高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教案及反思

函数模型应用浅析

函数的实际应用题一般具有信息多、文字长、综合性强等特点，着重考查学生的阅读理解能力、建立函数模型、数据处理能力、动手、动脑及应用的能力，因而此类题型成为高考命题的热点之一。求解时的一般步骤为：（1）阅读理解，对已知条件进行综合分析、归纳与抽象，确定等量关系；（2）引进数学符号，正确建立函数模型；（3）利用函数知识，求解函数模型；（4）返回到实际问题。

一、一次函数模型

例1、某列货车从石家庄开往北京，全程277km,火车出发10min

开出13km后，以120匀速行驶。求火车行驶路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开石家庄2(h)内的路程。

分析：这里不仅要先确定路程、速度和时间的等量关系，还应弄清本题中时间t的特殊含义。

   解：整个路程火车匀速行驶的时间为=(h),.

     火车匀速行驶t(h)所走路程为120t，火车行驶路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式为s=13+120t().

   火车离开石家庄2(h)内的路程s=13+120（）=233(km)。

   评注：应用题的审题要全面、细致，如本题中t不表示行驶的时间，而是火车匀速行驶的时间，否则将产生错误。

   二、二次函数模型

   例2某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元.问经过多少年总纯收入获利最大？

分析：总纯收入获利应等于总收入减去支出，这是一个二次函数。

解：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列。

设纯收入与年数的关系为f（n），则

=－2（n－10）2+102

，当n=10时，。

故经过10年总纯收入获利最大且最大获利为102万元。

评注：1、本题中支出的费用应包含98万元的购船费用和每年的各种费用，这是解决问题的关键。

      2、运用二次函数模型求最值，应充分结合二次函数的顶点、对称轴、抛物线的开口和单调性来解决。

三、指数函数和对数函数模型

例3一种放射性物质，最初的质量为500克，按每年衰减，（1）求x年后，这种放射性物质的质量y的表达式；（2）求这种放射性物质的半衰期。

分析：本题是一个减少率问题，可建立指数函数模型。

解：(1)最初的质量为500克，由条件知：经过1年， ;经过2年, ;经过x年,              .

   (2)由条件得，，即，两边取对数得，即这种物质的半衰期约为6.6年。

评注：1、有关存款平均利率、平均增长率、平均减少率等问题都属于指数函数问题。

      2、此类问题长与数列结合考查，弄清项数是关键。

四、分段函数模型

例4某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为，其中x是产品销售的数量（0≤x≤500）。（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的表达式。(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？

分析：解决本题需要明确两点：（1）围绕“利润=销售收入-投入”建立函数模型；（2）由于年产量不定，所以本题应为分段函数。当年产量大于500时，年销量最大值为500部。

解：（1）由题意，得

y==

（2）当x>500时，函数为减函数。

当0≤x≤500时，由y=可知，当年产量为475部时，工厂的利润最大，其最大值是107812.5。

评注：1、分段函数就是解析式分几段表示的函数，它的意义指不同范围的自变量x与y对应法则是不同的。

      2、求分段函数的最值，应先求每段函数的最值，再进行比较，从而得出整个分段函数的最值。

函数及其模型应用例说

　　例1．如图，一动点 自边长为1的正方形 的顶点 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到 点．若点 的路程为 ，点 到顶点的距离为 ，求 两点间的距离 与点 的路程 之间的函数关系式．

　　分析：由于点 分别在 上移动时，相应距离计算方法是不同的，故需分类讨论．

　　解：(1)当点 在 边上即 时， 也就是 ;

　　(2)当点 在 边上时，即 时， ，由勾股定理得

　　 ．

　　 (3)当点 在 边上即 时， ， 由勾股定理得

．

　　(4)当点 在 边上即 时，有 ．

　　 ．

　　点评：几何应用问题要注意实际问题对定义域的限制条件．对分界点的讨论应做到不重不漏．

　　例2．将进货单价为20元的商品按30元一件销售时，一个月可卖400件．若这种商品的销售单价每变化1元，月销售量改变20件(降价时销售量增加，提价时销售量减少)为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?

