湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用综合训练题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用综合训练题，共4页。


1．(2011年安丘高二检测)下列求导运算正确的是( )
A．(x＋eq \f(1,x))′＝1＋eq \f(1,x2)
B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln2)
C．(3x)′＝3x·lgae
D．(x2·csx)′＝－2xsinx
解析：选B.A错误，因为(x＋eq \f(1,x))′＝(x)′＋(eq \f(1,x))′＝1－eq \f(1,x2)；B正确；C错误，因为(3x)′＝3xln3；D错误，因为(x2·csx)′＝(x2)′csx＋x2(csx)′＝2xcsx－x2sinx.
2．(2011年高考重庆卷)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
解析：选A.y′＝－3x2＋6x，当x＝1时，切线的斜率k＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，故选A.
3．函数y＝eq \f(csx,x)的导数是( )
A．－eq \f(sinx,x2) B．－sinx
C．－eq \f(xsinx＋csx,x2) D．－eq \f(xcsx＋csx,x2)
解析：选C.y′＝(eq \f(csx,x))′＝eq \f(csx′x－x′csx,x2)
＝eq \f(－xsinx－csx,x2).
4．y＝2csx＋eq \f(1,3)sinx－eq \r(3,x2)，则y′＝________.
解析：y′＝(2csx＋eq \f(1,3)sinx－eq \r(3,x2))′＝(2csx)′＋(eq \f(1,3)sinx)′－(eq \r(3,x2))′＝－2sinx＋eq \f(1,3)csx－eq \f(2,3)x－eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)csx－2sinx－eq \f(2,3\r(3,x))
一、选择题
1．(2011年高考山东卷)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：选C.y′＝3x2，所以过P(1,12)的切线的斜率k＝3，切线方程为3x－y＋9＝0，故其与y轴交点为(0,9)，故选C.
2．对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2
解析：选B.∵f′(x)＝4x3，
∴f(x)＝x4＋c(c为常数)，
∵f(1)＝1＋c＝－1，
∴c＝－2，
∴f(x)＝x4－2.
3．函数y＝eq \f(x2,x＋3)的导数是( )
A.eq \f(x2＋6x,x＋32) B.eq \f(x2＋6x,x＋3)
C.eq \f(－2x,x＋32) D.eq \f(3x2＋6x,x＋32)
解析：选A.y′＝(eq \f(x2,x＋3))′
＝eq \f(x2′x＋3－x2·x＋3′,x＋32)
＝eq \f(2xx＋3－x2,x＋32)＝eq \f(x2＋6x,x＋32).
4．(2011年高考湖南卷)曲线y＝eq \f(sin x,sin x＋cs x)－eq \f(1,2)在点M(eq \f(π,4)，0)处的切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
解析：选B.y′＝eq \f(cs2x＋sin2x,sin x＋cs x2)＝eq \f(1,1＋sin 2x)，
故切线斜率k＝y′|x＝eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)，选B.
5．设曲线y＝xn＋1－2(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则lg2011x1＋lg2011x2＋…＋lg2011x2010的值为( )
A．－lg20112010 B．－1
C．lg20112010－1 D．1
解析：选B.由y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝eq \f(n,n＋1)，
∴lg2011x1＋lg2011x2＋…＋lg2011x2010＝lg2011(x1·x2·…·x2010)＝lg2011(eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(2010,2011))
＝lg2011eq \f(1,2011)＝－1，故选B.
6．若函数f(x)＝eq \f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.∵f(x)＝eq \f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.
∴f′(－1)＝－1.
二、填空题
7．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．
解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
答案：ex(2x＋x2)
8．一物体的运动方程是s(t)＝eq \f(1,t)，当t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s′(t)＝－eq \f(1,t2)，∴s′(3)＝－eq \f(1,32)＝－eq \f(1,9).
答案：－eq \f(1,9)
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′(eq \f(π,3))＝eq \f(1,2)，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcsx，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f′(eq \f(π,3))＝eq \f(2,3)πa＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，得a＝0.
答案：0 －1
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝sin4eq \f(x,4)＋cs4eq \f(x,4)；
(2)y＝(eq \r(x)＋1)(eq \f(1,\r(x))－1)；
(3)y＝－sineq \f(x,2)(1－2cs2eq \f(x,4))．
解：(1)∵y＝sin4eq \f(x,4)＋cs4eq \f(x,4)
＝(sin2eq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4))2－2sin2eq \f(x,4)cs2eq \f(x,4)
＝1－eq \f(1,2)sin2eq \f(x,2)＝1－eq \f(1,2)·eq \f(1－csx,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)csx，
∴y′＝－eq \f(1,4)sinx.
(2)∵y＝eq \r(x)·eq \f(1,\r(x))－eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))－1＝－xeq \f(1,2)＋x－eq \f(1,2)，
∴y′＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2\r(x))(1＋eq \f(1,x))．
(3)∵y＝－sineq \f(x,2)(1－2cs2eq \f(x,4))
＝－sineq \f(x,2)[1－(1＋cseq \f(x,2))]
＝sineq \f(x,2)·cseq \f(x,2)＝eq \f(1,2)sinx，
∴y′＝eq \f(1,2)csx.
11．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝eq \f(1,e)，求a，b的值．
解：由f(x)＝a·ex＋blnx，
∴f′(x)＝a·ex＋eq \f(b,x)，
根据题意应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝ae＋b＝e,f′－1＝\f(a,e)－b＝\f(1,e)))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝0))，所以a，b的值分别是1,0.
12．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)、f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0
要使方程对任意x恒成立，
则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.