【256页精品】北师大初中数学九下教案课件PPT

这是一份数学北师大版本册综合图文ppt课件，共254页。

第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（一）
广东省深圳市翠园中学 邹荧桢
一、学生知识状况分析
本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。

二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
过程与方法：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感态度与价值观：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、统计图的选择、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。

第一环节 生活情景（获取信息，体会特点）
活动内容：从生活实践开始，让学生思考如何测量一座古塔的高度，
并回答以下问题：
１在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗？
２猜一猜,这座古塔有多高?
３想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得
∠2的大小,根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？

２
Ｂ
A
１








活动目的：让学生初步从生活中去体会利用直角三角形的边角关系，可以知道一边和一个锐角,求出其它的边和角，并通过测古塔高度这一实验，让学生初步感受到倾斜程度在生活中的应用。
实际教学效果：学生能理解小明测古塔的方法，并能初步感受到倾斜程度在生活中的应用，生动的课堂引入让学生很快进入了求知的状态。

第二环节 同类问题的多种分析，课题引入
活动内容：
1、分析４位同学的四个相同的问题，让学生学习探索梯子的倾斜程度。
问题：下列４个图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
４
1.5
3.5
1.3
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
图2


5
２
５
２.５
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
图1








5
２
6
２
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
图4

4
２
6
3
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
图3








２、引出思考：
A
B1
C2
C1
B2
w直角三角形的边与角的关系
1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?




３如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
４由此你得出什么结论?

活动目的：让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。并让他们从实例中发现不同情况中对比梯子的倾斜程度需要除了观察还需要更多其他方法。
实际教学效果：学生经过前一环节对测量古塔的高度一例已经有了对梯子倾斜度的初步认识，对与上面4个图，学生可以很快分辨出图1和图4中梯子的倾斜程度，但是对于两条直角边长度都不一致的图2图3感到难度，并且发现需要利用其他新的知识来认识梯子的倾斜程度，这也就很自然地引入了本节课的知识点：正切值。

第四环节 课题重点
活动内容：
正切的定义
（1）明确各边的名称。
（2）。
（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
（4）tanA的值越大，梯子AB越陡；∠A越大,梯子AB越陡。

活动目的：经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
实际教学效果：
学生经历了观察、探索等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。通过上面的例子体验了数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，加强数学与生活的联系。

第五环节 练习与提高
活动内容： １例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

甲
α
6m
┐
8m

5m
┌
13m
β
乙








２如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，　　　　　　，求BC、AB的长。







３、如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.





活动目的：让学生运用新知识能解决与直角三角形有关的实际问题，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。学生能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算。
实际教学效果：以上３个例题都比较基础，并且层层深入，其中第３题，学生需要做辅助线，加深学生对正切的理解，正切的前提必须是一个直角三角形。

第六环节 小结与拓展
活动内容：师生互相交流总结本堂课所学的知识点
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），让学生能正确阐述对正切、倾斜程度、坡度等数学意义的理解。
实际教学效果：学生能畅所欲言自己的切身感受与实际收获，对各知识点掌握透彻。

第七环节 布置作业
作业：书本 P 6 随堂练习： 1、2 ； 习题1.1 1、2

四、教学反思
通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。但是课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答还有待进一步提高。

第一章 直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（二）
广东省深圳市翠园中学 李秀英
一、学生知识状况分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，由于学生在前一节课学习过有关正切的知识，但对于直角三角形只能停留在两直角边之间的关系，那么，直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系。

二、教学任务分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，是通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。在试验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.
在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视试验的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。
本节课教学目标如下：
教学目标：
（一）教学知识点：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
(二)能力训练要求：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
(三)情感与价值观要求：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：
理解正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节 创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节： 布置作业。

第一环节 创设情境
（1）我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数。即：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,
当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗?今天这节课，我们就来学习第九册（下）第一章：直角三角形的边角关系：正弦与余弦。
（2）上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”，是与梯顶、 梯脚到墙角的距离比有关的。下面请同学们模拟实验，是否还与梯长与梯顶或梯脚到墙角的距离比有关呢？





第二环节 探求新知
1、摆一摆
请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
（4）实验结论：梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小。

2、想一想：
上节课，我们研究了：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，我们可以用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度：在梯子上任选一点B1，、B2，




如图1-3，通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；也可通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。在这里，我们能否类似的研究呢？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和有什么关系？
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？

3、有关的概念
在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作sinA.
∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦。记作cosA.

注意的问题：
（1）sinA,cosA中常省去角的符号“∠”。
（2）sinA,cosA没有单位，它表示一个比值。
（3）sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”。
（4）在初中阶段，sinA,cosA中,∠A是一个锐角。

4、议一议：
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：
梯子AB越陡，sinA的值越大 , cosA的值越小

5、例题分析：
例1：如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
（老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?）

例2．如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，cosA=，求:AB,sinB
（老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系?）

第三环节 随堂练习
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB
（老师提示:过点A作AD垂直于BC于D. ）





2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA=，求:△ABC的周长







3.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. SinB=( )=( )=( )

6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
（老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.）
7.如图,分别根据下面两图，求出∠A的三个三角函数值.







8.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.)
9．在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.

10.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB.
（老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）
第四环节 小结
1.锐角三角函数定义:
①sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
②sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
③sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
④sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
2．请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?

第五环节 体会
数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
• ——高斯

第六环节 作业
1.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?

四、教学反思
由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。


第一章 直角三角形的边角关系
2. 30°、45°、60°角的三角函数值
广东省深圳市翠园中学 黎安丽
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
过程与方法：
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
情感态度与价值观：
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小
教学难点：三角函数值的应用

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、小结与拓展、作业布置。

第一环节 复习巩固
活动内容：如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
B （1）a、b、c三者之间的关系是 ，
∠A+∠B= 。
c a （2）sinA= ，cosA= ，
A b C
tanA= 。
sinB= ，cosB= ，tanB= 。
（3）若A=30°，则= 。
活动目的：复习巩固上一节课的内容

第二环节 活动探究
活动内容：
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
活动目的：引出课题，激发学生的学习积极性

第三环节 讲解新课
活动内容：探索30°角的三角函数值
①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
③cos30°等于多少?tan30°呢?
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值

2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
3．请学生完成下表
三角函数角


sinα
coα
tanα
30°



45°


1
60°



（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?
（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑
a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。
b若对于锐角a有sina=,则a= .

4.例题讲解(多媒体演示),
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°；
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)







活动目的：探索30°、45°、60°角的三角函数值，并能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

第四环节 知识运用
活动内容：1.计算：
(1)sin60°-tan45°；
(2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)

活动目的：对本节知识进行巩固练习。

第五环节 小结与拓展
活动内容：1）直角三角形三边的关系.
2）直角三角形两锐角的关系.
3）直角三角形边与角之间的关系.
4）特殊角30°、45°、60°角的三角函数值.
5）互余两角之间的三角函数关系.
6）同角之间的三角函数关系

活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想

第六环节 作业布置
1．在 Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）若∠A=30°，则sinA= ，cosA= ，tanA= 。
（2）若sinA=，则∠A= ，∠B= 。
（3）若tanA=1，则∠A= 。
2．在 △ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则tanA＝
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则∠C =
4．计算
(1)3sin60°-cos30°
(2)sin30°tan60°
(3)2sin30°-3tan45°+4cos60°

5．如图，为了测量河的宽度，在河边选定一点C，使它正对着对岸的一个目标B，然后沿着河岸走100米到点A（∠ACB=90°），测得∠CAB=45°。问河宽是多少？


B




C A

四、教学反思
三角尺是学生非常熟悉的学习用具，在这节课的教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力。另外通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（一）
广东省深圳市东湖中学 李观上 王义平

一、学生知识状况分析
1、本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上尝试了用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用推导了30°，45°，60°的三角函数值。
2、学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对科学计算器的功能及使用方法有了初步的了解。

二、教学任务分析
随着学习的进一步深入，例如解决测量类的应用问题,面临两个必须解决的问题：一是一般角的三角函数值如何计算？二是已知一个三角函数值，怎样求对应的角度？
为此，本节第一课时学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，第二课时，学习在已知三角函数值时求相应的角度。解决这两个问题实际上就解决了具体计算上的困难，而且使解应用题成为可能，与此同时，掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识。
根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是：
(一)知识与技能
1.会使用计算器由已知锐角求三角函数值.
2.沟通问题的已知与未知事项，进而运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
(二)过程与方法
1.通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的意义.
2.在具体的情境中，用三角函数刻画事物的相互关系.
3．在求上升高度、水平移动的距离的过程中发现并提出数学问题。
4．运用三角函数方法，借助于图形或式子清楚地表达解决问题的过程，并解释结果的合理性。
（三）情感态度与价值观
体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强对数学方法（三角方法）科学性、完美性的认识。
教学重点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题
教学难点：会用计算器辅助解决含三角函数值计算的相关问题

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、探索新知、随堂练习、活动与探究课堂小结、布置作业、。

第一环节 情境引入
活动内容：
用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题，感知问题中已知条件和未知事项。
[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?

在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC.
根据正弦的定义，sin16°=,
∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°(米).
活动目的：由实际问题引出利用三角函数计算的必要性；为了计算缆车垂直上升的距离，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题。
实际教学效果：因为问题情境贴近学生的生活，所以学生参与活动的热情很高。学生能根据之前所学的三角函数的定义得出BC、AB、sin16°三者的关系，而这里的sin16°学生不知道怎样计算，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望。

第二环节 探索新知
活动内容：
200sin16°米中的“sin16°”是多少呢?我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.
对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.
用科学计算器求三角函数值，要用到和键.例如sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)

按键顺序
显示结果
sin16°

sin16°=0.275637355
cos42°

cos42°=0.743144825
tan85°

tan85=11.4300523
sin72°
38′25″

sin72°38′25″=0.954450312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)
用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.
用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m).
2.用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
多媒体演示本节开始的问题：
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?
学生思考后，有如下几种解决方案：
方案一：可以计算缆车从B点到D点垂直上升的高度.
方案二：可以计算缆车从A点到D点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.
用计算器辅助计算出结果
（1）在Rt△DBE中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度DE＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).
（2）由前面的计算可知，缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).
（3）在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB=200米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).
在RtADBE中，∠β＝42°，BD＝200米.BE＝BD·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).
缆车从A→B→D移动的水平距离为BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米).
活动目的：引导学生利用计算器探索计算三角函数值的具体步骤；让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展学生的应用意识；让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角函数值的过程。
实际教学效果：学生学会了利用计算器探索计算三角函数值，并解决含有三角函数值计算的实际问题，在小组活动的过程中，学生能积极地参与小组交流、讨论，表现出较高的思维水平和语言表达能力，更感受到科学的方法与科学计算工具结合所产生的独特魅力。

第三环节 随堂练习
活动内容：
下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示).
1、用计算器求下列各式的值。
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°+cos61°+tan76°.
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
答案：(1)sin56°≈0.8290；
(2)sin15°49′≈0.2726；
(3)cos20°≈0.9397；
(4)tan29°≈0.5543；
(5)tan44°59′59″≈1.0000；
(6)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544.
2、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt△CBD中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)；
在Rt△ABF中，AF=ABsin30°
=100×
=50(m).
所以山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m).
3、求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知
AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56°
≈20×1.4826
＝29.652(m)；
在Rt△CBA中，CB=ABtan50°
=20×1.1918
=23.836(m).
所以避雷针的长度DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m).
活动目的：进一步加深对新知识的理解和应用，并在练习探究中相互交流，取长补短，优化解决问题策略，激发学生创新思维灵感性。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，正确使用计算器求出三角函数的值，熟练程度比之前有所提高；绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题，进一步体会了三角函数与现实生活的联系，感受数学来源于生活，又服务于生活，应用意识得以提高。

