高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品课后作业题

第1课时　诱导公式二、三、四

(教师独具内容)

课程标准：

1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.

2.理解诱导公式的推导过程.

3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

教学重点：诱导公式的推导过程及其应用．

教学难点：诱导公式的推导过程.

【知识导学】

知识点一  角的对称

(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图a；

(2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图b；

(3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图c.

知识点二  诱导公式

【新知拓展】

(1)在公式一～四中，角α是任意角．

(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：

①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．

②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)=－sinα.

(3)利用诱导公式一和三，还可以得出如下公式：

sin(2π－α)=－sinα，

cos(2π－α)=cosα，

tan(2π－α)=－tanα.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　　)

(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　　)

(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　　)

(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．(　　)

(5)诱导公式中的角α只能是锐角．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

2．做一做

(1)已知tanα=4，则tan(π－α)等于(　　)

A．π－4         B．4        C．－4           D．4－π

(2)sin的值是(　　)

A．－             B．－2          C．2            D.

(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)=________.

答案　(1)C　(2)A　(3)0

题型一  给角求值问题

例1　求下列三角函数值：

(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos.

[解]　(1)sin(－1200°)=－sin1200°

=－sin(3×360°＋120°)=－sin120°

=－sin(180°－60°)=－sin60°=－.

(2)tan945°=tan(2×360°＋225°)=tan225°=tan(180°＋45°)=tan45°=1.

(3)cos=cos=cos=cos=.

金版点睛

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

求下列各式的值：

(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°；

(2)sincos＋tan.

解　(1)原式=sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)=sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°

=×＋×－1=0.

(2)原式=sincos＋tan

=sincos＋tan=sin·＋tan=×＋1=.

题型二  给值求值问题

例2　(1)已知cos(π－α)=－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　)

A.           B．－         C．±        D.

(2)已知cos=，则cos=________.

[解析]　(1)因为cos(π－α)=－cosα，所以cosα=.

因为α是第一象限角，所以sinα>0.

所以sinα===.所以sin(－2π－α)=sin(－α)=－sinα=－.

(2)cos=cos=－cos=－.

[答案]　(1)B　(2)－

[结论探究]　

(1)若本例(2)中的条件不变，求cos；

(2)若本例(2)条件不变，求cos－sin2的值．

解　(1)cos=cos=cos=cos=.

(2)因为cos=cos=－cos=－，

sin2=sin2=sin2=1－cos2=1－2=，

所以cos－sin2=－－=－.

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解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

(1)已知sinβ=，cos(α＋β)=－1，则sin(α＋2β)的值为(　　)

A．1          B．－1        C.           D．－

(2)已知cos(α－55°)=－，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；

(3)已知tan(π＋α)=3，求的值．

答案　(1)D　(2)　(3)见解析

解析　(1)∵cos(α＋β)=－1，∴α＋β=π＋2kπ，k∈Z，

∴sin(α＋2β)=sin[(α＋β)＋β]=sin(π＋β)=－sinβ=－.

(2)∵cos(α－55°)=－<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．

∴sin(α－55°)=－=－.

∵α＋125°=180°＋(α－55°)，

∴sin(α＋125°)=sin[180°＋(α－55°)]=－sin(α－55°)=.

(3)因为tan(π＋α)=3，所以tanα=3.

故====7.

题型三   三角函数式的化简

例3　化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3)sincos(k∈Z)．

[解]　(1)原式=

==－=－tanα.

(2)原式=

====－1.

(3)当k为偶数时，

原式=sincos=sincos=－sincos=－.

当k为奇数时，原式=sincos=sincos=sincos=.

金版点睛

三角函数式化简的常用方法

(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．

(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．

(3)注意“1”的应用：1=sin2α＋cos2α=tan.

(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．

化简：(1)；

(2).

解　(1)====1.

(2)原式====－1.

1．若n为整数，则化简所得的结果是(　　)

A．tannα       B．－tannα      C．tanα        D．－tanα

答案　C

解析　原式=tan(nπ＋α)，无论n是奇数还是偶数，tan(nπ＋α)都等于tanα.