　　分析：首先可以根据题意自己选择自变量 (可以取提高的钱数也可选取销售单价)然后再把利润的计算搞清．利润=(原销售单价+提价-进货价) (原销售量-滞销量)．

　　解：设销售单价提高 元，则月滞销量为20 件．由题意得

　　即 ，当 时， ，此时

　　 当每件商品售价提高5元即销售价定为35元时，月利润最大，最大利润为4500元．

　　点评：此题是商品销售的最典型问题．弄清各术语的意义及它们之间的关系是解决问题的关键．在正常情况下，上式中定义域的负值含义为降低，为零时，为不升不降．

　　例3．某渔场养鱼，第一年：鱼的重量增长200%，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半．

　　(1)当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍?

　　(2)如果由于某种原因，每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少?

　　分析：在实际问题中有关增长率的问题是较常见的．要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式 ，其中 是原来的基数， 为增长率， 为时间．

　　解：(1)设鱼原来的重量为 ， 年后鱼的重量为 ，则:

．

　　故四年后的重量是原来重量的 倍．

　　(2)由 ，得 ， ．

　　故经过五年后鱼的重量开始减少．

　　点评：对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算．

　　例4．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车得刹车距离超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲乙两种车型的刹车距离 (米)与车速 (千米/小时)之间分别有如下关系： ， ，问超速行驶应负主要责任的是谁?

　　分析：此题关键在于题意的理解及向数学问题的转化．负主要责任即车速的比较应尽量列出关于车速的不等式即可．

　　解：据题意得 ，

　　(1)和 ；

　　(2) 由(1)得 或 ，由(2)得 或 ．分别舍去负值可知 千米/小时 千米/小时．两车相比，乙车超过限速应负主要责任．

　　例5．用汽船拖载重量都是 且满载货物得小船若干只，在两港之间来回运送货物．若每次拖4只小船，则一天可来回16次，若每次拖7只小船，则一天可来回10次，且每天来回次数是每次所拖小船只数的一次函数，若每天每次所拖小船数不变，每天来回多少次，每次拖几只小船，才能使运货总重量达到最大，每天最大运货总重量是多少?

　　分析：运货总重量与每天小船来回次数，每次所拖小船只数以及小船载重量有关．由于小船载重量为定值，所以具体求出每天来回次数与每次所拖小船只数的关系式是解决问题的关键．

　　解：设汽船每次拖 只小船，每天来回 次，每天的运货量为 ．

　　由题意设 ，则有 解得

　　 ．于是 ．

　　当 时， 此时 ．

　　因此每天来回12次，每次拖6只小船，使运货重量最大，最大为72 ．

　　点评：此题中所研究的函数与多个自变量有关，可以通过寻求这些变量间的关系代入后达到减少变量个数的目的，最终形成与元函数求最大(小)值的问题．

　　例6．工厂的质量检验车间积压着部分产品待检，与此同时，流水线传送带按定速度来待检产品．如果打开一部质检机，需半小时可使待检产品全部通过质量检验，同时打开两部质检机，只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验．现因生产需要在5分钟内将待检产品全部通过质量检验，此时最少要同时打开几部质检机?

　　分析：每部质检机每分钟质检产品件数，传送带每分钟送来的产品数是列式计算的关键．

　　解：依题意，设积压的待检产品为 件，每部质检机每分钟质检 件，传来的待检产品每分钟增加 件，则 解得 ．

　　若同时打开3部质检机，质检时间 ，将 代入得 ，若同时打开4部质检机，质检时间 ，将 代入得 ．

　　故最少要同时打开4部质检机才能在5分钟内将待检产品全部通过检验．

　 点评：对所列方程组，应将 看作未知数求解，这也是处理多个变量问题的一种处理策略．