第四环节 活动与探究
活动内容：拓展创新演练：
如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，
房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个
水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.
(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内即光线应沿CB射入.所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，∠ACB＝80°.求AC的长度.
[结果]因为tan80°＝＝0.317≈0.32(米).
所以水平挡板AC的宽度应为0.32米.
活动目的：通过解决现实问题，拓展知识与应用的空间，进一步加深对新知识的理解和运用。
实际教学效果：学生能积极地参与活动，绝大部分学生能正确地运用三角函数解决问题。不要求每一个学生都能顺利画图、转化，但可以通过做得好的学生帮助不会的学生解决这一问题。

第五环节 课堂小结
活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你有哪些收获和感想？
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具等方面谈自己的收获与感想。
实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获： 学会了运用计算器计算已知锐角的三角函数值；运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系。进一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合运用三个方面解决问题的意识。

第六环节 布置作业
习题1.4的第1、2题

四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维方法。
（2）以现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大多数学生发挥主体作用。
第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算（二）
广东省深圳市东湖中学 胡党华 王义平

一、学生知识状况分析
1．本章前两节学生学习了三角函数的定义，在此基础上用定义法求三角函数sinα、cosα、tanα值，并用定义法推导了300，450，600的三角函数值。
2．在计算器的使用上，学生学习了用计算器进行实数加减乘除及平方开方运算，上节 课学习了用计算器求已知角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解。有上述知识技能作基础为学生进一步学习“已知三角函数值求角度”创造了必要条件。

二、教学任务分析
在三角函数中，非特殊角的求法，全部用定义求是不现实的，这就需要借助科学计算器，那么怎样使用科学计算器解决相应的实际问题，对这一问题的预期，就构成本节课的教学目的与任务。下面从三个方面来具体分析：
（一）知识与技能
1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义。
2、能够利用计算器进行有关三角函数值的计算。
3、能够运用计算器辅助解决含三角函数值以及角度计算的实际问题。
（二）过程与方法
1、借助计算器解决含三角函数值计算的实际问题，提高解题效率，提高用现代工具解决实际问题的能力。
2、发现实际问题中的边角关系，并运用三角函数定义解决有关计算问题，在解决简单的应用题基础上体会三角函数方法独特意义，感受三角函数值随角度变化而连续变化的过程。
（三）情感与态度
1、主动参与数学活动，从中体会解决问题的乐趣。
2、形成实事求是的、严谨的学习态度。
教学难点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小
教学重点：利用计算器由三角函数值求相应锐角的大小

三、教学过程分析
本节课总共设计了八个教学环节：第一环节 问题引入；第二环节 寻求方法；第三环节 练习巩固；第四环节 解决问题；第五环节 拓展重建；第六环节 自测评价；第七环节 课堂小结；第八环节 布置作业。

第一环节 问题引入
活动内容：（出示问题，感受问题）
随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少? (如下图所示)

活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必须先求
sinA＝，再求∠A，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”。
实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都积极探索解决这个实际问题的办法与途径。

第二环节 寻求方法
活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。
例如： ①已知sinA＝0.9816，求锐角A。
②已知cosA＝0.8607，求锐角A。
③已知tanA＝0.1890，求锐角A。
④已知tanA＝56.78，求锐角A。
按键顺序如下表:

按键顺序
显示结果
sinA=0.9816

sin-10.9816=78.99184039
cosA=0.8607

cos-10.8607=30.60473007
tanA=0.1890

tan-10.1890=10.70265749
tanA=56.78

tan-156.78=88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的。再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果。
第一环节的引例中sinA=＝0.25。按键顺序为 ，
显示结果为sin-10.25=14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″,所以
∠A=14°28′39″。（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可。）
(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤。)
活动目的：前一节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值，通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键。此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想。
实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，体会了三角函数值和对应角度的对应关系。

第三环节 练习巩固
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝； (6)cosθ＝ 。
2.一辆汽车沿着一山坡行驶了150米，其铅直高度上升了25米，求山坡与水平面所成锐角的大小？
(请同学们完成后，在小组内讨论、交流。教师巡视，对有困难的学生给予及时指导。)
参考答案如下：
1.解：(1)∠θ＝71°30′2″； (2) ∠θ＝23°18′35″；
(3) ∠θ＝38°16′46″； (4) ∠θ＝41°53′54″；
(5) ∠θ＝30°； (6) ∠θ=45°。
2.解：设山坡与水平面所成锐角为α，
根据题意得sinα＝=，
∴∠α＝9°35′39″。
所以山坡与水平面所成锐角为9°35′39″。
活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐角三角函数
值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换。
实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的
问题（包括函数值为无理数的情形）。

第四环节 解决问题
活动内容：（引导学生利用计算器求解下面的实际问题）

[例1]如图，工件上有一V形槽,测得它的上口
宽20 mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大小？
(结果精确到1°)




[例2]如图，一名患者体内某重要器官后面有一
肿瘤。在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗
效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤。
已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧
9.8cm的B处进入身体，求射线与皮肤的夹角？

注：这两例都是实际应用问题，需要求角度且角度不易测量，这时我们可以根
据直角三角形的边角关系，用计算器计算出角度，使实际问题得到解决。
活动目的：使学生能运用三角函数解决应用题中的计算问题，把现实问题转化为三角函数的计算问题，并使学生从中了解到三角函数能有效地解决医学等领域的现实问题。
实际教学效果：学生能把实际问题转化数学问题，用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题，具体解题步骤如下：
[例1] 解：∵tan∠ACD=≈0.5208
∴∠ACD≈27.5°
∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°。
[例2] 解：如图，在Rt△ABC中，
AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，
∴tanB=≈0.6429。
∴∠B≈32°44′13″。
因此，射线与皮肤的夹角约为32°44′13″。

第五环节 拓展重建
活动内容：（归纳解直角三角形的基本知识系统）
1、解直角三角形的基本理论依据：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ，sinB＝，cosB＝，tanB= 。
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计算，使实际问题都得到解决。
活动目的：通过归纳提炼，把本节的知识纳入解三角形的系统中考虑，更好地掌握知识之间的联系，从而更好地掌握解决问题的方法与策略。
实际教学效果：把实际问题转化为解直角三角形的问题，使问题得到解决。

第六环节 自测评价
活动内容：（由学生独立完成下列练习题）
1.已知sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小？
解：∠θ≈56°1″

2.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角？
解：如右图。
∵cosα＝＝0.625
∴∠α≈51°19′4″。
所以梯子与地面所成的锐角约为51°19′4″。

活动目的：通过学生独立完成，以进一步提高学生由三角函数值求角度的技能，从操作、分析、表达、反思几方面评价学生知识能力目标达成情况。
实际教学效果：通过自测评价矫正学习中的缺失，不断优化解决此类问题的方法，学生的转化意识和解决实际问题的能力得到进一步的提高。

第七环节 课堂小结
活动内容：（师生共同小结）
本节课我们学习了利用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程；进一步体会三角函数的意义；并且利用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题。
活动目的：让学生一起参与归纳本堂课的知识点以及重点、难点，让学生自己参与学习，自己探寻方法，自己去解决问题，使学生的主体地位得以充分发挥。
实际教学效果：学生掌握了本节课的全部内容，会利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，进一步提高了分析问题、解决问题的能力。

第八环节 布置作业
1、必做题：课本P20页 习题1.5 第2、3题
2、选做题：
如图,为某小区的两幢10层住宅楼,由地面向上依次为第1层、第2层、……、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m。现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况。假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼上的影子长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α。
（1） 用含α的式子表示h；
（2） 当α=30o时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每时增加10o，多久后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？

四、教学反思
1．教学特色
（1）本节课通过创设很多符合学生实际的问题情境，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题解决问题的能力，培养了学生的建模能力及转化思想。
（2）将现代信息技术作为改变教师教学方式及学生的学习方式的重要手段，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，进行探索规律的活动，这样既丰富了学生的感性认识，又渗透了数形结合的思想，极大地提高了课堂效率，使多媒体技术真正成为感性认识与理性认识的桥梁。
（3）为了满足不同层次同学们的需要，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时完成必做题和选做题。
2．教学启示
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面
在提问、练习、探索规律之时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对学生给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使绝大
多数学生发挥主体作用。


第一章 直角三角形的边角关系
4.船有触礁的危险吗
广东省深圳市罗湖外语学校 刘芳亚

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)既边角关系(锐角三角函数).
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生对直角三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实际问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“三角学”这一数学学习领域，因而务必服务于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及其应用”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,发展数学应用意识和解决问题的能力.
过程与方法
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
情感态度与价值观
让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算
教学难点：能够把实际问题转化为数学问题

三、教学过程分析
本节课设计了四个教学环节：
第一环节：知识准备
第二环节：实际应用（船有触礁的危险吗、古塔有多高、楼梯加长了多少、钢缆有多长、大坝中的数学计算、利用三角函数值求锐角）
第三环节：课堂小结
第四环节：布置作业

第一环节 知识准备
复习回顾：
1． 直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
2． 30°、45°、60°角的三角函数值是多少？

第二环节 实际应用
1．船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
A

B
C
D
北
东
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则


2。古塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
：
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
D
A
B
C
┌
50m
300
600


3．楼梯加长了多少
A
B
C
D
┌
4m
350
400
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.

4．钢缆有多长
一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
∴∠BDE≈51.12°

5．大坝中的数学计算
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
w(1)求坡角∠ABC的大小;
w(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
A
B
C
D
6m
8m
30m
1350
解: (1)如图,求坡角∠ABC的大小，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
∴∠ABC≈17°8′21″.

(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).

100m
A
C
D
6m
30m
F
┌
B

活动目的：对本节知识进行巩固练习。

6．利用三角函数值求锐角
活动内容：填表——n由锐角的三角函数值反求锐角

第三环节 课堂小结
在Rt∆中除直角外有5个元素(三边和两锐角) ，利用三个关系研究这个问题.
(1) 三边的关系c2= a2+b2关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个.
(2) 锐角的关系∠A+∠B=90°关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
利用三个关系,在Rt∆除直角外的5个元素中, 知道
其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三个未知元素.

