人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课堂检测

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课堂检测，共9页。试卷主要包含了已知a，b∈R，a+b＝2，阅读，已知正实数a、b满足，成立，求实数m的取值范围；，已知a＞0，b＞0，a+b＝2等内容，欢迎下载使用。
基本不等式一．选择题（共1小题）1．已知a，b∈R，a+b＝2．则+的最大值为（　　）A．1 B． C． D．2二．填空题（共1小题）2．若2a+3b＝12（a•b≥0），则的最小值为　 　；最大值为　 　．三．解答题（共8小题）3．阅读：已知a、b∈（0，+∞），a+b＝1，求y＝+的最小值．解法如下：y＝+＝（+）（a+b）＝++3≥3+2，当且仅当＝，即a＝﹣1，b＝2﹣时取到等号，则y＝+的最小值为3+2．应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c＝1，求y＝++的最小值；（2）已知x∈（0，），求函数y＝+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，…，an，a1+a2+a3+…+an＝1，求证：S＝+++…+≥．4．已知x，y，z∈R+，x+y+z＝3．（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．5．已知正实数a、b满足．（1）求a+b的最小值；（2）求的最小值；（3）求2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值．6．设正实数a，b，c满足a+2b+3c＝1．（1）求abc的最大值；（2）的最小值．7．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．8．（1）函数f（x）＝|x﹣3|，若存在实数x，使得2f（x+4）≤m+f（x﹣1）成立，求实数m的取值范围；（2）设x，y，z∈R，若x+2y﹣2z＝4，求x2+4y2+z2的最小值．9．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n＝a（m＞0，n＞0），求的最小值．10．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．
参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．已知a，b∈R，a+b＝2．则+的最大值为（　　）A．1 B． C． D．2【解答】解：a，b∈R，a+b＝2．则+＝＝＝，令t＝6﹣2ab，t＞0，则ab＝，则＝＝＝≤＝．当且仅当t＝4时，取得等号，则+的最大值为，故选：C．二．填空题（共1小题）2．若2a+3b＝12（a•b≥0），则的最小值为　1　；最大值为　　．【解答】解：若2a+3b＝12（a•b≥0），则a≥0，b≥0，有基本不等式12＝2a+3b≥2，（当且仅当a＝3，b＝2时“＝”成立），得0≤ab≤6，又由（2a+3b）2＝122，得4a2+9b2＝144﹣12ab，令y＝，则y＝＝＝，令t＝18﹣ab，则，12≤18﹣ab≤18，y＝，（12≤t≤18），则y′＝，令y′＝0，得t＝12或t＝﹣12（舍去），∴当t∈[12，12）时，y′＞0，当t∈（12，18]，y′＜0∴函数y＝，在区间当[12，12）上单调递增，在区间当（12，18]上单调递减，∴当t＝12时，y有最大值，最大值是：，又因为，当t＝12时，y＝1，当t＝18时，y＝，∵1＜，所以，y的最小值为：1故答案为：1；．三．解答题（共8小题）3．阅读：已知a、b∈（0，+∞），a+b＝1，求y＝+的最小值．解法如下：y＝+＝（+）（a+b）＝++3≥3+2，当且仅当＝，即a＝﹣1，b＝2﹣时取到等号，则y＝+的最小值为3+2．应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c＝1，求y＝++的最小值；（2）已知x∈（0，），求函数y＝+的最小值；（3）已知正数a1、a2、a3，…，an，a1+a2+a3+…+an＝1，求证：S＝+++…+≥．【解答】解（1）∵a+b+c＝1，∴y＝++＝（a+b+c）＝3+++2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．即的最小值为9．（2）＝＝10+2，而，∴＝8，当且仅当，即∈时取到等号，则y≥18，∴函数y＝的最小值为18．（3）∵a1+a2+a3+…+an＝1，∴2S＝（+++…+）[（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an+a1）]＝+++…+++（2a1a2+2a2a3+…+2ana1）＝＝1．当且仅当a1＝a2＝…＝an＝时取到等号，则．4．已知x，y，z∈R+，x+y+z＝3．（1）求++的最小值（2）证明：3≤x2+y2+z2＜9．【解答】（1）解：∵x，y，z∈R+，x+y+z＝3．∴++＝＝＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴++的最小值是3．（2）证明：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，∴2（x2+y2+z2）≥2xy+2xz+2yz，∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2＝32，∴x2+y2+z2≥3；又x2+y2+z2﹣9＝x2+y2+z2﹣（x+y+z）2＝﹣2（xy+yz+xz）＜0．综上可得：3≤x2+y2+z2＜9．5．已知正实数a、b满足．（1）求a+b的最小值；（2）求的最小值；（3）求2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值．【解答】解：，即b+a＝ab，ab﹣b﹣a+1＝1，（a﹣1）（b﹣1）＝1，a＞1，b＞1，（1）因为a、b是正实数，所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4；（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为25；（3）因为a﹣1＞0，b﹣1＞0，（a﹣1）（b﹣1）＝1，所以2a2+b2﹣4a﹣2b＝2a2﹣4a+2+b2﹣2b+1﹣3＝当且仅当，时等号成立，故2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值为．6．设正实数a，b，c满足a+2b+3c＝1．（1）求abc的最大值；（2）的最小值．【解答】解：（1）因为a，b，c＞0，所以1＝a+2b+3c≥，解得，当且仅当a＝2b＝3c＝,即时取等号，故abc的最大值为；（2）因为a+2b+3c＝1,所以b+3c＝1﹣a﹣b＞0，所以＝＝＝，当且仅当1﹣a﹣b＝2（a+b）,即a+b＝时取等号，故的最小值为5．7．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．【解答】解：（1）在等式x+y+z＝2两边平方得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，由基本不等式可得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x2+y2）+z2+2xy+2yz+2xz≥2xy+z2+2xy+2yz+2xz＝4xy+2yz+2xz+z2，当且仅当x＝y时，等号成立，因此，4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）由基本不等式可得++＝≥2（x+y+z）＝4，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．8．（1）函数f（x）＝|x﹣3|，若存在实数x，使得2f（x+4）≤m+f（x﹣1）成立，求实数m的取值范围；（2）设x，y，z∈R，若x+2y﹣2z＝4，求x2+4y2+z2的最小值．【解答】解：（1）令g（x）＝2f（x+4）﹣f（x﹣1），则g（x）＝2|x+1|﹣|x﹣4|，即作出的图象，如图所示，易知其最小值为﹣5         …（5分）所以m≥g（x）min＝﹣5，实数的取值范围是[﹣5，+∞）．（2）由柯西不等式：[12+12+（﹣2）2]•[x2+（2y）2+z2]≥（x+2y﹣2z）2即6（x2+4y2+z2）≥（x+2y﹣2z）2＝16，故当且仅当时，即时等号成立，所以x2+4y2+z2的最小值为．…（10分）9．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n＝a（m＞0，n＞0），求的最小值．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（1）由f（x）＜2知|2x﹣1|＜2，于是﹣2＜2x﹣1＜2，解得﹣，故不等式f（x）＜2的解集为；…（3分）（2）由条件得g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|＝2，当且仅当时，其最小值a＝2，即m+n＝2…（6分）又，…（8分）所以＝＝，故的最小值为，此时．…（10分）10．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．【解答】解：（1）a+b＝2．∴+＝（+）＝（5+）≥仅当（b＝2a等号成立）；（2）证明：＝ab••（）2＝1．（当且仅当a＝b等号成立）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/29 21:15:10；用户：13777899296；邮箱：13777899296；学号：27796731              菁优网APP                菁优网公众号             菁优网小程序