湘教版（2019）选择性必修 第一册4.1 两个计数原理课后练习题

4.1.1　分类加法计数原理

4.1.2　分步乘法计数原理

A级 必备知识基础练

1.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是(　　)

A.6 B.9 

C.16 D.24

2.从甲地到乙地有5种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同走法种数为(　　)

A.5+4+3 B.5×4+3

C.5×3+4 D.5×4×3

3.如图所示,电路中有4个电阻和一个电流表A,若没有电流流过电流表A,其原因仅为电阻断路的可能情况共有(　　)

A.9种 B.10种 

C.11种 D.12种

4.若x,y∈N+,且x+y≤5,则有序自然数对(x,y)的个数为(　　)

A.6 B.8 

C.9 D.10

5.现有的5名候选篮球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有　　　　　种.(用数字作答) 

6.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A或x∈B},则当集合C中有且只有一个元素时,有　　　　　种情况. 

7.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从集合A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.

(1)可以得到多少个不同的点?

(2)这些点中,位于第一象限的有几个?

B级 关键能力提升练

8.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为(　　)

A.12 B.20 C.36 D.120

9.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落电路不通的情况种数为(　　)

A.9 B.11 C.13 D.15

10.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为奇数的不同取法的种数为(　　)

A.30 B.20 C.10 D.9

11.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为方程Ax+By=0的系数A,B的值,则形成的不同直线有(　　)

A.18条 B.20条 C.25条 D.10条

12.(多选题)有4位同学报名参加三个不同的社团,则下列说法正确的是(　　)

A.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有81种

B.每位同学限报其中一个社团,则不同的报名方法共有64种

C.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有24种

D.每个社团限报一个人,则不同的报名方法共有3种

13.(2023新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(　　)

A.种 B.种 

C.种 D.种

14.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,不同的行车路线有　　　　条. 

15.某栏目组在一节目中拿出两个信箱,信箱中放着观众的来信,甲箱中有30封,乙箱中有20封.现由主持人不放回地抽取来信,若先从两箱中抽取一封确定来信者为幸运之星,再从两箱中各抽取一封确定来信者为幸运观众,有多少种不同的结果?

C级 学科素养创新练

16.某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元,笔记本的单价为5元,且笔至少要买2支,笔记本至少要买2本,有多少种不同的购买方案?

4.1.1　分类加法计数原理

4.1.2　分步乘法计数原理

1.D　确定一个圆的方程可分为三步:第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法.根据分步乘法计数原理得,表示的不同圆的个数为3×2×4=24.

2.B　从甲地到丙地的走法分为两类:第一类,从甲地经乙地到丙地,共有5×4种走法;第二类,直接从甲地到丙地,共有3种走法.根据分类加法计数原理,共有5×4+3种不同的走法.

3.C　电阻断路,使得没有电流流过电流表A的情况,可分为4类:第1类,1个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有1种;第2类,2个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有5种;第3类,3个电阻坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有4种;第4类,4个电阻全坏,使得没有电流流过电流表A的情况,有1种.根据分类加法计数原理知,共有1+5+4+1=11种可能情况.故选C.

4.D　当x=1时,y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对;

当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序自然数对;

当x=3时,y=1,2,共构成2个有序自然数对;

当x=4时,y=1,共构成1个有序自然数对.

根据分类加法计数原理,共有N=4+3+2+1=10个有序自然数对.

5.9　从5名队员中选3名队员中至少有一名老队员,可分2类:第一类,选两名老队员、一名新队员,有3种选法;第二类,选两名新队员、一名老队员,有2×3=6种选法.根据分类加法计数原理,共有9种不同选法.

6.7　从集合A,B中选1个元素,可以分为2类:第一类,当集合C中的元素属于集合A时,有3种情况;

第二类,当集合C中的元素属于集合B时,有4种情况.

因为集合A与集合B无公共元素,根据分类加法计数原理,共有3+4=7种情况.

7.解(1)可分为两类:第一类,A中元素为x,B中元素为y,共有3×4=12个不同的点;第二类,A中元素为y,B中元素为x,共有4×3=12个不同的点.

根据分类加法计数原理,共有12+12=24个不同的点.

(2)位于第一象限内的点,即x,y均为正数,所以只能取A,B中的正数.

可分为两类:第一类,A中元素为x,B中元素为y,共有2×2=4个不同的点;第二类,A中元素为y,B中元素为z,共有2×2=4个不同的点.根据分类加法计数原理,共有2×2+2×2=8个不同的点.

8.B　将2个新节目插入节目单中,分2步:第一步,先插入第一个节目,有4种插法;第二步,插入第二个节目,有5种插法.

根据分步乘法计数原理,共有4×5=20种不同的插法.故选B.

9.C　焊接点脱落电路不通的情况,可以分为4类:第1类,若脱落1个,有2种情况;第2类,若脱落2个,有6种情况;第3类,若脱落3个,有4种情况;第4类,若脱落4个,有1种情况.

根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种情况.

故选C.

10.D　从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为奇数可分为两步:第一步,取出的其中一个数是偶数,共有3种取法;第二步,取出的另一个数是奇数,共有3种取法.由分步乘法计数原理得,共有3×3=9种取法.

11.A　从集合中任取2个不同的数作为方程系数,可分为2步:第一步,取A的值,有5种取法;第二步,取B的值,有4种取法.

根据分步乘法计数原理,共有5×4=20条直线.

其中当A=1,B=2时与A=2,B=4时是相同的直线;当A=2,B=1时与A=4,B=2时是相同的直线,故共有5×4-2=18条不同的直线.

12.AC　若每位同学限报其中一个社团,第1个同学有3种报法,第2个同学有3种报法,后面的2个同学也各有3种报法,根据分步乘法计数原理,共有3×3×3×3=81种结果,故A正确,B错误;每个社团限报一个人,则第1个社团有4种选择,第2个社团有3种选择,第3个社团有2种选择,根据分步乘法计数原理,共有4×3×2=24种结果,故C正确,D错误.故选AC.

13.D　由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取×60=40(人),从高中部抽取×60=20(人).

第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法,

根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D.

14.12　经过一次十字路口,可分两步:第一步,确定入口,共有4种选法;第二步,确定出口,从剩余3个路口任选一个,共有3种选法.

根据分步乘法计数原理,不同的行车路线有4×3=12条.

15.解分两类:第一类,当幸运之星在甲箱中抽取时,有30×29×20=17400种不同的结果;

第二类,当幸运之星在乙箱中抽取时,有20×19×30=11400 种不同的结果.

根据分类加法计数原理,共有17400+11400=28800 种不同的结果.

16.解设购买笔x支,笔记本y本,x,y∈N+,

则

解得

将y的取值分为三类:

第一类,当y=2时,2≤x≤5,

因为x为整数,所以x可取2,3,4,5,共4种方案;

第二类,当y=3时,2≤x≤,

因为x为整数,

所以x可取2,3,共2种方案;

第三类,当y=4时,2≤x≤,

因为x为整数,

所以x只能取2,只有1种方案.

根据分类加法计数原理,不同的购买方案有4+2+1=7种.