第四环节 布置作业
P24 习题1.6 1,2,3题;

四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在小学已经学过统计图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识，教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点”科学合理的选择统计图。而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图。从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解统计图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（一）
广东省深圳市桂园中学 黎幼彦
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了三角函数的概念和运用三角函数解直角三角形的知识，并具有了解决与直角三角形有关的简单的实际问题的能力。
学生活动经验基础：学生已经经历过如何在直角三角形中用三角函数解决实际问题，同时在以前的数学学习中学生也经历了很多的合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了合作与交流的能力

二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题的活动课。本节课分两课时，一.讨论课，二.室外活动课.第一节课首先以研究讨论问题的解决入手,为第二节的室外活动课铺垫.
为此，本节课为讨论课,其教学目标是：
知识与能力目标：能根据实际问题设计活动方案，自制仪器或运用仪器实地测量及撰写活动报告。能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题。
过程与方法目标：经历设计活动方案，实地测量和撰写报告的过程，学会对所得的数据进行分析，对仪器进行调整，和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果
情感与价值观要求：培养学生不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：测角仪使用的介绍；测量原理；误差的解决办法；应用；总结；作业。

第一环节 测角仪使用的介绍
活动内容：测角仪的使用
活动目的：培养学生的使用工具的能力。
活动的注意事项：展示样品，让学生亲身使用

0
30
30
60
60
90
90
M
30°
Ｐ
Ｑ
M
30°
0
30
30
60
60
90
90
Ｐ
Ｑ


第二环节 测量原理
活动内容：一、讨论测量底部可以到达的物体的高度的原理。
二、讨论测量底部不可以到达的物体的高度的原理。
活动目的：掌握测量的原理
活动的注意事项：提醒学生注意：
1）方法的选择；
2）不要忽略了测角仪到地面的高度。

1．当测量底部可以到达的物体的高度


1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
MN=ME+EN=L tanα+a

2．当测量底部不可以直接到达的物体的高度







1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
2、在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测
量数据,可求出物体MN的高度


第三环节 应用
活动内容：解决实际问题
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力
活动的注意事项：计算能力

应用1：
如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m)
M


解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知
EB=1.4m，∠DEM=30°,BC=30 m,BE=CM=1.4m
在Rt△DEM中，
DM=EMtan30° ≈30×0.577 =17.32(m)
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m)

应用2：
下表是小亮所填实习报告的部分内容:
课题
在平面上测量地王大厦的高AB
测量示意图
下表是小亮所填实习报告的部分内容:
C
E
D
F
A
G
B
α
β

测得数据
测量项目
∠α
∠β
CD的长
第一次
30° 16’
45° 35’
60.11M
第二次
30° 44’
45° 25’
59.89M
平均值






1.请根据小亮测得的数据,填表中的空格;
2.通过计算得地王大厦的高为(已知测倾器的高CE=DF=1m)______米 (精确到米).
解：1. 30° 45° 60m
2. 在Rt△AEG中，EG=AG/tan30°=1.732AG
在Rt△AFG中，FG=AG/tan45°=AG
FG-EG=CD
1.732AG-AG=60
AG=60÷0.732≈81.96
AB=AG+1≈83(m)

注意事项：在测量当中误差的处理办法

巩固练习
1.(2005深圳)大楼AD的高为100米,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60度,爬到楼顶D测得塔顶B点仰角为30度,求塔BC的高度.

2.如图,在离铁塔150米的A处,用测角仪测得塔顶的仰角为30度,已知测角仪高AD=1.5米,求铁塔高BE.
B
A
D
E

第四环节 误差的解决办法
活动内容：学生讨论误差的处理
活动目的：了解实验存在误差和误差的处理办法
活动的注意事项：误差的处理

第五环节 总结
活动内容：学生总结实验的设计及原理
活动目的：加深巩固解直角三角形的能力

第六环节 作业
活动内容：分组制作测倾器和设计实验报告
活动目的：为下节活动课做好准备

四、教学反思
1. 要学会用已有的知识解决生活实际问题
2. 充分培养学生互动合作的精神



第一章 直角三角形的边角关系
5.测量物体的高度（二）
广东省深圳市桂园中学 赖燕军
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生通过前面的学习，已经掌握了如何使用测角仪测量角度，及利用测量出来的数据计算物体高度的原理。
学生活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了一些测量活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事测量活动所必须的一些数学活动经验的基础，及在合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节课是在对三角函数的理解基础上运用三角函数解决实际问题，反过来，又是在解决实际问题的过程中加深对三角函数概念的理解。为此，本节课的教学目标是：
知识与能力目标：能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.
过程与方法目标：经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.积极参与数学活动，积累数学活动的经验，提高对实验数据的处理能力；学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识.
情感与价值观要求：能够主动积极地想办法，积极地投入到数学活动中去，提高学习数学的兴趣；培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备——自制测角仪、原理回顾、展示测量对象及说明、测量活动及数据收集、统计分析及总结、布置作业。

第一环节 课前准备
活动内容：自制测角仪、分组（5——6人）
活动目的：培养学生的动手能力。
活动的注意事项：学生所做的测角仪测量角时不方便、误差较大。（解决方法：先展示样品）

第二环节 原理回顾
活动内容：简单地回忆利用测角仪测量物体高度的方法：1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度
活动目的：明确操作步骤
活动的注意事项：提醒学生注意：1）方法的选择；2）不要忽略了测角仪到地面的高度。

第三环节 展示测量对象及说明
活动内容：，把学生分成5～6人一组.引导学生选定测量对象（即旗杆或其他物体），根据上节课的分析设计出本组测量的方案。同时发放记录表。
活 动 报 告 年 月 日
课题

测量示意图

测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值












计算过程

活动感受

负责人及参加人员

计算者和复核者

指导教师审核意见

备注


活动目的：体验合作，为后面的活动作好准备。
活动的注意事项：1.教师要引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 2.要做好分工。

第四环节 测量活动及数据收集
活动内容：根据自己设计的方案进行测量与填写记录。
活动目的：体验合作、培养学生发现问题解决问题的能力。
活动的注意事项：教师提示要注意的实验的细节：(1)注意实验时的安全.(2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥(3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数.(4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决.

第五环节 统计分析及总结
活动内容：汇报各组实验活动的结果、比较分析结果。反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受。
活动目的：1.总结数学活动经验，培养学生理论联系实际的能力.2.培养学生反思的习惯，提高学生活动的能力.
活动的注意事项：通过学生的感受，教师要引导学生总结测量物体高度的方法及恰当的选择方法。

第六环节 布置作业
补充完善活动报告

四、教学反思
1.本节课是一节活动课，活动的目的是为了让学生体验“生活中的数学”。故在课堂上，要做到收放恰当，注意引导学生体验“用数学解决实际问题，在实际问题中理解数学”。
2.课前的准备、原理的了解是上好本节课的前提；小组的合作交流是上好本节课的保证；全班的交流是对问题解决的升华。
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
广东省深圳市滨河中学 杨 霞
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）。而通过本章的学习，学生才更多的认识到一般直角三角形的边角关系，掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，也能利用三角函数知识解决相关的实际问题。
学生活动经验基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，也能把简单的实际问题转化为数学问题。因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力。

二、教学任务分析
本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“数形结合”思想的理解和应用。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3．通过联系使学生进一步利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
过程与方法：
练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：基础练习——知识小结——巩固提高——章节回顾——作业布置。

第一环节 基础练习
活动内容：
1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题A组的1、2、3、4、5、7题
活动目的：通过“回味无穷”让学生熟练掌握特殊角的三角函数值且能根据具体三角函数值说出对应的角的度数；通过做几道练习题，巩固三角函数的相关运算，及对三角函数公式的应用；熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换；解决简单的实际问题。主要是让学生回顾基础知识，巩固基本解题能力，也有利于下一环节学生对知识点的总结。
实际教学效果：这些题涉及到的知识点多，难度不是很大，大部分学生都做得比较快，正确率也高，能起到“抛砖引玉”的效果。

第二环节 知识小结
活动内容：总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。
活动目的：通过知识回顾总结，让学生把所做的练习题与知识点相对应，使学生全面掌握、理解并应用相关知识点。
实际教学效果：学生对本章知识点有了全面、清晰的认识，为下一步在解决实际问题时，把实际问题转化为数学问题打下了基础。

第三环节 巩固提高
活动内容：
1、教科书复习题A组第10题，B组第5题；
2、课外拓展2个小题
课外拓展题题目及答案：
① 如图在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若

分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。
中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰Rt△的性质，此题就不难解答了。
解：过D作DE⊥AB于E
∴△DBE和△DEA为Rt△






②如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。
北


C

西 B A
分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。
解：（1）过B作BD⊥AC于D
根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中

∴B处会受到影响。
（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：


∴该船应在3.8小时内卸完货物。
活动目的： 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；增强学生将实际问题转为数学问题，并能针对性的利用三角函数来解决。其中渗透“数形结合”思想和方法。
实际教学效果： 对第7题有小部分同学需要老师提示，主要是点拨如何将题目的已知与问题联系起来，利用图形的特点来添加辅助线解题，在此基础上第8题大部分学生都能独立完成。 同样，第9题是给学生一个缓冲的容易接受的题目，感受到解决实际问题的基本方法和过程，而第10题则是对学生一个解题能力的挑战，有部分同学能做出一些，只有部分同学解决的较好。通过这4道题的练习，每个学生的解题能力都能到了巩固和提高，层次较高的学生也有机会得到更大空间的锻炼。

第四环节 知识回顾
活动内容：师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系。
活动目的：鼓励学生自己进行章节知识总结，加深印象，形成系统的知识体系。
实际教学效果：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了“直角三角形的边角关系”的认识和理解，通过老师的小结以及框图概述，清晰展现各知识点之间的联系，

第五环节 布置作业
活动内容：1、复习题A组6、9题2、复习题B组1、6题3、选作题（附后）
选作题及答案：
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：
（1）测量数据尽可能少
（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用α、β、γ等表示，测倾器高度不变。）
（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）

分析：要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，若已知AD的长度，再分别测在A和D两处观测的H的仰角即可求出H点距AD的高度。但要求HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据；若分别测得在D和C两处观测的H的仰角再测出DC的长度也可以求出HG的长度，而采用这种方案需3个数据，因此本题最佳的解决方案有两套。有了方案第3小题便可轻松解决了。
解：（1）延长AD交HG于M，
方案1：分别测量AD=m，DC=n，在A处测得H的仰角为γ，在D处测得H的仰角为α。
（2）解设HG=x，





方案2：（1）分别在D、C两点测得H的仰角为α、β及DC长为n







活动目的：在布置了基础型练习题后，根据 “不同学生有不同发展需要”的思想，设计了选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。

实际教学效果： 加强学生对三角函数与其他运算公式结合的的运算能力，巩固利用三角函数解决楼高的实际问题。选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对三角函数的应用中渗透数形结合的思想。

四、教学反思
1．选用的适当的练习题组，做到层次分明
教科书为教师提供了大家都适用的教学素材，而我们可以根据学生的实际情况进行适当调整。我的班级学生总体素质和能力较高，但不可避免也有部分学生请况不同。因此，我只在课本上选用了部分练习题做为基础练习，另外附加了几道难度较大，题目较新课外题分别做为课内练习和课外作业，这可以让不同层次的学生都有不同的施展空间，能得到不通的收获。而且练习题难度层层深入，让学生容易接受，逐步进入状态。
2．练习题复习和知识点总结的恰当结合
复习课要注意知识总结又要兼顾题目练习，时间上容易顾此失彼，而且通常的做法是一上课就总结知识点，这容易让学生觉得枯燥，进而影响整节课的学习状态和学习效率。我这节课不同的处理在于先用几道基础题让学生产生成功的喜悦，在题目中回顾知识点，顺理成章的和学生一起总结知识点；然后在此基础上抛出三角函数的实际应用问题，难度逐步增加的练习题，学生容易接受，有利于学生不断总结方法，提高解题能力，使得学生产生强烈的征服欲；最后在课的最后阶段再次对本章内容进行概述并给出框图，使学生对整章知识有了系统的认识。
这样的处理方式，让学生在练习中将知识清晰化、系统化，又能在知识总结过程中，加深对实际问题的实质剖析和理解。
3．注意改进的方面
本节课内容较不是很多，但是在进行知识总结和难题解决时都比较花时间，因此整个课堂时间比较紧促，可以考虑课前让学生先自己进行知识总结，在课堂上不留思考讨论的时间，直接师生交流总结；此外，最后一道题的时间有可能不够，应灵活处理，也可增加为课后作业。
第二章 二次函数
1.二次函数所描述的关系
广东省深圳市笋岗中学 廖伟环
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题． 让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
教学目标
(一)知识与技能
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)过程与方法
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
教学重点：二次函数的概念
教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、想一想、做一做、归纳小结、课堂反馈、布置作业。

