高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用练习

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用练习，共3页。


1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案：A
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，d＝0.1时，f(x＋d)－f(x)的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析：选B.f(x＋d)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝eq \f(3,2)处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选B.eq \f(f\f(3,2)＋d－f\f(3,2),d)＝－d－3，
当d趋于0时，－d－3趋于－3，故选B.
4．已知f′(1)＝1，则当d→0时，eq \f(f1＋d－f1,d)→________.
解析：当d→0时，eq \f(f1＋d－f1,d)→f′(1)＝1.
答案：1
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋d，f(1＋d))，则eq \f(f1＋d－f1,d)等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2d D．4＋2d2
解析：选C.eq \f(f1＋d－f1,d)＝eq \f(21＋d2－4＋2,d)＝eq \f(2d2＋4d,d)＝2d＋4.
2．正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )
A．8 B．7
C.eq \f(7,2) D．1
解析：选B.eq \x\t(V)＝eq \f(V2－V1,2－1)＝23－13＝7.
3．球的半径从a增加到a＋h时，球表面积的平均变化率为( )
A．π(2a＋h) B．π(a＋h)
C．4π(2a＋h) D．4π(a＋h)
解析：选C.eq \x\t(S)＝eq \f(Sa＋h－Sa,h)＝eq \f(4πa＋h2－4πa2,h)
＝4π(2a＋h)．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2(其中s的单位是m，t的单位是s)，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C.eq \f(s3＋d－s3,d)
＝eq \f(1－3＋d＋3＋d2－1－3＋32,d)＝5＋d，
当d趋于0时，5＋d趋于5.
5．球的半径r＝a时，球表面积相对于r的瞬时变化率为( )
A．2aπ B．aπ
C．8aπ D．4aπ
解析：选C.eq \f(4πa＋d2－4πa2,d)＝4π(2a＋d)，
当半径的改变量d趋于0时，4π(2a＋d)趋于8aπ.
即球表面积相对于r的瞬时变化率为8aπ.
6．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋d](d>0)上的平均变化率不大于－1，则d的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A.eq \f(f2＋d－f2,d)
＝eq \f(－2＋d2＋2＋d－－4＋2,d)＝－3－d.
∴由－3－d≤－1得d≥－2.
又∵d>0，∴d的取值范围是(0，＋∞)．
二、填空题
7．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为______．
解析：当自变量从－2变化到－2＋d时，函数平均变化率eq \f(－2＋d2－2－2＋d＋1－4＋4＋1,d)＝d－6.
答案：d－6
8．质点的运动方程是s(t)＝eq \f(1,t2)，则质点在t＝2时的速度为________．
解析：eq \f(s2＋d－s2,d)＝eq \f(\f(1,2＋d2)－\f(1,22),d)＝eq \f(－4－d,42＋d2)，
当d趋于0时，eq \f(－4－d,42＋d2)趋于－eq \f(1,4)，
所以质点在t＝2时的速度为－eq \f(1,4).
答案：－eq \f(1,4)
9．函数f(x)＝eq \f(2,3)x2－2，则f′(－eq \f(1,2))＝________.
解析：eq \f(f－\f(1,2)＋d－f－\f(1,2),d)
＝eq \f(\f(2,3)×－\f(1,2)＋d2－2－[\f(2,3)×－\f(1,2)2－2],d)
＝－eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)d，
当d趋于0时，－eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)d趋于－eq \f(2,3)，
∴f′(－eq \f(1,2))＝－eq \f(2,3).
答案：－eq \f(2,3)
三、解答题
10．球半径r＝a时，计算球体积相对于r的瞬时变化率．
解：半径r从a增加到a＋d时，球体积的平均变化率为：
eq \f(\f(4,3)πa＋d3－\f(4,3)πa3,d)
＝eq \f(\f(4,3)π3a2d＋3ad2＋d3,d)
＝4πa2＋4πad＋eq \f(4,3)πd2，
当d趋于0时，
4πa2＋4πad＋eq \f(4,3)πd2趋于4πa2.
即球半径r＝a时，球体积相对于r的瞬时变化率为4πa2.
11．求函数y＝eq \r(x)在x＝1处的导数．
解：令f(x)＝y＝eq \r(x)，
∵f(1＋d)－f(1)＝eq \r(1＋d)－1，
∴eq \f(f1＋d－f1,d)＝eq \f(\r(1＋d)－1,d)＝eq \f(1,\r(1＋d)＋1)，
当d趋于0时，eq \f(1,\r(1＋d)＋1)趋于eq \f(1,2).
即函数y＝eq \r(x)在x＝1处的导数为eq \f(1,2).
12．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？
解：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
但s1(t0－d)>s2(t0－d)，故
eq \f(s1t0－s1t0－d,d)所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．