高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用一课一练

这是一份高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用一课一练，共4页。试卷主要包含了故选C.，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1．若动点P到F1(－5,0)与F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析：选D.由题知P点的轨迹是双曲线，∵c＝5，a＝4，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9.
∵双曲线的焦点在x轴上，
∴P点的轨迹方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
2．已知方程eq \f(x2,1＋k)－eq \f(y2,1－k)＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1 B．k＞0
C．k≥0 D．k＞1或k＜－1
解析：选A.∵方程eq \f(x2,1＋k)－eq \f(y2,1－k)＝1表示双曲线，
∴(1＋k)(1－k)＞0，∴(k＋1)(k－1)＜0，
∴－1＜k＜1.
3．方程x＝eq \r(3y2－1)所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：选C.依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
4．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点在双曲线左支上，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22，
当点P在双曲线右支上，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
答案：22或2
一、选择题
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析：选D.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．
2．(2011年浙江五校联考)已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：选C.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝10表示双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，此时P点轨迹是一条射线，故选C.
3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A．(eq \f(\r(2),2)，0) B．(eq \f(\r(5),2)，0)
C．(eq \f(\r(6),2)，0) D．(eq \r(3)，0)
解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1，
所以a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(6),2)，
∴右焦点坐标为(eq \f(\r(6),2)，0)．故选C.
4．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.eq \f(1,2) B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D．1
解析：选D.依题意：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,0解得a＝1.故选D.
5．(2011年长沙高二检测)若k∈R，则“k＞3”是“方程eq \f(x2,k－3)－eq \f(y2,k＋3)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当k＞3时，k－3＞0，k＋3＞0.
∴方程eq \f(x2,k－3)－eq \f(y2,k＋3)＝1表示双曲线．
∵要eq \f(x2,k－3)－eq \f(y2,k＋3)＝1表示双曲线，
需(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3，故选A.
6．已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．36
C．48 D．96
解析：选C.依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于eq \f(1,2)×16× eq \r(102－\f(16,2)2)＝48.
二、填空题
7．F1、F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________.
解析：设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2csα，
∴csα＝eq \f(r1－r22＋2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq \f(36＋64－100,64)＝0.
∴α＝90°.
答案：90°
8．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：
∵eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，
∴当x＝3时，y＝±eq \r(15).
又∵F2(4,0)，
∴|AF2|＝1，|MA|＝eq \r(15)，
∴|MF2|＝eq \r(1＋15)＝4.
故填4.
答案：4
9．已知F1、F2是双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
解析：∵P为双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1上的一个点且F1、F2为焦点，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2eq \r(5).
∵∠F1PF2＝90°，∴在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20.
∵(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16，
∴20－2|PF1||PF2|＝16.∴|PF1|·|PF2|＝2.
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.
答案：1
三、解答题
10．已知方程eq \f(x2,2－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范围．
解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，
解得k＞2或k＜1.
即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)方程表示椭圆需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－k＞0，,k－1＞0，,2－k≠k－1.))
解得1＜k＜2且k≠eq \f(3,2).
即k的取值范围是(1，eq \f(3,2))∪(eq \f(3,2)，2)．
(3)方程表示圆需有2－k＝k－1＞0，即k＝eq \f(3,2).
11．已知与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1，
点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在双曲线上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq \f(－\r(6)2,25－a2)＝1.
化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
又当a2＝eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)<0，不合题意．
∴所求双曲线标准方程是：x2－eq \f(y2,24)＝1.
12．已知△PF1F2的顶点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上，F1、F2是该双曲线的焦点，∠F1PF2＝θ，求△PF1F2的面积S.
解：
如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，又已知|F1F2|＝2c，据双曲线的定义，得(r1－r2)2＝4a2.①
在△PF1F2中，根据余弦定理，得(2c)2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2cs θ.②
由①②消去req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)，并由c2－a2＝b2，得r1r2＝eq \f(2b2,1－csθ).
则△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)r1r2sin θ
＝eq \f(1,2)·eq \f(2b2sin θ,1－cs θ)＝eq \f(b2sin θ,1－cs θ).