第一环节 课前准备
活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：
1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？
2.函数的定义是怎样下的？
3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。
函 数
变量之间的关系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
反比例函数
正比例函数y=kx(k≠0)

活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔，这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习作好铺垫。
实际教学效果：通过“温故”又可重新唤起学生对变量、自变量、因变量、函数等概念的理解，在回顾以前学习过的具体实例中能更好的帮助学生了解“函数”本质所在，而同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆学习函数的过程。

第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：投影片：(§2．1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
请大家先独立思考，再互相交流后回答
活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，为引出二次函数的概念作铺垫，使学生感受二次函数与生活的密切联系。第（4）个问题让学生初次接触到本节课所要学习的新函数，为下面的学习作了一引子。
实际教学效果：学生在一个实际问题中第二次回忆起几种变量，及时对第一环节的“温故”进行反馈，而问题的设置由浅入深，学生在初三再学习函数有了好的开端，问题中的变化过程也恰好反映了函数本质所在，学生在不知不觉中也在复习函数的表示方法中的解析式法。开放问题（４）在小组之间互相猜测、互相补充，通过判断对比也加深了对一次函数、反比例函数印象。

第三环节 想一想














Y/个
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X/棵
活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）



你能根据表格中的数据作出猜测吗？
安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象
活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。从上面的活动中，使学生初步了解新函数的增减性的与众不同和新函数的重要应用(求最值)。
实际教学效果：学生经过前两个环节的学习，对新函数有了一定了解，事实上新函数的很多相关知识已经出现，学生知道它是确实有别于一次函数、反比例函数的新函数，这种新函数也是从实际问题中出现的，而且新函数的增减性也有别于其它函数。

第四环节 做一做
活动内容：投影片：(§2．1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．）
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？
活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，
实际教学效果：学生对本金、利息、利率、本息和等到概念不是很熟悉，需要老师的指引，加之有了上面的学习，之后学生则能够较容易列出函数解析式。

第五环节 归纳总结
活动内容：从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫．
由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1)²+1 (2)y=x+1/x
(3)s=3-2t² (4) y=1/x²-x
(5) v=Л r²
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。
实际教学效果：通过对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，学生能够得到二次函数的定义，开始对没有一次项或常数项的二次函数不能判断，对但通过例题练习，学生能较好地掌握二次函数定义。
注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
(3)二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式:
①y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
②y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).

第六环节 课堂反馈
活动内容
①.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr² (3) s=3-2t²
(5) y=(x+3)²-x² (6) y=3(x-1)²+1;
②.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？
③.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
④.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______
⑤圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm².
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少？
活动目的：通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。
实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。

第七环节 布置作业
必做题： 课本P36-37习题2.1第1、2题；
选做题： 课本P77B组第2题。

四、教学反思
1．给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从5，10，15的这一取法，就是在八年级上册所学的估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令－5x2+100x＝0解得x1＝0，x2=20），发现变与不变的关系（如：发现60000是常量，进而去研究－5x2+100x的值的大小）。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很好地达到本节的教学目的，同时对下面几节的教学也起到了很好的铺垫作用。第二天的教学就能很好地说明这点，在学习第二节课二次函数的图象时，学生能很快想起本节所描述的函数特征，使得函数的学习不再变得抽象难懂。
2． 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
第二章 二次函数
2.结识抛物线
广东省深圳市滨河中学 邹 宁
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。
学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法作出函数y＝±x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。为此，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质。
教学难点：由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、温故知新、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。

第一环节 情境引入（生活中的抛物线）
活动内容：
寻找生活中的抛物线
活动目的：
通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。
实际教学效果：
学生通过开动脑筋，产生联想，寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线感性认识的经验。

第二环节 温故知新
活动内容：
复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数y=x2列表
活动目的：
让学生回忆与本节课有关的主要知识，为本节课探究二次函数的图象和性质做知识上、经验上的准备。
实际教学效果：
通过对有关知识的复习，学生对二次函数的概念、画函数的图象的主要步骤有了进一步的认识。

第三环节 合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）
活动内容：
1. 用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。
2. 观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：
(1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?
请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？
你是如何知道的？
3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象
4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。
5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。
活动目的：
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，
获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
4．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
实际教学效果：
1. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．

第四环节 练习与提高
活动内容：
1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
o
y
x
A
2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。
（1）求A的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
与同伴进行交流.
活动目的：
1.对本节知识进行巩固练习。
2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统。
3.培养学生整合知识的能力。
实际教学效果：
1.学生通过练习，进一步认识了二次函数y＝±x2的图象，
理解了二次函数y＝±x2的性质；
3. 让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而培养学生全面思考问题的良好思维习惯。

第五环节 课堂小结
活动内容：
小结：二次函数y=± x2的性质
根据图形填表：





抛物线
y=x2
y=－x2
顶点坐标


对称轴


位置


开口方向


增减性


最值



活动目的：
培养学生整理知识、归纳知识的习惯。
实际教学效果：
学生通过整理、归纳知识，厘清了知识之间的内在联系，有利于知识的储存和应用。

第六环节 布置作业
P41 习题2.2 1,2题
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为a,面积为S,试作出S随a的变化而变化的图象.

四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在以前已学过解一元二次方程，等腰三角形等知识，本节课根据学生的实际情况增加了两道较综合的练习，目的是引导学生及时整合所学知识，有利于培养学生分析问题解决问题的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
小组合作学习交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。另外，练习与提高的第二题，难度偏大，可根据学生的实际情况作取舍。
第二章 二次函数
3.刹车距离与二次函数
广东省深圳市罗芳中学 陈华东
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生经过上一节课的学习，对于抛物线已经有了初步的认识，可以利用描点法作出抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生活动经验基础：学生在上节课经历利用描点法作出抛物线的图象的活动过程，因此对于作出二次函数和的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观，因此在分析两个或者多个二次函数的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标时，也有了上一节课的活动基础。

二、教学任务分析
本节课要研究的问题是关于函数和的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1.能作出二次函数和的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
过程与方法
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。
情感态度与价值观
体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
教学重点：和图象的作法和性质
教学难点：能够比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。

三、教学过程分析
“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．
由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．
本节课设计了六个教学环节：情境创设、新课讲解、做一做、议一议、课堂小结、布置作业。

第一环节 情境创设
活动内容：
1.二次函数y＝x2与y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
2.二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入的思考，在复习的同时，开门见山的引出新课内容。
实际教学效果：学生对于y＝x2与y＝－x2这两种非常简单的二次函数图象的理解非常深刻，可以很快的说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并且会主动的对它们进行比较（这两个图象关于x轴对称，本身又关于y轴对称，顶点在一起……），说明学生对于抛物线的概念与性质的理解是比较深刻的。

第二环节 新课讲解
活动内容：
1. 给出s＝v2的图象，在同一直角坐标系内作出函数s=v2的图象；
2. 比较s=v2和s＝v2的图象。
活动目的：可以利用描点法作出s=v2的图象，体会二次函数表达式、表格、图象三者之间的联系，也为比较s=v2和s＝v2的图象做好准备。
实际教学效果：学生作图象的能力比较理想，绝大多数同学没有存在什么困难，因为画图象只需要三个步骤，即列表、描点、连线。由于两个图象非常直观，学生可以一边观察图象，一边对两个图象进行比较。学生经过讨论得出了答案：
1.相同点：(1)它们都是抛物线的一部分；(2)二者都位于s轴的左侧；(3)函数值都随v值的增大而增大。
2.不同点：(1)s=v2的图象在s=v2的图象的内侧； (2)s=v2的s比s＝ v2中的s增长速度快。

第三环节 做一做
活动内容：
1.在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(1)完成下表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
33
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…

(2)分别作出二次函数y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
活动目的：让学生作出完整的二次函数图象（在第二环节只是画了一半的图象，原因是速度只能是正数），然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数的系数对图象的影响。
实际教学效果：学生基本上可以用自己的语言对两个图象进行比较，但是思考得不是很完整，需要老师及时的补充或者提示，教师可以引导学生从顶点、对称轴、增长速度等角度进行思考，从而深刻的理解二次函数的性质。

第四环节 议一议
活动内容：
1.在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．
活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（相同）的平移关系，培养学生的动态思维。
实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴都是一样的，只是顶点不一样，向上移动了1格。有几个思维活跃的学生马上就开始探索移动的原因，发现y＝2x2+1比y＝2x2的y值多1，就向上移动了一格；这时，教师可以拓展一下：如果减1呢，结果会怎样？减2呢？这样就把第二个问题也解决了。在老师的引导下，学生可以总结出这样的发现：y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。

第五环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。
2. 快速、准确的说出和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
3. y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>0时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位。
活动目的：帮助学生归纳二次函数的性质。
实际教学效果：学生学习这节课是先动手，后操作，因此体会很深，对于作二次函数图象的步骤与归纳二次函数的性质，都得心应手。

第六环节 布置作业
1.完成课本45页习题2.3 1，2
2.函数y＝5x2的图象在对称轴哪侧?y随着x的增大怎样变化?
3.函数y＝－5x2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：

四、教学反思
1.一定要留足时间让学生自己作出二次函数的图象
可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。这将对后面的学习造成困难。所以在教学过程中，一定要留足时间，让学生一边作图，一边发现，而不是教师给出图象，让学生观察。
2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在归纳二次函数性质的时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
广东省深圳市罗湖中学 王 迪
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y=ax2和y=ax2+c的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
第2.4节将讨论一般形式的二次函数的图象和性质。它和学生前面几节课学习的、的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。具体的，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质

三、教学过程分析
本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。

第一环节 复习引入
活动内容：提出问题，让学生讨论交流
二次函数y=3（x－1）2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
活动目的：首先提出问题，让学生进入问题情境，并引导、启发学生和以前作过的二次函数的图象联系，使学生学会用类比的方法探究未知的知识。
实际教学效果：学生已经掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，能够类比猜想二次函数y=3（x－1）2+2的图象是一条抛物线。

第二环节 合作探究
活动内容：1、做一做：先作二次函数y=3(x-1)2的图象，再回答问题。
2、议一议
3．想一想
1．做一做
（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x2








3(x-1)2








(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
2．议一议
（1）在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（2） x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
（3） 猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（4）请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
总结二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a＜0)
顶点坐标
（h，0）
（h，0）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为0
当x＝h时，最大值为0
开口大小
|a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
（2）二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
w 一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数
y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
w 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.

总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2＋k (a>0)
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为k
当x＝h时，最大值为k

活动目的：
1、通过填表使不同函数的值在同一表格中呈现出来，便于比较。
2、通过在同一坐标系中做出两个函数的图象，使两个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得到结论。
3、使学生通过讨论将总结的结论进一步加深印象，能够熟练得运用到解决问题的过程中去。
实际教学效果：大部分学生对于使用几何画板制作二次函数的图象比较熟练，能够小组合作探究抛物线的性质，但是学生的数学语言归纳还不够精炼。

第三环节 练习提高
活动内容：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:


2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
（3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
实际教学效果：学生都能够利用归纳的性质完成课堂练习。

第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。

第五环节 布置作业
P48 习题2.4 1题.

