高中数学1.2 子集、全集、补集教案

第1章　集　合

§1.2　子集、全集、补集

课时目标　1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．

1．子集

如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A.

2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．

3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．

4．补集

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．

5．全集

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.

集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为

一、填空题

1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．

2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．

3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA＝________.

4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM＝________.

5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．

6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．

7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝________，∁UB＝______，∁BA＝________.

9．已知全集U，AB，则∁UA与∁UB的关系是____________________．

二、解答题

10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．

(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；

(2)求(∁UA)∪(∁UB)，(∁UA)∩(∁UB)；

(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．

11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁UB.

能力提升

12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值．

13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．

1．子集概念的多角度理解

(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.

(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.

2．∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．

3．补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.

§1.2　子集、全集、补集

知识梳理

1．任意一个　子集　A⊆B　B⊇A　子集　2.真子集　AB　BA

3．空集　空集　4.补集　∁SA　5.全集

作业设计

1．PQ

解析　∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，

∴PQ.

2．7

解析　M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．

3．{3,9}

解析　在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁UA.

4．{x|x<－2或x>2}

解析　∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．

5．②

解析　由N＝{－1,0}，知NM.

6．SP＝M

解析　运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．

7．－3

解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.

8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}

解析　由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁UA＝{0,1,3,5,7,8}，∁UB＝{7,8}，∁BA＝{0,1,3,5}．

9．∁UB∁UA

解析　画Venn图，观察可知∁UB∁UA.

10．解　(1)∵U＝{x∈N*|x<8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，A∩B＝{5}，∴∁U(A∪B)＝{6}，∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,67}．

(2)∵∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,3,6,7}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,4,6,7}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6}．

(3)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)(如左下图)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)(如右下图)．

11．解　因为B⊆A，因而x2＝3或x2＝x.

①若x2＝3，则x＝±.

当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，此时∁UB＝{}；

当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时∁UB＝{－}．

②若x2＝x，则x＝0或x＝1.

当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；

当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而∁UB＝{3}．

综上所述，∁UB＝{}或{－}或{3}．

12．解　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A.

又b∈A，∴b∈U，由此得

解得或经检验都符合题意．

13．解　(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.

(2)当a>0时，A＝{x|<x<}．

又∵B＝{x|－1<x<1}，A⊆B，∴∴a≥2.

(3)当a<0时，A＝{x|<x<}．

∵A⊆B，∴∴a≤－2.

综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.