2．已知tan=，则tan=(　　)

A.         B．－            C.          D．－

答案　B

解析　因为tan=tan=－tan，所以tan=－.

3.的值等于________．

答案　－2

解析　原式==

====－2.

4．已知sin(45°＋α)=，则sin(225°＋α)=________.

答案　－

解析　sin(225°＋α)=sin[(45°＋α)＋180°]=－sin(45°＋α)=－.

5．化简：(n∈Z)．

解　当n=2k，k∈Z时，

原式==.

当n=2k＋1，k∈Z时，

原式==－.

所以原式=

第2课时　诱导公式五、六

(教师独具内容)

课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．

教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．

教学难点：诱导公式五、六的推导过程.

【知识导学】

知识点　诱导公式五、六

【新知拓展】

(1)公式五、六中的角α是任意角．

(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．

①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．

②“奇”“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：

sin=－cosα，cos=－sinα，

sin=－cosα，cos=sinα.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)角－α与角α的终边关于y轴对称．(　　)

(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan与tanα的关系．(　　)

(3)sin=－sinα.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)已知sin=，那么cosα=(　　)

A．－         B．－          C.          D.

(2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cos的值为(　　)

A．－          B.          C.            D．－

(3)化简：sin=________.

答案　(1)C　(2)A　(3)－cosα

题型一   利用诱导公式五、六求值

例1　已知cos=，求值：

＋.

[解]　原式=＋=－sinα－sinα=－2sinα.

又cos=，所以－sinα=.所以原式=－2sinα=.

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诱导公式应用中需注意的问题

诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．

已知cos(π＋α)=－，求cos的值．

解　∵cos(π＋α)=－cosα=－，∴cosα=，∴α为第一或第四象限角．

①若α为第一象限角，则cos=－sinα=－=－=－；

②若α为第四象限角，则cos=－sinα===.

综上，cos=或－.

题型二  化简三角函数式

例2　化简：＋.

[解]　∵sin=cosα，cos=sinα，

cos(π＋α)=－cosα，sin(π－α)=sinα，

cos=－sinα，sin(π＋α)=－sinα，

∴原式=＋=－sinα＋sinα=0.

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用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．

(2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．

(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值等于________；

(2)化简：＋.

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)因为sin21°＋sin289°=sin21°＋cos21°=1，

sin22°＋sin288°=sin22°＋cos22°=1，

sin2x°＋sin2(90°－x°)=sin2x°＋cos2x°=1(1≤x≤44，x∈N)，

所以原式=(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)

＋sin290°＋sin245°=45＋2=.

(2)因为tan(3π－α)=－tanα，sin(π－α)=sinα，

sin=－cosα，sin(2π－α)=－sinα，

cos=cos=－sinα，

sin=－cosα，cos(2π＋α)=cosα，

所以原式=＋=－===1.

题型三  利用诱导公式证明三角恒等式

例3　求证：

=1.

[证明]　∵左边=

==1=右边．

∴原式成立．

金版点睛

三角恒等式的证明策略

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

求证：＋=.

证明　∵左边=＋

=＋=

===右边．

∴原式成立．

1．已知sin40°=a，则cos50°等于(　　)

A．±a          B．－a       C．a             D.

答案　C

解析　cos50°=cos(90°－40°)=sin40°=a.

2．已知sin=，α∈，则tanα的值为(　　)

A．－2         B．2        C．－           D.

答案　A

解析　因为sin=cosα=.又α∈，所以sinα=－=－，

则tanα=－2.

3．已知tan(3π＋α)=2，则

=________.

答案　2

解析　由tan(3π＋α)=2，得tanα=2，所以

原式=====2.

4．若sin=，则cos2θ－sin2θ=________.

答案　－

解析　sin=cosθ=，从而sin2θ=1－cos2θ=，所以cos2θ－sin2θ=－.

5．已知sin=，求cossin的值．

解　cossin=cossin

=sinsin=×=.