高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用一课一练

这是一份高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用一课一练，共4页。试卷主要包含了已知椭圆C1，已知点在双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1．双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,2)
解析：选B.∵a2＝4，b2＝1，∴c2＝5.∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2).
2．双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2eq \r(3) B．2
C.eq \r(3) D．1
解析：选A.双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝eq \f(|4\r(3)＋0|,\r(3＋1))＝2eq \r(3).
3．(2011年抚顺市六校联考)若双曲线eq \f(x2,a2 )－eq \f(y2,b2 )＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则eq \f(b2＋1,3a)的最小值为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．2 D．1
解析：选A.由e＝2得，eq \f(c,a)＝2，从而b＝eq \r(3)a>0，所以eq \f(3a2＋1,3a)＝a＋eq \f(1,3a)≥2eq \r(a·\f(1,3a))＝2eq \r(\f(1,3))＝eq \f(2\r(3),3)，当且仅当a＝eq \f(1,3a)，即a＝eq \f(\r(3),3)时，“＝”成立．故选A.
4．若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则b等于________．
解析：双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝0，即y＝±eq \f(b,2)x(b>0)，∴b＝1.
答案：1
一、选择题
1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1，eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
B.eq \f(x2,3)－y2＝1，y2－eq \f(x2,3)＝1
C．y2－eq \f(x2,3)＝1，x2－eq \f(y2,3)＝1
D.eq \f(x2,3)－y2＝1，eq \f(y2,3)－eq \f(x2,9)＝1
解析：选A.B中渐近线相同但e不同；C中e相同，渐近线不同；D中e不同，渐近线相同．故选A.
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a等于( )
A．2 B.eq \r(3)
C.eq \f(3,2) D．1
解析：选D.∵c＝eq \r(a2＋3)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋3),a)＝2，∴a＝1.
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
解析：选A.椭圆4x2＋y2＝64即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，焦点为(0，±4eq \r(3))，离心率为eq \f(\r(3),2)，所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4eq \r(3)，e＝eq \f(2,\r(3))，所以a＝6，b2＝12，所以双曲线方程为y2－3x2＝36.
4．(2011年高考湖南卷)设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C.渐近线方程可化为y＝±eq \f(3,2)x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴eq \f(9,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))2，解得a＝±2.由题意知a>0，∴a＝2.
5．(2011年高考浙江卷)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－eq \f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝eq \f(13,2) B．a2＝13
C．b2＝eq \f(1,2) D．b2＝2
解析：选C.由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝eq \r(5)×2eq \r(\f(a4－5a2,5a2－5))＝eq \f(2,3)a，解得a2＝eq \f(11,2)，b2＝eq \f(1,2).
6．(2011年高考山东卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1
解析：选A.∵双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴eq \f(3b,\r(a2＋b2))＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右焦点F2(eq \r(a2＋b2)，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
二、填空题
7．若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),2)x，则双曲线的焦点坐标是________．
解析：由渐近线方程为y＝±eq \f(\r(m),2)x＝±eq \f(\r(3),2)x，
得m＝3，c＝eq \r(7)，且焦点在x轴上．
答案：(±eq \r(7)，0)
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为2，焦点与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c＝4.
∵e＝eq \f(c,a)＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2eq \r(3).
∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，
渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
即y＝±eq \r(3)x，化为一般式为eq \r(3)x±y＝0.
答案：(±4,0) eq \r(3)x±y＝0
9．(2011年高考辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：由题意知eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1，c2＝a2＋b2＝4得a＝1，b＝eq \r(3)，
∴e＝2.
答案：2
三、解答题
10．求以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．
解：椭圆的焦点F1(－eq \r(7)，0)，F2(eq \r(7)，0)，
即为双曲线的顶点．
∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，
∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A1(－4,0)，A2(4,0)，所以c＝4，a＝eq \r(7)，
∴b＝eq \r(c2－a2)＝3，
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1.
实轴长为2a＝2eq \r(7)，虚轴长为2b＝6，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4\r(7),7)，渐近线方程为y＝±eq \f(3\r(7),7)x.
11．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(eq \r(3)，0)；
(2)双曲线过点(3,9eq \r(2))，离心率e＝eq \f(\r(10),3).
解：(1)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝eq \r(3)，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)e2＝eq \f(10,9)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(10,9)，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为eq \f(x2,9k)－eq \f(y2,k)＝1①或eq \f(y2,9k)－eq \f(x2,k)＝1②
把(3,9eq \r(2))代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；
把(3,9eq \r(2))代入②，得k＝9，
故所求双曲线方程为eq \f(y2,81)－eq \f(x2,9)＝1.
12．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．
(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；
(2)是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P?
解：(1)设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
代入双曲线C的方程，整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*)
①当2－k2＝0，即k＝±eq \r(2)时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．
②当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq \f(3,2).此时只有一个公共点．
又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．
∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当k＝±eq \r(2)或k＝eq \f(3,2)或k不存在时，l与C只有一个交点．
(2)假设以P为中点的弦AB存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，
则由根与系数的关系，得eq \f(2k2－2k,2k2－2)＝1，∴k＝1.
∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1(－1≤x≤3)，
即x－y＋1＝0(－1≤x≤3)．