四、教学反思
本节课的设计没有充分考虑学生的几何画板应用水平。对于学生的合作探究引导还不够。在时间的分配安排上要再合理一点。







第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
广东省深圳市罗湖中学 邓继梅
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：已经能够正确说出y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h)2+k形式的函数有感性认识，知道特定的形式反映特定的几何特征.
学生活动经验基础：学生已经熟练掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，学生能够根据以往画y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的经验理解y=a(x-h)2+k与y=ax2、的图象的关系。

二、教学任务分析
进一步对a、h、k响影二次函数图象产生感性认识，进一步体会建立y=a(x-h)2+k形式的必要性，能够利用二次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比等方法探究数学问题，认识到真理来源于实践，又能指导实践。具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程；
2．推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；
3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
过程与方法
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性；
2．在学习的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
教学难点：用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式

三、教学过程分析
本节课分为五个环节：复习练习、引入课题学习的顶点坐标公式并加以练习、链接生活解决问题、小结、布置作业

第一环节 复习练习
活动内容：
说出y=ax2、 、y=ax2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标。
活动目的：对前面知识作回顾，温故而知新，为后面学生学习的顶点公式作铺垫。
实际教学效果： 学生知道特定的函数形式反映特定的几何特征。

第二环节 引入课题学习的顶点坐标公式
活动内容：
1．提供素材：北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
2．提出问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t ² + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3．为了解决这个实际问题，从一个具体的数学问题出发，要求学生求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、开口方向、坐标轴等。
引导学生思考：如果二次函数的表达式为y＝a(x-h)2+k的形式，则可以很快知道它的顶点坐标、开口方向等。于是用配方的方法计算出该函数的顶点式，根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标。
4．要求学生利用配方法做P50随堂练习1（原题指定用公式）




5．学生在实践中发现，每道题的思路都是一样的，解决这样的问题所经历的步骤和过程类似，能否一般化？让学生尝试完成例题：求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标。
6．小结：二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，


7．练习：学生用顶点公式做P50随堂练习1：




活动目的：渗透化归的思想方法。
实际教学效果：
学生通过先计算有具体参数的二次函数的顶点式，再尝试计算出比较抽象的二次函数y=ax²+bx+c的顶点式，无疑是降低了难度，得出结论后反过来再应用于一般情况。
在求顶点坐标时，可能会有学生结合图象，如练习（3）指出：对称轴为x＝M，其中M为函数图象与x轴交点的两个坐标的平均值，在（3）中对称轴为，应予以鼓励。

第三环节 链接生活， 解决实际问题：

活动内容：
1．提出问题：
两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．

2．解决问题：
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
活动目的： 从模仿到活用，通过解决实际问题，对学生进行数形结合思想方法的渗透 ；另外，数学来源于生活，培养学生的数学能力，提高数学修养。
实际教学效果：充分体现以教师为主导，学生为主体的教学原则，让学生自主学习，开动脑筋，理论与实际相结合。

3．想一想
你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
活动目的：通过对课内知识的变式，培养学生的创新精神。


4．解决上课伊始提出的问题：当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式
h = - 5 t ² + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

第四环节 课堂小结
活动内容：
1，二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，


2，总结函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系

活动目的：通过总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 ，与y=ax2图象之间的区别与联系，培养学生的分析能力、表达能力、归纳能力，得出的理论可再重新指导实践。
实际教学效果：让学生谈收获 ，分享学习成果提高了学生的分析能力

第五环节 布置作业
看书:P50-P54,
尝试利用Z+Z智能教育平台研究二次函数的图象

四、教学反思
1．要发掘教材，参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料；
2．坚持启发式教学，反对注入式；
3．加强教学的计划性；
4，多采用计算机辅助教学，效果好。
第二章 二次函数
5. 用三种方式表示二次函数
广东省深圳市罗湖中学 麦 凡
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在已经学习过二次函数可以由解析式、列表、画图象三种方法表示。能通过本节课达到理解这三种方法各有各的特点，各有各的用途，它们是从不同的侧面反映了一个二次函数的性质，从而能在实际问题中灵活运用这三种方法解决实际问题。
学生活动经验基础：学生在本节课前已具备了运用解析式、列表、画图象这三种方法解决一些实际问题的能力。

二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
知识与技能
1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
过程与方法
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
情感态度与价值观
在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础
教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础

三、教学过程分析
本节课设计了三个教学环节：解决问题、课堂小结、布置作业。

第一环节 解决问题
活动内容：
1．问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2. y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：
（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.

活动目的：
1．对于1，通过学生的学习活动，让学生亲自体会到函数表达式，表格和图象这三种方法表示二次函数各自的优缺点。
2．对于2，通过学生对三个问题的解答，让学生体会到函数表达式，表格和图象这三种表示方式各自的特点，为归纳总结的得出做一个适当的准备。给予学生自由讨论的时间，让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，相互启发，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。
3．在这个问题的解决过程中，教师要通过多种途径（画图、列表等）帮助更好地理解函数。

3．问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
（2）自变量x的取值范围是什么?
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
活动目的：
通过实例，进一步帮助学生明晰二次函数的三种表示方法，为后面的讨论做铺垫。这个问题与前一问题相比，会留给学生更多的时间用于自我探索和练习。

实际教学效果：
1．通过两个有情境、有背景的具体问题，让学生经历了用三种方式表示二次函数的过程，既是对前面所学的回顾，也可以让学生进一步体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
2．由于是实际问题，自变量的取值不是全体实数，是有范围的，所以要帮助学生理解，为什么画图时之画在第一象限。

第二环节 课堂小结
活动内容：
1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示
优点
缺点
表达式
变量间关系简捷明了,便于分析计算.
需要通过计算,才能得到所需结果
表格
能直接得到某些具体的对应值
不能反映函数整体的变化情况
图象
直观表示了变量间变化过程和变化趋势.
函数值只能是近似值
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.

2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。

活动目的：
将前面两个特殊问题一般化，比较和概括出三种表达方式的优缺点。
实际教学效果：
由于之前通过特殊问题作了铺垫，这里学生概括起来比较顺利。

第三环节 布置作业
（1）P58 习题2.6第1,2题
（2）预习 P59~60

四、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过学习活动应给予学生展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。课件中“勇敢表现奖属于自信的人！”及“相信你能行！”等语句其实主要是提醒自己在课上要多激励学生，让所有的学生都相信我能行。
2．注意改进的方面
课堂的容量稍显不足，可以多加一道应用型函数题以加深对三种表示函数方法的理解。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作讨论更具实效性。
第二章 二次函数
6.何时获得最大利润
广东省深圳市罗湖区罗湖中学 何钻雄

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。

二、教学任务分析
“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是：
(一)知识与技能
1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。

第一环节 复习回顾
活动内容：
1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。
2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额
活动目的：为后面新课作准备

第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：（有关利润的问题）
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为 ；
(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为 ；
(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．
这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来。
设销售单价为x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5-x)元，则可多售出200(13.5-x)件，因此共售出500+200(13.5-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。
经过分析之后，上面的4个问题就可以解决了。
(1)销售量可以表示为500+200(13.5-x)=3200—200x。
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x2。
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)＝-200x2+3700x-8000。
(4)设总利润为y元，则
y＝-200x2+3700x-8000
=-200(x-.
∵-200＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值。
当x＝＝9.25元时，
y最大= =9112.5元.
即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
活动目的：
通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容。

第三环节 巩固练习
活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）
1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。
实际教学效果：
大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。
y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500。
当x=10时，y最大=60500。

2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
实际教学效果：
学生可以顺利解决这个问题，答案如下
(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小。
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上。

第四环节 实践应用
活动内容：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500。
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．

第五环节 课堂小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。

第六环节 课后作业
习题2．7第1，2题

四、教学反思
本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。
在教学中，要对学生进行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而发展学生的数学应用能力。
第二章 二次函数
7.最大面积是多少
广东省深圳市滨河中学 冯 晖

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。
学生的活动经验基础：通过第七节的学习，学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了处理经验。

二、教学任务分析
本节课将进一步利用二次函数解决问题，是上一节内容的进一步升华和提高，具体的教学目标如下：
(一)知识与技能
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)过程与方法
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感态度与价值观
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题．

三、教学过程分析
本节课分为五个环节，分别是：创设问题情境引入新课、归纳升华、课堂练习活动探究、课时小结、课后作业

第一环节 创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题．
活动内容：由四个实际问题构成
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
问题一的设计目的：
对于这个问题，教师将其作为例题，不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程，都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
下面请小组开始讨论并写出解题步骤．
(1)∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴．∴BC＝(40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．
(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x
＝－(x2－40x＋400－400)
＝－(x2－40x＋400)＋300
＝－(x－20)2＋300．
当x＝20时，y最大＝300．
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．

2．问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？”
解：∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAE．
∴．
∵AD＝x，FD＝30－x．
∴．
∴DC＝(30－x)．
∴AB＝DC＝(30－x)．
y＝AB·AD＝x·(30－x)
＝－x2＋40x
＝－(x2－30x＋225－225)
＝－(x－15)2＋300．
当x＝15时，y最大＝300．
即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2．
活动目的：
在活动解决之初（末），揭示该问题与问题一的关系

3．问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.

(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
活动目的：
有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生自己解决，作为练习

4．问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？

分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x＋4y＋πx＝15，
∴y＝．
设窗户的面积是S(m2)，则
S＝πx2＋2xy
＝πx2＋2x·
＝πx2＋
＝－3.5x2＋7.5x
＝－3.5(x2－x)
＝－3.5(x－)2＋．
∴当x＝≈1.07时，
S最大＝≈4.02．
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
实际教学效果：
问题四中的数量关系，较前面3个问题，处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助。

第二环节 归纳升华
活动内容：
同学们能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．
活动目的：
通过前面例题的学习和感受，学生讨论交流，在教师的帮助下归纳出：
基本流程为：理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学问题．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．

第三环节 课堂练习，活动探究
活动内容：
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
M
A
B
C
D
P
Q
R
2. 正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值；
(2)当t=3s时，求S的值；
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。

第四环节 课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．

第五环节 课后作业
习题2．8 1、2


第二章 二次函数
8.二次函数与一元二次方程（一）
广东省深圳市罗湖外语学校 罗 俊
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。

二、教学任务分析
本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;学生的认识要上升到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标是有困难的，教师必须在课堂上要通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学生初步的创新精神和实践能力．本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标

三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。

第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)
顶点式：y = a(x-h)2 + k
交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。
活动目的：
教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来。问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心。第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2＋bx＋c与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究。第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣。热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备。
实际教学效果：
课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛。特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维 ，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫。

第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么
(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.






2．分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.





思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.



y=x-2x+2

y=x-2x+1
y=x+2x








（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac ＜0


活动目的：
这一环节是本节课的重点内容，在教材提供的生活素材背景下，例题是由一个待定的二次函数解析式与对应图象一并给出的，目的很明显：为学生直接铺设一个数形结合的情境，有意识的引导学生从数形两方面结合起来考虑问题，由于学生已经有了一次函数图象应用的学习经历，具备了一定的数形结合思想基础，为了求出v0和h0，只要教师引导学生分析清楚由于高度h与时间t成二次函数关系，故图象必然是呈现出抛物线的形式。教学中我特意增加了“图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别表示什么含义？”这一问题来启发学生，使他们认识到满足这个函数关系的点（h,t）一定在抛物线图象上，反之图象上的每一个点的横坐标、纵坐标分别是小球被抛出的时间与高度。
当学生理解了这个关系后，再引导学生观察图象上是否有已知的点，他们的注意力自然会去观察图象与x轴的交点（0，0）和（8，0），至此求h、t就转化为求解方程组的问题。
学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间。
紧接着给出求出三个函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2与x轴的交点，再画出它们的草图，教学中我组织开展了“比一比”这个活动，看谁解方程速度快？看谁画图快？在激发学生的学习积极性的同时，来训练学生运算能力和巩固对二次函数图象抛物线的认识，。
随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。
为了更加完整、系统的使学生明确二次函数与一元二次方程的对应关系，随后教学中设计了一个表格，教师再次组织学习小组进行讨论、交流、发言，目的是让学生完整建立本节课的认知结构，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；同时进一步培养学生合作交流、清晰表达的数学能力。

实际教学效果：
由于教学设计体现出步步为营的战术特点，学生在小组成员的相互讨论中，在教师的引导启发下，不知不觉中完成了对新知识的学习理解。

第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?

