2013-2014学年高中数学同步训练：第3章 三角恒等变换 3.1.2 （苏教版必修4） Word版含答案
展开3.1.2 两角和与差的正弦
一、填空题
1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是________．
2．若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是________．
3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．
4．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为________．
5．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是________三角形．
6．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是______．
7．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则cos C＝________.
8．式子的值是________．
二、解答题
9．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
10．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
11．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
三、探究与拓展
12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin 80°·sin 40°的值．
答案
1．－ 2. 3.±1 4．2 5．等腰 6. 7. 8.
9．解 ∵α为锐角，sin α＝，
∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)
＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝，
∵β为锐角，∴β＝.
10．解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝＝
＝，
cos(α＋β)＝－
＝－
＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×
＝－.
11．解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×
＝－.
12．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β＝右边．
∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.
∴sin220°＋sin 80°·sin 40°
＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝.
