人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数精品课时练习

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4.2.1　指数函数的概念
4.2.2　指数函数的图象和性质

第1课时　指数函数的概念及其图象和性质

(教师独具内容)
课程标准：1.了解引入指数函数的背景，理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象.3.探索并理解指数函数的单调性、定义域和值域及图象与参数的关系．
教学重点：1.理解指数函数的概念.2.借助指数函数的图象掌握指数函数的性质，在“制图与识图”过程中体会数形结合思想.3.指数函数性质的一些简单应用．
教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数a对函数的影响．

【知识导学】
知识点一　指数函数的定义
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
知识点二　指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
知识点三　指数函数的图象和性质


【新知拓展】
(1)由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0 当a>b>1时，
①若x>0，则ax>bx>1；
②若x<0，则1>bx>ax>0.
当1>a>b>0时，
①若x>0，则1>ax>bx>0；
②若x<0，则bx>ax>1.
(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
(4)当a>1时，x→－∞，y→0；当0
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)
(2)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>1.(　　)
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.
(3)函数y＝2的定义域为________，值域为________．
答案　(1)2　(2)3x　(3)(－∞，0]　[1,2)


题型一 指数函数的概念
例1　指出下列哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x.
[解]　(2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．

金版点睛
判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一形式即可.若符合，则函数为指数函数；否则就不是指数函数.



　若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
答案　2
解析　因为函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
所以解得所以a＝2.

题型二 指数函数的图象问题
例2　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)

A．a C．1 (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析]　(1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1 解法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．
(2)解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．
解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．
[答案]　(1)B　(2)(3,4)

金版点睛
1．识别指数函数图象问题的注意点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0 (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．
2．解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．



　(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　)

(2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)二次函数y＝a2－，其图象的顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间．
(2)令2x＋1＝0得x＝－，y＝2，
所以函数图象恒过点.
题型三 与指数函数有关的定义域和值域问题
例3　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝.
[解]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.
所以 ∈[0,1)，即函数y＝ 的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.
所以函数y＝2的定义域为{x|x≠4}．
因为≠0，所以2≠1，即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.
所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝0＝1，
即函数y＝的值域为{y|y＝1}．

金版点睛
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
(1)求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型．
①由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.
②对于函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中.
③求y＝)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组).
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，还需注意：在求形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数值域时，先求得f(x)的值域(即函数t＝f(x)中t的范围)，再根据y＝at的单调性，列出指数不等式(组)，得出at的范围，即y＝af(x)的值域.



　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝0.3；(2)y＝3；
(3)y＝x2－2x－3.
解　(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}．
由≠0得y≠1，
所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥，
所以函数的定义域为.
由≥0，得y≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，
∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．


1．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝(　　)
A．1010 B．2020 C．2019 D．1009
答案　B
解析　不妨设f(x)＝2x，则＝＝…＝＝2，所以原式＝1010×2＝2020.
2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A. B．(－∞，0)
C. D.
答案　B
解析　由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.
3．若函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　)
A．a>0 B．a<1
C．0 答案　C
解析　由ax－1≥0，得ax≥a0.
∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0 4．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)

答案　C
解析　由于0 5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解　(1)因为函数图象经过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)得f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0 所以所求函数的值域为(0,2]．













第2课时　指数函数的图象和性质的应用

(教师独具内容)
课程标准：1.掌握指数函数的图象变换.2.熟悉指数函数与其他函数的复合函数的处理方法.3.熟悉指数函数在实际问题中的应用．
教学重点：1.指数函数的图象与底数的关系.2.指数函数的图象变换与参数的关系，特殊点在图象变换中的作用.3.复合函数的单调性、定义域与值域问题的处理方法.4.指数函数性质的应用．
教学难点：1.指数函数的图象与底数关系的直观理解与严格证明.2.参数在图象变换(平移、翻转)中的作用，数形结合方法的进一步渗透.3.复合函数相关问题中各种函数性质的综合应用.