解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒

活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出。第四问引导学生观察到方程－4.9t2＋19.6t =0是函数h=－4.9t2＋19.6t 的函数值h取0的情况，其实际意义就是足球的高度为零时时间所满足的关系。当然该方程的一个根就是足球落地的时间，而另一个根的实际含义就是足球刚被踢出时离地的那一刻。这是本节课的又一个难点，为了突破这个难点，教学中教师要耐心启发、引导，不断的设问、鼓励，力争由学生自己来揭示出来，体现出学生的主体性、主动性。在认识了第三问基础上，第四问的给出，鼓励学生用类比的思想方法去考虑，问题就会迎刃而解了。在肯定学生的思考同时，此时教师再提出一个问题：我们用求一元二次方程的根来解决的问题，你能再用图象法解决这个问题吗？启发学生用形的一面去考虑问题。目的是鼓励学生在学习上永不满足、勇于探索，同时再次强化学生认识到数学学习要有意识的养成从“数”“形”两方面去研究的思想方法。
以上四个问题串的设计，由易到难，一环紧扣一环，从认识一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，这个体会感受的过程对于学生来说起初是模糊的，此时组织学生合作交流讨论，再由小组派代表发言，教师启发、引导学生将问题表达清楚。教学中引导学生用类比的方法来研究，即分解了学生学习上思维难点，又把学生思维逐步引向深处。
实际教学效果：学生经过前一环节对二次函数与一元二次方程关系有了初步认识后，他们明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x轴交点的横坐标，本环节前4个问题，作为对函数式求值、认识二次函数顶点式、理解抛物线图象的形成、及之前内容的巩固训练，是一道很好的练习，课堂教学中学生踊跃回答，气氛热烈。第4问虽然有些特别，但学生有了前面问题的理解认识，他们也可以说出方程的根就是抛物线与x轴的交点。但第5问给出后，学生静了下来。我知道他们虽然明白一些，但却不知如何表达？特别是用图形来表示一元二次方程14.7= －4.9t2＋19.6t的根这个问题对于他们很陌生。此时正是教师发挥指点迷津的作用绝好时机，我马上指出前一问中h=0的几何意义是什么？学生回答h=0表示直线x轴。那么h=14.7的几何意义又是什么呢？他们恍然大悟，明白了方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是抛物线与直线h=14.7的交点。5个问题一步步逐渐揭示出方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义，教师在这时再顺势提出更一般的问题：一元二次方程ax2+bx+c=h的根的几何意义又是什么呢？学生就不难理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标了。学生在课堂上有时热烈，有时安静，有时欲说还羞，有时又很满足，他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中了。

第四环节 开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间 ，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。
实际教学效果：
教学中老师让学习小组先互相讲解，然后再由小组成员推荐上讲台面向全班同学讲解，一个同学发言指出他们的做法，把h=60带入函数式中，转化为求方程的根。全班同学用赞许的眼光肯定了他的解法。看到他只是从“数”的角度解决的，我知道学生要形成数形结合的思想意识是需要过程的。我向全班同学启发问到：其他小组还有没有另外的解法？另一位同学说：前面同学是从代数的角度解决的问题，我还可以用几何方法解决。画出直线h=60，找到它与抛物线的交点，两个交点的横坐标就是问题的结论。他的讲解赢得了同学热烈的掌声。我没有让他坐下，在肯定了他能够用数形结合的思想考虑问题的同时，又追问了他一个问题：如果你的抛物线图形没有画准，那么图象法得到的结论准确吗？你能比较一下两种解法的优劣吗？此刻所有同学都深刻体会到代数解法精确，而图象法快捷。

第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，
故k≥－ 且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．

活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？
实际教学效果：学生基本都能把问题转化为根的判别式的值大于零，受到了较好的教学效果。但很多学生没有条件虽然说有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0；另外二次函数的存在条件是二次项的系数不为零只有个别同学注意到。教学中先让有问题的学生板演出他的解法△＞0，我故意打一个大大的半对号，请同学们说说原因，当有同学提出应为△≥0，我仍然说道还不完整，再请同学们思考，直到给出完整的解法。同学们在问题的思考探索中培养了他们分析题目要全面、仔细的好习惯。

第六环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 _______
2．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为 个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过 象限．
活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法。
实际教学效果：学生迅速的完成了前4个小题的解答，但被第5小题难住了。在第5分钟时我让同桌相互交换批改打分。大多同学得到80分，他们很不服气，我反问他们知道为什么答不出第5小题的原因吗？以此来强调在函数学习中，一要注意知识前后的联系，及时复习巩固，我鼓励同学们认真回顾二次函数系数a、b、c是如何决定抛物线的位置的，让学生结合本节课新知识的学习，就可以更加准确的判断出抛物线的位置；二是应注意研究方法：用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线，是两把相互配合的利器，希望同学们认真体会、自觉应用。

第七环节 归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，师生互相交流总结完善同学们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，教师用前面学生出现的错误认识为例，再次强调研究函数问题时，用“数”研究“形”，用“形”研究“数”要相互配合使用，结合两种方法的优势。学生此时对本章的学习真正有了完整的认识。

四、教学反思
1．教案设计时要备好教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，特别是课改的新教材提供的内容表面上显得很简单，学生预习时总觉得容易，上课有时注意力显得不够集中。教师备课时要吃透教材，在讲授二次函数这一章时更应该注意这一点，准确把握新知识的发生点。明确学生在什么地方是模糊的，什么地方是需要加强巩固的，讲授时紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解。
2．教案设计前要备好学生
为了使学生准确理解教材内容，讲授时教师要充分调动课堂内一切积极因素。用设问、反问等语言调动学生的求知欲望，用启发性的语言吸引学生，用肯定的话语鼓励学生，力争营造出师生互动、生生互动的和谐课堂气氛。
3．注意改进的方面
教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小组合作学习更具实效性。


第二章 二次函数
8.二次函数与一元二次方程（二）
广东省深圳市罗湖外语学校 罗惠萍
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上学期学习了用多种方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通过这些方法他们可以准确的求出方程的根。在上节课，他们学习了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。这些知识基础完全可以使他们很好的完成本节课的学习目标。
学生活动经验基础：学生在本章第4节学习了“二次函数y=ax2+bx+c的图象”，其间他们学习了用列表、描点的方法画出抛物线。上节课他们又学习了利用“数”与“形”两种方法来研究二次函数与一元二次方程关系的问题，因此他们积累了一定的数形结合思想运用的认识经验，这些经验可以让他们很好的理解本节新课的学习任务。

二、教学任务分析
本课的具体学习任务：进一步体会二次函数与一元二次方程之间的联系；通过观察二次函数图象与x轴的交点，估计对应的一元二次方程的根的取值，进一步培养学生运用“数形结合”思想解决问题的能力;由于学生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，学生在知识准备上，他们已经有了较充分的准备。本节课就是对上节课从实践方面对二次函数与一元二次方程关系进行一次体验。教师在课堂上只需要通过新课前的热身练习题组，由易到难的设问，让学生回顾上节课的学习内容，再通过挑战性的语言，让学生对本节新课充满期待和探索的欲望。在想一想、填一填、议一议、试一试等活动中，让他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的理论学习最终要落实到实践应用上。本节课的教学目标是：
知识与技能
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；
2．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
过程与方法
1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观
1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：仔细观察、大胆联想；课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；教材题变形、拓展提高；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。

第一环节 仔细观察、大胆联想
问题：函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，
x= 为该图象的对称轴，根据图象
信息你能得到关于系数a，b，c的一些 -1 1
什么结论？ -1

分析点拨：
⑴ a＞0
⑵ -1＜c＜0
⑶ b2-4ac＞0;
⑷ ∵x= , ∴2a=-3b;
⑸ 由⑴，(4)得b＜0
⑹ 由⑴,⑵,⑸得 abc＞0;
⑺ 考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0
⑻ 又x = -1 时 y＞0，所以有a-b+c＞0;
⑼ 考虑顶点的纵坐标，有0＜c-＜-1。
活动目的：
通过一道开放性的训练题，来训练学生由“形”到“数”的形数结合能力，由于结论开放，可以考察出不同层次学生的思维能力，观察问题的是否仔细、全面。教学中先给学生独立思考的时间，再小组议论的形式，借此培养学生合作探究、相互交流、取长补短的合作意识和团队精神。
实际教学效果：
由于本练习题思考解决的入手点的多样性，学生回答问题的积极性很高，小组间的议论很热烈。教学中，我开展了看哪个小组得到的结论多的活动，同学们之间、学习小组之间的竞争气氛被很好的调动起来。有的小组得到了5个结论，有的小组得到了6个结论，我及时带领同学再认真从不同角度审图，精简点拨之后，又有些小组受到启发，踊跃抢答。当同学们回答完我事先准备好的答案后，他们还提出了另一些结论：如a+2b+4c＜0，＜2等。课堂的气氛被学生精彩的回答渲染的非常热烈。

-1
1
-1
第二环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .
活动目的：
教学第二个环节课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来。问题（1）的设置解题入手方向有三个，可以分别从一般式、顶点式、交点式考虑解决。以此来巩固学生求二次函数解析式的分析、运算能力。问题（2）是考察学生对二次函数系数a、b、c、△如何决定抛物线图象位置，培养学生从“数”到“形”的探究能力。问题（3）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。问题（4）、（5）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫。
实际教学效果：
学生对第（1）小题的解答确实出现了三种解法，由于时间有限，我没有做详细点评，只是提示了可以用三种方法得到，但三种方法的简洁程度的确不同。第（2）小题从已知a、b、c的条件只能判断出图象的开口、对称轴的位置，还不能判定顶点的位置，但学生很容易联想到上节课学习的△＞0可以决定图象与x轴有两个交点的结论，最终较准确判断出抛物线的位置。第（3）小题由于是上节课例题的简单变形，学生通过变形为顶点式和解方程很快的得到结论。第（4）（5）小题考察学生对上节课学习内容的理解，在实际教学中，他们大多能够准确回答出，为随后的新课作好了引如的准备。

第三环节 用心想一想，马到功成
活动内容：
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与
x轴的交点的横坐标；
由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标
一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,
分别约为-4.3和2.3.
(3) 确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:
x1≈-4.3,x2≈2.3

活动目的：
这一环节是本节新课的重点内容，例题的设计意图一是让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识，其二主要是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系。
实际教学效果：
在带领学生回顾二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引导学生明确了除应用求根公式计算二次方程的根之外，还可以利用画二次函数图象与x轴的交点求二次方程的根。起初学生不明白为什么能用求根公式很快计算出根来，偏偏还要用画图的方法。此时，我向同学们解释说，用求根公式求解是体现数形结合思想中“数”的一面，我们现在准备利用“形”的一面来解题。于是学生便饶有兴趣的思考下去了。
利用列表、描点画抛物线的方法学生显的比较陌生了，我就在黑板上边启发、边示范、边讲解，取自变量之前，最好先把一般式转化为顶点式，先找出顶点的横坐标，再在它左右等距离取不同的自变量值，然后分别求出对应的纵坐标值。在坐标系中描出各个点后，用光滑的曲线连接即成草图。在观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标时，由于画图误差，观察数据与实际值有较大偏差。此时我向同学们提出一个问题：“如何更准确的估计出根的取值？如果精确到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一个更准确呢？”我故意把这9个数值在黑板上一一列出来，学生马上想到可将-4到-5之间的单位长再十等分,把这9个自变量值分别代入函数中，借助计算器确定哪一个的函数值最接近0，那么它就是根的近似值。教学中虽然我发现了学生普遍感觉到这种方法很麻烦，但在探索求根的近似值的过程中，有必要让他们感受到数学探索的过程并不是总充满乐趣，有时还是很艰辛的。

