，最小值是0

D．有最大值无最小值

13．(2011·浙江文，3)若实数x，y满足不等式组，则3x＋4y的最小值是(　　)

A．13   B．15

C．20   D．28

二、填空题

14．设x、y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是________．

三、解答题

15．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？

16．某厂有一批长为18米的条形钢板，可以割成1.8米和1.5米长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．

[分析]　能获得最大利润的下料数学语言即为：销售总值与加工费之差为最大．

详解答案

1[答案]　A

[解析]　由题设点P(2,3)满足2x－y＋m＞0和x＋y－n＞0，∴m＞－1且n＜5.

2[答案]　B

[解析]　先作出可行域如图．

作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．

当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.

3[答案]　A

[解析]　本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)处z有最小值，即－≤z≤6.

[点评]　对于目标函数的求解需要注意z的几何意义及系数的正负对取值的影响．

4[答案]　A

[解析]　作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.

5[答案]　B

[解析]　检验法：将A、B、C、D四选项中x，y代入z＝3x＋2y按从小到大依次为A、B、D、C.然后按A→B→D→C次序代入约束条件中，A不满足2x＋3y＝24，B全部满足，故选B.

[点评]　本题用一般解法需先画出可行域，然后通过比较直线3x＋2y＝z的斜率k＝－与不等式组中各直线斜率的大小找出z＝3x＋2y的最小值点．解答过程较复杂，如果注意分析会发现，使z＝3x＋2y最小的最优解一定在选项中，故将各选项代入z＝3x＋2y中按z值从小到大排列，然后检验是否满足不等式组即可找出此最优解，这样解答简便多了．

6[答案]　B

[解析]　画出可行域为如图阴影部分．

由，解得A(，)，

∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且zmax＝.

7[答案]　5

[解析]　作出可行域如图，当直线z＝3x＋2y平移到经过点(1,1)时，z最大∴zmax＝5.

8[答案]　25

[解析]　画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．

由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，

则|OA|＝＝5，

|OB|＝＝，

|OC|＝＝.

设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，

则x2＋y2＝()2＝|OP|2，

由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25.

9[答案]　－1

[解析]　画出可行域如图中阴影部分所示．

由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(－1,1)时，z取最小值，此时x＝－1，y＝1，则z的最小值是zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1.

10[解析]　设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则作出可行域如图所示．

目标函数为：z＝2x＋y.

作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．

故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润.

11[答案]　D

[解析]　不等式组 变形为

，即作出其平面区域如图．

可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．

12[答案]　C

[解析]　作出不等式组表示的平面区域如图．

表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BC上时取得最小值0，∴选C.

13[答案]　A

[解析]　作出可行域如图所示，

令z＝3x＋4y

∴y＝－x＋

求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．

经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．

∴zmin＝9＋4＝13.

14[答案]　2

[解析]　可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.

15[解析]　设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费

z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.

x、y应满足

即，

作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．

设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．

∵点M的坐标为(20,260)，

∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．

16[解析]　设割成的1.8米和1.5米长的零件分别为x个、y个，利润为z元，

则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且

，

作出不等式组表示的平面区域如图，

又由，

解出x＝，y＝，

∴M(，)，

∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．

又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；

过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．

∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．

答：只要截1.5米长的零件12个，就能获得最大利润．