高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课后测评

[学生用书 P33]

1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)

A．有极大值，没有极小值

B．有极小值，没有极大值

C．既无极大值也无极小值

D．既有极大值又有极小值

解析：选D.y′＝－2x－3x2＝0⇒x＝0或x＝－.所以x∈时，y′<0，y为减函数；在x∈时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，y为减函数．∴函数既有极大值又有极小值．

2．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)

A．a≥　　　　　　　　　　　 B．a＝1

C．a＝2   D．a≤0

解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，

所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，

即3ax2≤1恒成立．

当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；

当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.

综上可得a≤0.

3．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)

A．－2   B．0

C．2   D．4

解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，

当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.

所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.

4．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．

解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，

在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，

在(－1,5)上f′(x)<0，

∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，

f(x)极小值＝f(5)＝－98.

答案：10　－98

一、选择题

1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A.令f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，

所以f(x)max＝f()＝.

2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

∵f(x)在x＝－3处取得极值，

∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，

∴a＝5.

3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)

A．2   B．2，－1

C．－1   D．－3

解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．

∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，

右侧f′(x)>0，如图所示．

∴x＝－1时取极小值．

4．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为(　　)

A．a≥3   B．a>3

C．a≤3   D．a<3

解析：选A.∵f′(x)＝3x2－a，

又f(x)在(－1,1)上单调递减，

∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，

即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．

∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，

又0≤3x2<3，∴a≥3，

经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．

5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)

A．－10   B．－71

C．－15   D．－22

解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3，－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f(x)min＝k－76＝－71.

6．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　　)

A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11

B．a＝－4，b＝11

C．a＝－1，b＝5

D．以上都不正确

解析：选B.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①

又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②

由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.

∴(舍去)或

二、填空题

7．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．

解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，

∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，

∴a>0.

答案：(0，＋∞)

8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.

解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.

答案：－　－6

9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．

解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.

答案：－19

三、解答题

10．指出函数f(x)＝x3－12x的单调区间和极值点，并求其极值．

解：函数f(x)的定义域为R.

f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调减区间为(－2,2)．

x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；

x＝2是函数的极小值点，极小值为f(2)＝23－12×2＝－16.

11．若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．

解：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．

令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.

∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：

∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.

又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，

f(－1)＝－7a＋3>f(2)，

∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，

∴a＝2，

∴a＝2，b＝3.

12．(2011年高考江西卷)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.

(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．

解：(1)由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.

令＋2a＞0，得a＞－.

所以当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．

即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.

(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，

x2＝，

所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．

又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.

得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.