第四环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象
(2) 作直线y=3；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,
另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7,x2≈2.7

活动目的：
巩固学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力。由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识。

实际教学效果：
学生经过前一例题的学习，他们都跃跃欲试。我知道要完整给出图象解法是很费时间的，于是我组织了小组间的画图竞赛，看哪个小组完成的又好又准确。学习小组之间首先设计好解题思路，列表、取点、计算、描点、连线。当他们发现左边的交点横坐标在-5到-4之间时，模仿例题的方法也对将单位长进行了十等分,借助计算器求出了函数值，起初他们发现值都在3的左右而不是0时有些迷惑，随后便恍然大悟。看到他们完全沉浸在数学探索、发现的乐趣中的样子，我心理很欣慰。
在小组成果对比中，同学们发现有个小组的图象和别人的不同，起初有些议论，我就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，这样问题就转化成前面已经解决了问题了。
附创新解法2：
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之
间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:
x1≈-4.7 ，x2≈2.7


同学们明白了这种解法的简洁原因，我也不失时机的向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。

第五环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
问题1：利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根
分析解答：
1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x
轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有
两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间,分别约为-0.2和2.2
(3) 确定方程x2+4x+1=0的解;
由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根为:
x1≈-0.2, x2≈2.2
问题2：利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.
分析解答：
(1) 原方程可变形为3x2-x-1=0；
(2) 用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象
(3) 观察估计抛物线y=3x2-x-1和x轴的交点的横坐标；
图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在
-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
（4） 可估计x1≈-0.4, x2≈0.8
活动目的：本环节是考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决。
实际教学效果：在课堂巡视观察中，学生基本上掌握了用图象法估计方程根的方法，对第（2）小题也都能自觉转化为简单情况加以解决，说明学生基本上都掌握了本节课的学习任务。但他们也表示以后真的碰到这个问题时，他们准备先用求根公式把根计算出来，估计出根的近似值，再同时画出图象会更加快捷一些。

第六环节 归纳小节、说一说
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用数形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。但他们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些。

四、教学反思
1．要准确把握教材的设计意图
开始备课时，我并没有认为这节课有多大的必要性，认为学生只要会用求根公式就行了。但在教学时，看到学生动手画图、计算、估值、讨论的投入样子，我逐渐明白了本节课的设计意图不仅仅是看重结果，更重要的是过程。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
要想让学生爱数学，必须让他们对数学感兴趣，让他们有学习数学成功的体验。教学中相信学生，并为不同层次学生设计、提供展示自己的机会，多给予肯定的评价。
3．注意改进的方面
本节课由于前面复习巩固旧知识的内容较多，评讲的时间也响应长了些，影响了后面新知识的充分展开，课堂小结时显的有些仓促。
第二章 二次函数
回顾与思考（一）
广东省深圳市松泉中学 巫国辉
一、学生知识状况分析
学生在前面已经学习了一次函数、二次函数、一元二次方程等知识，学生也有了一定的看图能力和理解能力，对于配方法、待定系数法、数形结合法等数学方法也有一定的了解。并且通过新课的学习，已经掌握了二次函数的相关知识，初步具备了运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

二、教学任务分析
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一．
    二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题．
     二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等．
    和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验．为此，本节课通过复习，要达到的教学目标为：
知识与技能
1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；
2．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；
3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；

三、教学过程分析
通过对二次函数的有关概念、图像和性质等知识的回顾，对有关重要方法的总结，使学生进一步感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系。
所以本节课设计了6个教学环节：知识要点和重要方法的回顾总结、复习二次函数的图象和性质、二次函数关系式的三种表示方式、练习与提高、课堂小结、布置作业。

第一环节 知识要点和重要方法的回顾、总结
教学内容：知识要点的回顾、总结
提出下列问题：
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述.
2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.
3.小结一下作二次函数图象的方法.
4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.
5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系.
6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
重要方法的回顾、总结
提出下列问题：
通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？
1.理解二次函数的概念；
2.会用描点法画出二次函数的图象；
3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4.会用待定系数法求二次函数的解析式；
5.能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
教学目的：
通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理和巩固所学知识和方法，使其系统化。

第二环节 复习二次函数的图象和性质
教学内容：
1．二次函数的图象和性质要点
（一）形如(a≠0) 的二次函数
（二）形如(a≠0) 的二次函数
（三）形如( a≠0 ) 的二次函数
(四) 形如(a ≠0) 的二次函数
(五)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
2．二次函数的图象和性质练习
（1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。
（3）抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y =x 2向 平移 个单位得到的；
（4）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。
（5）抛物线 y = 2 (x -0．5 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是
（6）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。

教学目的：
通过对二次函数、、、 、、y=ax2+bx+c的图象和性质的回顾、总结及练习，巩固所学知识。

第三环节 二次函数关系式的三种表示方式
教学内容：二次函数关系式的三种表示方式：一般式、顶点式、两根式。
1.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（ ）
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0
C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a 0 ,b 0, c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

4.已知二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样特征的二次函数草图.

教学目标：
使学生会用表格、关系式、图象多种方法表示二次函数，会用一般式、顶点式、两根式表示二次函数关系式，并体会函数的各种表示之间的联系和特点。

第四环节 练习与提高
教学内容：练习与提高
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
2.若a+b+c=0,a¹0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。
A
B
x
y
O
C

第3题图 第4题图
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
教学目标：
通过二次函数的综合练习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。

第五环节 课堂小结
请学生总结回顾

第六环节 布置作业
课本复习题1－5

四、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理所学知识和方法，使其系统化。通过练习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。
在解决问题的过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使合作学习更具实效性。

第二章 二次函数
回顾与思考（二）
广东省深圳市罗湖外语学校 林 静

一、学生知识状况分析
学生在前面已经学习了一次函数、二次函数，一元二次方程等知识，九年级的学生也有了一定的看图能力和理解能力，有了能把实际问题转化为数学问题并解决的能力。

二、教学任务分析
二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系十分密切，揭示和认识它们的相互联系，以求相互为用，具有重要的意义。
为此，本节课的教学目标是：
1．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等。会通过建立坐标系来解决实际问题
2．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似解。

三、教学过程分析
通过这节课的学习，学生可以体会二次函数是一类最优化问题的数学模型、学习用二次函数的知识解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感受数学的应用价值
所以本节课设计了五个教学环节：最大值问题、需建立坐标系、二次函数与一元二次方程、课堂小结、布置作业。

第一环节 最大值问题
教学内容：
通过：1、最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题，说明如何利用二次函数知识解决实际问题。
（一）最大利润问题
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
自我检测
某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?

（二）最大高度问题
例2：竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).

（三）最大面积问题
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?
例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

教学目的：
发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系，并利用二次函数解决实际问题，使学生感受二次函数与生活的密切联系．

第二环节 需建立坐标系问题
教学内容：通过建立坐标系来解决实际问题。
一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？
一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).

教学目的：需建立坐标系解决实际的问题是本章中的一个难点，通过这一环节的设计，让学生更好的如何通过坐标系来分析理解题意，把图象直观与实际意义相联系，发展学生的数学应用能力．

第三环节 二次函数与一元二次方程
教学内容：理解二次函数与一元二次方程之间的联系与区别。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac ＝ 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac ＜ 0
二次函数，何时为一元二次方程?它们的关系如何?
例：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 来表示。其中t（s）足球被踢出后经过的时间，图象如图所示：
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
（2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？
（3）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？

教学目的：
建立一元二次方程的求解问题与二次函数之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程近似解；

第四环节 课堂小结
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.

第五环节 布置作业
课本复习题 A组 第5，6，7题；
B组 第5，6题.

四、教学反思
1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过小组讨论方式，使学生能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
2．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。





第三章 圆
1．车轮为什么做成圆形
广东省江门市新会区创新初级中学 周君 李惠兰 赵翠云

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在小学已认识过圆这种几何图形、画图、圆的周长、面积的
公式；学生已通过折纸，对称、平移、旋转等方式认识圆的有关性质，积累了对圆的一些认识，具备了画圆和计算机周长、面积的基本技能，了解了圆是轴对称圆形和中心对称圆形等基础知识。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生运用圆的周长、面积公式，解决了一些简单的现实问题，感受到公式的如何运用，获得了数学知识在日常的重要性，同时，在以前的数学学习中经历了探索交流的学习过程，具有一定的经验和能力。

二、教学任务分析
《车轮为什么做成圆形》这一节，主要是让学生通过实例来归纳出圆的定义，虽然小学阶段学生已经对圆的有关知识有所了解，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念。本节主要是通过一些日常生活原例子，使学生体会圆的概念的形成过程，同时也应力圆在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．圆的相关概念；
2．点与圆的位置关系．
过程与方法
1． 经历形成圆的概念的过程，经历探索点和圆位置关系的过程。
2． 理解圆的概念，理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的点或图形，
初步形成集合的现念。
情感态度与价值观
1． 让学生在经历圆的概念的形成过程中，通过探索与交流，进一步发展学生探索交流
的能力和数学表达能力。
2．在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生的定义理论，为依据分析问题、解决问题的良好习惯。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：情境引入、探讨研究、练习理解、链接生活、课堂小结、布置作业。

第一环节：情境引入（实际生活原感受，概括定义）
活动内容：
录用一幅大会的开幕词，展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及到自己有关的方面，逐渐引入。
活动目的：
通过第1幅图片，引起学生的兴趣，使他们处于兴奋的状态，对本节课的内容引起假想；第二幅图片，是我们生活中很常见交通工具，其车轮是圆形，在头脑已经有很深烙印，但为什么做成圆形呢？与车轮做成正方形、矩形、三角形又怎样？通过对比就可以回答理由了；第三幅图片，这个游戏比较容易理解，基本上都会回答围成一个圆形，然后通过提出为什么？讲出理由，自然而然地引出圆的概念，达到教学目的。
实际教学效果：
图片能从不同的方面选用，逐步贴近自己，圆形车轮和四边形、三角形车轮行走的对比后，很容易理解圆周上到定点的距离相等，所以行走时平稳的特点，游戏这幅图都充分展现了学生走进生活感觉数学的高涨热情，对圆的概念很容易理解，但用集合的概念定义圆不习惯，定点为圆心，定长为半径容易理解。

第二环节：探讨研究
活动内容：
通过学生的动手实践，向圆形靶飞镖，直至出现有点出现在圆周上，圆内、圆外为止，然后通过选用有代表性的五个点A、B、C、D、E，来研究点和圆的位置关系。
活动目的：
这里通过学生的积极参与、激发兴趣后，主动去探索、讨论、积极发表自己的看法。——点和圆的位置关系以及相应的这个点与圆心的距离与半径的大小关系，通过这个环节，使学生主动参与学习活动，增强了学好数学的自信心。
实践教学效果：
学生乐于参于这个游戏活动国，并且从活动中能得到正确的结果，说明了在教学中选择贴进生活的例子，能很好地实现良好的效果。

第三环节：练习理解。
活动内容：
1、体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m圆，你能帮他想想办法吗？
2、小明和小华正在练习投铅球，小明投了5.2m，小华投了6.7m，他们投的球分别落在下图中哪个区域内？
3、如图，一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。
4、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点0，它的四个顶点A、B、C、D是否在以点0为圆心的一个圆上，为什么？