【知识导学】
知识点一　不同底指数函数图象的相对位置
指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．
知识点二　函数图象的对称和变换规律
一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．
知识点三　与指数函数复合的函数单调性
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0 (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：
u＝g(x)
y＝f(u)
y＝f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f[g(x)]的单调性．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)3－1.8>3－2.5.(　　)
(2)7－0.5<8－0.5.(　　)
(3)6－0.8<70.7.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，当a>1时，x的取值范围是__________；当0 (2)满足x－3>16的x的取值范围是________．
(3)某种细菌在培养的过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，则这种细菌由一个分裂成4096个需经过________小时．
答案　(1)　　(2)(－∞，1)
(3)3


题型一 指数函数的图象变换
例1　利用函数f(x)＝x的图象，作出下列各函数的图象：
(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
[解]　作出f(x)＝x的图象，如图所示：

(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)的图象，如下图(1)．
(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如下图(2)．
(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如下图(3)．


金版点睛
作与指数函数有关的图象应注意的问题
(1)作与指数函数有关的函数图象，只需利用指数函数的图象作平移变换或对称变换即可，值得注意的是作图前要探究函数的定义域和值域，掌握图象的大致趋势．
(2)利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如本例(1)；对称需分清对称轴是什么，如本例(2)(3)．



　画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．
解　y＝2|x－1|＝
其图象是由两部分组成的：一是把y＝2x的图象向右平移1个单位长度，取x≥1的部分；二是把y＝x的图象向右平移1个单位长度，取x<1的部分，如图中实线部分所示．由图象可知，函数有三个重要性质：

①对称性：图象的对称轴为直线x＝1；
②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增；
③函数的值域：[1，＋∞).

题型二 利用指数函数的单调性比较大小
例2　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
[解]　(1)∵1.7>1.
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
(2)解法一：∵1.7>1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．而0.3>0，
∴1.70.3>1.50.3.
解法二：∵1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，
∴1.70.3>1.50.3.
(3)∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.

金版点睛
比较函数值大小的常用方法
(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂值比较大小，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．
(3)当底数不同，指数也不同时，采用中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与两数都能比较大小的一个值，进而利用中间值解决问题．



　比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.
解　(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
又∵0.8－0.2＝1.250.2
∴0.8－0.1<1.250.2.
(2)∵0<<1，∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π<0，∴－π>0＝1，即－π>1.

题型三 解简单的指数不等式
例3　设0a2x2＋2x－3.
[解]　∵0 又∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
∴不等式的解集是(1，＋∞)．

金版点睛
解指数型函数不等式的依据
解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：




　求满足下列条件的x的取值范围：
(1)3x－1>9x；
(2)0.2x<25；
(3)a－5x0，且a≠1)．
解　(1)∵3x－1>9x，∴3x－1>32x，
又y＝3x在定义域R上是增函数，
∴x－1>2x，∴x<－1，
即x的取值范围是(－∞，－1)．
(2)∵0<0.2<1，∴指数函数f(x)＝0.2x在R上是减函数．
又25＝0.2－2，∴0.2x<0.2－2，∴x>－2，即x的取值范围是(－2，＋∞)．
(3)当a>1时，∵a－5x 解得x>；
当0x－7，
解得x<.
综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0 题型四 指数函数性质的综合应用
例4　已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1
(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
(3)由(2)知，f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
∵f(1)＝－＝，
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.

金版点睛
复合函数的单调性问题
函数y＝f(ax)的单调区间既要考虑f(x)的单调区间，又要讨论a的取值范围：当a>1时，函数y＝f(ax)与函数f(x)的单调性相同；当0


　已知函数f(x)＝.
(1)证明：f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．
解　(1)证明：由题知f(x)的定义域为R.
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈R，且x1

1．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2<π D．0.90.3>0.90.5
答案　D
解析　因为函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
答案　B
解析　∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.
3．设＜b A．aa C．ab 答案　C
解析　由已知条件得0 4．函数y＝1－x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案　A
解析　设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝1－x的递增区间．
5．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
解　y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，
∴当a>1时，y≥2.
当0 ∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0 综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0