高中人教版新课标A第二章 数列2.3 等差数列的前n项和同步达标检测题

2-3-2技能训练基础巩固强化

一、选择题

1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)

A．2　　　　 B．3　　　　

C．4　　　　 D．5

2．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)

A．16   B．24 

C．36   D．48

3．(2011·山东苍山高二期中)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为(　　)

A．130   B．170 

C．210   D．260

4．(2011·辽宁鞍山市高二期中联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)

A．21   B．20 

C．19   D．18

5．(2010～2011·福建福州高二期中)＋＋＋…＋＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

6．(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)

A.   B. 

C.   D.

二、填空题

7．(2011·湖南高考)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.

8．等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn，且S3＝S12，则a8＝________.

9．(2011·天津)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．

三、解答题

10．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.

能力拓展提升

一、选择题

11．(2011·山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)

A．11   B．19 

C．20   D．21

12．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是(　　)

A．a8   B．a9 

C．a10  D．a11

13．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)

A．12   B．16 

C．9   D．16或9

14．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于(　　)

A．4   B．5 

C．6   D．7

二、填空题

15．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．

16．已知两个等差数列{an}：6,10,14，…；{bn}：2,7,12，…各100项，由它们的公共项所构成的数列的和为__________．

三、解答题

17．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．

*18.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．

详解答案

1[答案]　B

[解析]　由S偶－S奇＝d＝15，得d＝3.

2[答案]　D

[解析]　设公差为d，由⇒

⇒⇒S6＝6a1＋×3＝48.

3[答案]　C

[解析]　解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋d得

解之得d＝，a1＝＋.

∴S3m＝3ma1＋d＝210.

解法2：根据等差数列的性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．

∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.

解法3：∵Sn＝na1＋d，

∴＝a1＋d，∴点(n，)是直线y＝＋a1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.

解法4：令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.

[点评]　对于等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和Sm、S2m、S3m，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴S3m＝3(S2m－Sm)＝3(100－30)＝210.要通过本题深刻领会等差数列的性质在解题中的应用，以迅速提升自已的解题能力．

4[答案]　B

[解析]　由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B.

5[答案]　B

[解析]　原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)＝，故选B.

6[答案]　A

[解析]　本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．

∵a5＝5，S5＝15

∴＝15，即a1＝1.

∴d＝＝1，∴an＝n.

∴＝＝－.

则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.

故选A.

[点评]　本题亦可利用等差数列的性质，由S5＝15得5a3＝15，即a3＝3，再进一步求解．

7[答案]　25

[解析]　由得，

∴S5＝5a1＋×d＝25.

8[答案]　0

[解析]　∵{an}是等差数列，S3＝S12，

∴S12－S3＝a4＋a5＋…＋a12＝0.

又∵a4＋a12＝a5＋a11＝…＝2a8，

∴S12－S3＝9a8＝0，故a8＝0.

9[答案]　110

[解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，

∴解得d＝－2，a1＝20.

∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.

10[解析]　设{an}的公差为d，则

，

即，

解得，或.

因此Sn＝－8n＋×2＝n2－9n，或Sn＝8n＋×(－2)＝－n2＋9n.

11[答案]　B

[解析]　∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，

∵<－1，

∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，

∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，

又S19＝＝19a10>0，故选B.

12[答案]　D

[解析]　S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，

∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，

又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.

13[答案]　C

[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，

由an<180得n<13且n∈N*，

由n边形内角和定理得，

(n－2)×180＝n×120＋×5.

解得n＝16或n＝9

∵n<13，∴n＝9.

[点评]　请思考若最小内角为100°，公差为10°时边数n是多少？

14[答案]　A

[解析]　∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，

又∵a1·a2·a3＝105，

∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A.

15[答案]　5或6

[解析]　

∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，

∴S11＝＝0，

根据二次函数图象的性质，由于n∈N*，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．

16[答案]　4240

[解析]　公共项构成的新数列{cn}是以c1＝22为首项d＝20为公差的等差数列，∴cn＝20n＋2，

∵an＝4n＋2，bn＝5n－3，∴a100＝402，b100＝497.

∴20n＋2 ≤402，∴n≤20，

∴公共项有20项，它们的和为S20＝20×22＋×20＝4240.

17[解析]　(1)依题意

即

由a3＝12，得a1＋2d＝12. ③

将③分别代入②①，得

解得－<d<－3.

(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．

由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得

a6>0，a7<0，

故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．

18[解析]　(1)由等差数列的性质得，a3＋a4＝a2＋a5＝22，

又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的解，

又公差大于零，故解得a3＝9，a4＝13，

所以公差d＝a4－a3＝13－9＝4，首项a1＝1.

所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋4(n－1)＝4n－3.

(2)由(1)知：Sn＝＝2n2－n，

所以bn＝＝.

故b1＝，b2＝，b3＝.

令2b2＝b1＋b3，即＝＋，

所以2c2＋c＝0.

因为c≠0，故c＝－，此时bn＝＝2n.

当n≥2时，bn－bn－1＝2n－2(n－1)＝2.

所以当c＝－时，{bn}为等差数列．