高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课后测评

[学生用书 P33]

1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)

A．x2＝16y　　　　　　　　 B．x2＝8y

C．x2＝±8y   D．x2＝±16y

解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.

2．已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，若线段AB中点的纵坐标为2，则k等于(　　)

A．－1   B．2或－1

C．2   D.

解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，

∴k＝＝＝＝2.

3．(2011年高考辽宁卷)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A.   B．1

C.   D.

解析：选C.|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

4．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.

解析：由，得ax2－x＋1＝0，

由Δ＝1－4a＝0，得a＝.

答案：

一、选择题

1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)

A．2x－y＋3＝0   B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0   D．2x－y－1＝0

解析：选D.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，

即切线方程为2x－y－1＝0.

2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|

B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2

C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|

D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2

解析：选C.由抛物线定义知|FP1|＝x1＋，

|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，

∴|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|，故选C.

3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)

A.   B．2

C.   D．15

解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)

由得4x2－8x＋1＝0，

∴x1＋x2＝2，x1x2＝，

∴|AB|＝

＝＝.

4．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(　　)

A．相交   B．相离

C．相切   D．不确定

解析：选C.|PF|＝xP＋，∴＝＋，即为PF的中点到y轴的距离．故该圆与y轴相切．

5．(2011年高考课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18  B．24

C．36  D．48

解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.

6．(2011年高考湖北卷)将两个顶点在抛物线y2＝2px上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)

A．n＝0   B．n＝1

C．n＝2   D．n≥3

解析：

选C.如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，

设A，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，

即m＋＝|AF|.

又|AF|＝|AB|＝2，

∴m＋＝2，整理，得m2－7pm＋＝0，①

∴Δ＝2－4×＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1·m2＝>0，

∴m1>0，m2>0，∴n＝2.

二、填空题

7．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．

解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，∴x0＝4，

∴y＝16，∴y0＝±4.

答案：(4，±4)

8．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.

又⇒x2－5x＋4＝0，

∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.

答案：7

9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．

解析：焦点在x轴正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)，代入点(，)得p＝，∴所求方程为y＝x；

焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，

∴p＝，所求方程为y＝－x.

综上，所求方程为y2＝±x.

答案：y2＝±x

三、解答题

10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36的短轴所在直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．

解：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，

得抛物线的对称轴为x轴．

设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，

又抛物线的焦点到顶点的距离为3，

则有||＝3，

∴|a|＝12，即a＝±12.

故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－12x.

11．过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q平分，求AB所在直线方程．

解：若弦AB⊥Ox，则其中点是(4,0)，不是Q(4,1)，

所以可设弦AB所在的直线方程：y－1＝k(x－4)．

列方程组消去x并化简，得ky2－8y－32k＋8＝0.

设弦AB端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝.

又Q(4,1)为弦AB中点，

∴＝1，即y1＋y2＝2，

∴＝2，∴k＝4.

所以所求直线方程是y＝4x－15.

12．A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)．求证：

(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

(2)直线AB经过一个定点．

证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则y＝2px1，

y＝2px2.

∵OA⊥OB，

∴x1x2＋y1y2＝0，

yy＝4p2x1x2＝4p2·(－y1y2)．

∴y1y2＝－4p2为定值，从而x1x2＝4p2也为定值．

(2)∵y－y＝2p(x1－x2)，

∴＝.

∴直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，

即y＝x－·＋y1，

y＝x＋，亦即y＝(x－2p)．

∴直线AB经过定点(2p,0)．