人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.第2课时复习练习题

第2课时

课后篇巩固探究

基础巩固

1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是(　　)

A.2 160 B.720 C.240 D.120

解析第1张门票有10种分法,第2张门票有9种分法,第3张门票有8种分法,由分步计数原理得共有10×9×8=720(种)分法.

答案B

2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　)

A.100 B.90 C.81 D.72

解析分两步,第1步选b,因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步选a,因为a≠b,所以也有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知共有9×9=81(个)点满足要求.

答案C

3.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(　　)

A.14 B.13 C.12 D.10

解析①当a=0时,很显然方程有解,此时b可取4个值,故有4个有序数对满足题意;②当a≠0时,需Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意,且分别为(1,2),(2,1),(2,2).

共有3×4=12(个)有序数对,此时满足题意的有序数对(a,b)有12-3=9(个).故满足题意的有序数对(a,b)的个数为4+9=13.

答案B

4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(　　)

A.42 B.30 C.20 D.12

解析原定的5个节目产生6个空位,将其中1个新节目插入,有6种不同的插法,然后6个节目产生7个空位,将另一个新节目插入,有7种不同的插法.由分步乘法计数原理知共有7×6=42(种)不同的插法.

答案A

5.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同的种植方法共有　　　种. 

解析分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c.

(1)若第三块田放c:

第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4(种)方法.

(2)若第三块田放a:

第四块有b或c两种方法,

①若第四块放c:

第五块有2种方法;

②若第四块放b:

第五块只能种作物c,共1种方法.

综上,共有3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法.

答案42

6.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有　　　　　个. 

解析当A={1}时,B有23-1=7(种)情况;

当A={2}时,B有22-1=3(种)情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1=3(种)情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).

答案17

7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有　　　　　种. 

解析完成承建任务可分五步.第1步,安排1号,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有4×4×3×2×1=96(种)不同的承建方案.

答案96

8.某文艺小组有20人,其中会唱歌的有14人,会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1人参加演出,且既会唱歌又会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法?

解第1类,首先从只会唱歌的10人中选出1人,有10种不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有10种不同的选法,共有10×10=100(种)不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6人中选1人,共有4×6=24(种)不同的选法.所以一共有100+24=124(种)不同的选法.

9.在3 000到8 000之间有多少个无重复数字的奇数?

解分两类:一类是以3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排首位有3种方法,再排个位有4种方法,最后排中间两个数有8×7种方法,所以满足要求的数有3×4×8×7=672(个).另一类是首位是4或6的四位奇数,也可分三步完成,满足要求的数有2×5×8×7=560(个).

由分类加法计数原理得,满足要求的数共有672+560=1232(个).

10.如图是某校的校园设施平面图,现有不同的颜色作为各区域的底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有6种不同的颜色可选,求有多少种不同的着色方案.

解操场可从6种颜色中任选1种着色;餐厅可以从剩下的5种颜色中任选1种着色;宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选一种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同,故可以从剩下的4种颜色中任选1种着色.根据分步乘法计数原理,知共有6×5×4×4=480(种)不同的着色方案.

能力提升

1.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线有(　　)

A.18条 B.20条 C.25条 D.10条

解析第1步,确定A的值,有5种不同的取法;第2步,确定B的值,有4种不同的取法.其中当A=1,B=2与A=2,B=4时,直线是相同的.当A=2,B=1与A=4,B=2时,直线是相同的.故不同的直线共有5×4-2=18(条).

答案A

2.袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有(　　)

A.336种 B.21种 

C.104种 D.146种

解析分三类:当取出一红一白时,有8×7种不同的取法;当取出一红一黄时,有8×6种不同的取法;当取出一白一黄时,有7×6种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146(种)不同的取法.

答案D

3.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列个数为(　　)

A.3 B.4 C.6 D.8

解析递增的等比数列为1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9共4个.同理,递减的等比数列也有4个,故所求的等比数列有8个.

答案D

4.现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100 m接力赛跑,第一棒只能从甲、乙两个人中安排一人,第四棒只能从甲、丙两个人中安排一人,则不同的安排方法共有　　　　　种. 

解析若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有4×3=12(种);若乙跑第一棒,则不同的安排方法有2×4×3=24(种),故不同的安排方法共有24+12=36(种).

答案36

5.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级的学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有　　　　　种. 

解析因为甲、乙二人不能担任文娱委员,所以先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有3×4×3=36(种).

答案36

6.从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,那么这样的抛物线共有多少条?

解第1步,确定c的取值.由题意知c=0,所以c有1种取值方法;

第2步,确定a的取值.由于a<0,因此a有3种取值方法;

第3步,确定b的取值.由于b>0,因此b有3种取值方法.

根据分步乘法计数原理,知满足题意的抛物线共有N=3×3×1=9(条).

7.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;

(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.

解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60(种)不同的涂色方法.

(2)(方法一)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法(如:B,D颜色相同);再从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,最后D涂B的颜色,有5×4×3×2=120(种)不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2×120=240(种)不同的涂色方法.

(方法二)分两类.

第1类,C与A颜色相同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60(种)不同的涂色方法.共有5×4×3×1×2=120(种)不同的涂色方法.第2类,C与A颜色不同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60(种)不同的涂色方法.共有5×4×3×2×1=120(种)不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有120+120=240(种)不同的涂色方法.

8.(选做题)如图用n种不同颜色,给图中A、B、C、D四个区域涂色,允许同一种颜色涂不同区域,但相邻区域不能涂同一种颜色.

(1)若n=3,共有多少种不同的涂法?

(2)若n=5,共有多少种不同的涂法?

(3)若n>5且n∈N*,共有多少种不同的涂法?

解按题图中A、B、C、D四个区域的顺序依次分四步完成,每步涂一个区域.则:

(1)当n=3时,第一步,涂A有3种涂法;

第二步,涂B有2种涂法;

第三步,涂C有1种涂法;

第四步,涂D有1种涂法,

所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有3×2×1×1=6(种).

(2)当n=5时,第一步,涂A有5种涂法;

第二步,涂B有4种涂法;

第三步,涂C有3种涂法;

第四步,涂D有3种涂法,

所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有5×4×3×3=180(种).

(3)当n>5且n∈N*时,第一步,涂A有n种涂法;

第二步,涂B有n-1种涂法;

第三步,涂C有n-2种涂法;

第四步,涂D有n-2种涂法,

所以根据分步乘法计数原理,不同的涂法共有n×(n-1)×(n-2)×(n-2)=n(n-1)(n-2)2(种).