湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课时训练

[学生用书 P33]

1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)

A．必有f′(x0)＝0

B．f′(x0)不存在

C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在

D．f′(x0)存在但可能不为0

答案：A

2．下列函数存在极值的是(　　)

A．y＝　　　　　　　　　　 B．y＝x－ex

C．y＝x3＋x2＋2x－3   D．y＝x3

解析：选B.A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲线．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，

f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.

C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.

∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.

3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．

4．y＝x3－6x＋a的极大值为________．

解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或x>时，y′>0；当－<x<时，y′<0.∴函数在x＝－时，取得极大值a＋4.

答案：a＋4

一、选择题

1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.

2．函数f(x)＝x＋在x＞0时有(　　)

A．极小值　　　　　　　　　　 B．极大值

C．既有极大值又有极小值   D．极值不存在

解析：选A.令f′(x)＝1－＝0，得x＝±1，∵x＞0，

∴x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴在x＞0时，函数f(x)有极小值．

3．下列四个函数：

①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是(　　)

A．①②   B．②③

C．③④   D．①③

解析：选B.作出函数的大致图象，由图象可分析出结论；也可以用排除法，因为①④是单调函数，无极值，即可排除A、C、D，故应选B.

4．函数f(x)的定义在区间[a，b]上，其导函数的图象如图所示，则在[a，b]上函数f(x)的极值点个数为(　　)

A．3   B．4

C．6   D．7

解析：选C.图象与x轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，故函数有6个极值点．

5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)

A．a＜－1   B．a＞－1

C．a＞－   D．a＜－

解析：选A .y′＝ex＋a，令y′＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)＞0，所以a＜－1.

6．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)＞0，则下列结论中正确的为(　　)

A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点

B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点

C．x＝－1不是函数f(x)的极值点

D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点

解析：选D.由题意，得x＞－1，f′(x)＞0或x＜－1，f′(x)＜0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点，故选D.

二、填空题

7．函数y＝x·2x取极小值时x等于________．

解析：y′＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋x·ln2)＝0.

∴x＝－.当x＞－时，f′(x)＞0，函数递增；

当x＜－时，f′(x)＜0，函数递减．

∴函数在x＝－时取得极小值．

答案：－

8．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．

解析：x＝2是f(x)的极大值点，

∵f(x)＝x(x2－2cx＋c2)

∴f′(x)＝x(2x－2c)＋x2－2cx＋c2＝3x2－4cx＋c2，

∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0.

∴c＝2或c＝6.当c＝2时，f(x)在x＝2处只能取极小值．不能取极大值，∴c＝6.

答案：6

9．当a为________时，函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)没有极值点．

解析：由已知可得f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋2a＋1]，若函数不存在极值点，则在方程f′(x)＝0即x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0中，有Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a≤0，解之得0≤a≤4.

答案：0≤a≤4

三、解答题

10．求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；

(2)f(x)＝.

解：(1)f′(x)＝3x2－6x－9.

解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.

(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝e.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.

11．如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a≠0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值．

解：f′(x)＝5ax4－3bx2.

令f′(x)＝0，即5ax4－3bx2＝0，x2(5ax2－3b)＝0.

∵x＝±1是极值点，∴5a(±1)2－3b＝0.

又x2＝0，∴可疑点为x＝0，x＝±1.

若a>0，f′(x)＝5ax2(x2－1)．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可知，当x＝－1时，f(x)有极大值；

当x＝1时，f(x)有极小值．

∴⇒⇒

若a<0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.

12．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．

解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，

令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表

∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，

∴m＝1.