高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用巩固练习

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1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(－3)＝( )
A．4 B.eq \f(1,9)
C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,9)
解析：选D.∵f′(x)＝－eq \f(1,x2)，∴f′(－3)＝－eq \f(1,9).
3．(2011年青州高二检测)若f(x)＝csx，则f′(α)等于( )
A．sinα B．csα
C．2α＋sinα D．－sinα
解析：选D.f′(x)＝(csx)′＝－sinx，∴f′(α)＝－sinα.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________．
解析：y′＝(ex)′＝ex，
∴k＝e2，
∴切线方程为：y－e2＝e2(x－2)．
令x＝0得y＝－e2；
令y＝0得x＝1.
∴S△＝eq \f(1,2)e2·1＝eq \f(1,2)e2.
答案：eq \f(1,2)e2
一、选择题
1．函数y＝ctx的导数是( )
A.eq \f(1,sin2x) B．－eq \f(1,cs2x)
C．－eq \f(1,sin2x) D.eq \f(1,cs2x)
解析：选C.由导数公式表可知(ctx)′＝－eq \f(1,sin2x).
2．下列结论中不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝eq \f(1,\r(x))，y′＝－eq \f(1,2)eq \r(x)
C．若y＝－eq \r(x)，则y′＝－eq \f(1,2\r(x))
D．若y＝3x，则y′＝3
解析：选B.∵y′＝(eq \f(1,\r(x)))′＝(x－eq \f(1,2))′＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2x\r(x))，∴B错误．
3．若f(x)＝sinx，则f′(2π)等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．csx
解析：选A.因为f(x)＝sinx，所以f′(x)＝csx，所以f′(2π)＝cs2π＝1.
4．(2011年高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1 B．2
C．e D.eq \f(1,e)
解析：选A.y′＝(ex)′＝ex，∴当x＝0时，y′＝e0＝1，
故y＝ex在A(0,1)处的切线斜率为1，选A.
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：选A.y′＝(x4)′＝4x3.
设切点为(x0，y0)，则4xeq \\al(3,0)×(－eq \f(1,4))＝－1，
∴x0＝1.∴切点为(1,1)．
∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2010(x)等于( )
A．sin x B．－sin x
C．cs x D．－cs x
解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝cs x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cs x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，∴周期为4，故f2010(x)＝f2(x)＝－sin x．故选B.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3x，则f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝3xln3，则f′(0)＝ln3.
答案：ln3
8．已知f(x)＝lnx，且f′(x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，则x0＝________.
解析：f′(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x0)＝eq \f(1,x0)，
又f′(x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，所以eq \f(1,x0)＝eq \f(1,x\\al(2,0))，
所以x0＝xeq \\al(2,0).
所以x0＝0(舍)或x0＝1.
答案：1
9．y＝eq \f(1,x)的斜率为－1的切线方程为________．
解析：令y′＝－eq \f(1,x2)＝－1，得x＝±1.
∴切点为(1,1)或(－1，－1)．
∴切线方程为y－1＝－(x－1)或y＋1＝－(x＋1)．
即x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.
答案：x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝2；(2)y＝eq \r(4,x3)；(3)y＝10x；
(4)y＝lgeq \f(1,2)x；(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解：(1)∵y′＝c′＝0，
∴y′＝2′＝0.
(2)∵y′＝(xn)′＝n·xn－1，
∴y′＝(eq \r(4,x3))′＝(xeq \f(3,4))′＝eq \f(3,4)xeq \f(3,4)－1
＝eq \f(3,4)x－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4\r(4,x)) .
(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，
∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.
(4)∵y′＝(lgax)′＝eq \f(1,x·lna)，
∴y′＝(lgeq \f(1,2)x)′＝eq \f(1,x·ln\f(1,2))＝－eq \f(1,x·ln2).
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝csx，
∴y′＝(csx)′＝－sinx.
11．已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
解：设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq \\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴eq \f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，eq \f(Δy,Δx)无限趋近于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq \f(1,4)，该点为(eq \f(1,4)，eq \f(9,8))．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4.
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
12．已知两条曲线y＝sinx，y＝csx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝csx0，k2＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须
csx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·csx0＝1，
也就是sin2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．