A
D
B
C
0

5、如图，已知△ABC中，BD，CE是高，求证：A、B、C、D、E在同一个圆上。
D
A
B
C
E

6、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。
（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
活动目的：
对本节知识进行巩固练习并回顾相应的几何定理，经历用集合的观点理解圆形的过程。
实际教学效果：
学生对第1，3两题很容易理解，但对第2题小羊向右转时，多数学生不会以竖直转角为圆心另一圆弧，结果小羊的活动范围扩大了，这时最好用实物图形进行尝试，加深理解；第4题很少同学能找到BC的中点，运用直角三角形斜边上中线等于斜边一半，证明BO=CO=DO=EO，从而得到证明，教学时，可提示回顾直角三角形的性质，特别是得线段相等的性质，学生要加强定理的记忆；第5题，图就基本能画出，但不会表达，教学时，应尽量多引导学生多动口，语言表达要规范，必要时，可加上阴影表达满足（2）的图形；这个题目能很好地训练、理解点和圆的三种位置关系。

第四环节：链接生活
活动内容：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1、举出成圆形的一些物体的实例，并研讨人们为什么将它们制作成圆形。
2、下图是一张靶纸，靶纸上的1、2…10表示击中该靶区的环数，靶中每个圆环的宽度相等，正中小圆的半径与各圆环的宽度相等，已知小明射击了一次，且已肯定中靶，求小明此次击中10环的概率。

3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成
B
C
A
D
110
220
气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超四级，则称为受台受影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

活动目的：
几何证明，是学生的难点，情绪较低，但通过第1题，再次引起学生的兴趣，迫不及待观察身边周围的事物，联系日常的生活，再次达到一个学习的热情，同时，通过实例既巩固以前学生的圆的有关性质，也为下面学习圆的其它性质打基础，第2题既复习圆的面积计算，也复习了概率，第3题既复习了解直角三角形，句股定理，也涉及到本节的画圆定受影响的距离、时间。
实际教学效果：
学生能畅所欲言发表自己日常中遇见过，利用圆的物体，能说出利用圆的哪些特性，老师可适时提出迎亲的锣做成圆的原因，使学生们为我们的民族的智慧而骄傲，激发学生对知识的探索的追求，实现情感的教育；第2题应该用面积比求概率，而不是10/1；第3（1）题比较容易理解和正确解答，（2）题稍为难理解，但通过作出圆，找出了受影响的距离就可以解决受影响的时间了，（3）题主要弄清A市与台风转动的最短距离，就可计算出受影响的最大风力，教学过程中，老师必要时适当提示，效果会好些，学生才有信心去解答。

第五环节：课堂小结
活动内容：
师生互相交流总结点和圆的三种位置关系；怎样判断其位置关系，日常生活中利用圆的例子，与圆有关计算、证明的题目等。
活动目的：
鼓励学生结合本课的学习，谈自己的收获与感性（学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括日常生活中利用圆的例子，点和圆的位置关系，如何判断，怎样利用圆的知识计算、证明。
实际教学效果：
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：通过飞镖很容易理解点和圆的位置关系，观察或量度可判定其关系；同学们互相讲解，加深了印象，也使大家学到了许多日常的知识。

第六环节：布置作业
1、已知：如图，OA，OB为⊙0的半径，CD分别为OA、OB的中点，求征：AD=BC
2、已知⊙0的面积为25π。 D
A
C
B
0

（1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ；
（2）若PO=4，则点P在 圆内 ；
（3）若PO= 5 ，则点P在⊙0上。
2、设AB=3cm，作图说明：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形。

四、教学反思
1、要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。例如：一开始的一幅图就能深深地吸引着学生，使他们产生许多的遐想，对这节课产生很大的兴趣，可谓成功了一半，再加上对日常生活中利用圆的例子，教师在让学生充分讨论发表自己的见解后，再提出未讲到的或未知利用圆的什么性质的例子。（如锣鼓），使学生感兴趣的问题拓广到客观世界的许多方面，逐渐关注来源于自然社会与其他科中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。
2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会。
我们许多教师都存在着一种误区这些是好学生，学得好，那些是差生，根本是学不好。其实每个学生都有自己优秀的一面，在这节课中，讲到圆的应用，飞镖这个游戏，每个同学都很兴奋、跃跃欲试，只要给他们一个机会，展示自己，努力使每一个学生都能得到成功的体验，充分肯定学生的进步和发展，帮助学生形成积极主动的求知态度，促进进一步发展。
3、注意改进的方面
对于较为显浅的问题学生往往反应较快，容易接受，但要运用合情的推理和初步演泽推理时，学生通常没有了激情，甚至没有信心和勇气。因此教师及时适当的启发、引导、鼓励、明确证明的意义和证明的过程要步步有据，帮助学生，树立克服困难的信心和毅力。

第三章 圆
2．圆的对称性（一）
广东省江门市新会一中 周捷源

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。
学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析
圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．理解圆的轴对称性及其相关性质；
2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
过程与方法：
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：
1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。

第一环节 课前准备
活动内容：（提前一天布置）
1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）
2. 预习课本P88~P92内容
活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。
实际教学效果：
1. 学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。
2. 预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。

第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：
教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。
活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。
实际教学效果：
1. 由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义，因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。
2. 通过几何图形去记忆或理解几何概念性质定理，是学生学好几何知识的有效途径。

第三环节 讲授新课
活动内容：
（一） 想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？

（二） 认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。


（三） 探索垂径定理。
做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图
问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（四） 讲解例题及完成随堂练习。
[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
练习：完成课本P92随堂练习：1

（五） 探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。
想一想：
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
练习：完成课本P92随堂练习：2

活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容（五）的主要目的与内容（三）相似。
实际教学效果：
E
对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：如图所示
CO⊥AB，CD为⊙O 的直径
AM=BM，AD=BD，AC=BC。
另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧
会较难表述。教师要运用轴对称性启发引导。对于活动（四），
教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上，至于这一逆
定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似，在完成随堂练习
时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。

第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
1. 本节课我们探索了圆的轴对称性；
2. 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；
3. 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。
实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。

第五环节 课后作业
1. 课本习题3.2，1，2。试一试1
2. 预习课本P94~97内容。

四、教学反思
1. 本教学设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理。对培养学生的动手能力，直觉思维、逻辑思维有较大的帮助。
2. 较好体现了学为主体，教为主导的教学策略，师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示，学生也会得到充分的发挥机会；另外通过创新探索的内容，会使学生进一步体会数学在生活中的应用，培养学生探索精神。
3. 本教学设计在实试过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习安排得较少，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理。
第三章 圆
2．圆的对称性（二）
广东省江门市新会一中 周捷源

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。
学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析
这是“圆的对称性”的第2课时，学生利用旋转的方法得到圆的旋转不变性，特别圆是中心对称图形，对称中心为圆心；并利用它的旋转不变性重点探究了“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系”。具体地，本节课的教学目标为：
知识与技能：
1．理解圆的旋转不变性；
2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
过程与方法：
1． 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
2． 通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。
情感态度与价值观：
1．培养学生积极探索数学问题的态度与方法。
教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节 课前准备
活动内容：（提前一天布置）
1、 每人用透明的胶片制作两个等圆。
2、 预习课本P94--97内容。

第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：
问题提出：我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？
活动目的：为了引出圆的旋转不变性。
实际教学效果：
让学生认识到圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从而使学生较为自然地探讨圆的其他特性。

第三环节 讲授新课
活动内容：
（一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性；
请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
0’
O

它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?
归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。

（二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦、弦之间相等关系定理；
做一做
按下面的步骤做一做
1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和∠A′O′B′ 圆心固定。
2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
由此得到：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
想一想
1、在同圆或等到圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
探索总结：
定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

C
A
F
B
E
O
D
（三）讲解例题及完成随堂练习。
例1 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠ AOB与∠ COD呢？
练习：完成课本P97 随堂练习1、2、3

活动目的：
进一步培养学生探索新知识的能力，通过实验得到圆的旋转不变性及，利用圆的旋转不变性探索到圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并能用叠合法说明其正确性。

实际教学效果：
1、学生做活动（二）内容的实验时，在画与重合时，要使相对于的方向与相对于的方向一致,否则当与重合时,与不重合。
2、要帮助学生理解用叠合法说明该定理。





3、在运用这个定理时，一定不能惦记“在同圆或等圆中”这个前提，可通过举反例强化对定理的理解如下所示，虽然=，但，。
4、例题的学习，将定理扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。

第四环节 课时小结
活动内容：
在得出本节结论的过程中，我们使用了哪些研究图形的方法？（同学们互相讨论，归纳）
活动目的：
培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力。
实际教学效果：
要让学生有充分的时间进行交流，讨论。教师在当中要引导学生去归纳。如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法。

第五环节 创新探究
活动内容：
如图，在⊙中，弦，的延长线与的延长线相交于点，直线交⊙于点，，你以为与有什么大小关系？为什么？
N
A
E
C
M
B
D
P
O

活动目的：
通过弦这个条件联想构造它们所对的弦心距的辅助线，去应用本节所学的定理，培养学生综合运用知识的能力。

实际教学效果：
该问题可以一题多变，充分让学生感受到该图形的美，培养学生的发散思维。

第六环节 课后作业
1、课本P98习题3.3 : 1, 2, 3

四、教学反思
1、本设计让学生有充足的时间去探索圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理，较为侧重于逻辑推理能力的培养。
2、对该定理的文字表达方面，还要引起教师的重视；还应让学生深入发掘创新探究的内容，这样会帮助学生更好地运用整节书的重要知识，提高学生应用新知识的能力。


第三章 圆
3．圆周角和圆心角的关系（一）
广东省江门市新会华侨中学 李小玲

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1． 了解圆周角的概念。
2．理解圆周角定理的证明。
过程与方法
1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
2．体会分类、归纳等数学思想方法。
情感态度与价值观
通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。
教学重点：圆周角概念及圆周角定理。
教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。

三、教学过程分析
本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业．

第一环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：通过一个问题情境，引入课题
情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

活动目的：
通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念。同时为第2课时的学习埋下伏笔．

第二环节 新知学习
A
B
C
活动内容：
（一）圆周角的定义的学习
为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。
请同学们考虑两个问题：
（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？
（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。

通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。
圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
两边在圆内的部分是圆的两条弦。

活动目的：通过学生主动观察，探索概念的形成，这样能使学生更好地理解概念。

（二）圆周角定理的学习
我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况：
B
A
O
C
①
A
B
C
O
②
B
A
C
O
③

引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，∠ABC和∠AOC之间的大小关系．
由此得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

活动目的：
A
O
C
B
学生通过画图，渗透分类讨论的思想，由特殊到一般解决问题的策略。由学生的画图结果我们得到三种图形。在这三种情况下，提问∠ABC与∠AOC的大小有什么关系？通过这个问题的提出，引导学生由特殊到一般解决问题。再由推理论证得到结论。当学生证明了图1的情形后，让学生思考：图2、图3两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？实际上，实现转化的方法是连接BO并延长。教学过程中要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法。

第三环节 练习
活动内容：
1．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC= 。
A
B
C
O
变化题1：
如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=
变化题2：
如图，∠BAC=40°，则∠OBC=

2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
第2题图 A
B
C
D
O
第3题图

3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。

活动目的：
通过练习目的是使学生熟练地掌握圆周角与圆心角的关系。通过图形和条件的变化，让学生了解要找出圆周角与圆心角的关系，就必须找出它们所对的同一条弧。

第四环节 课堂小结
到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?

第五环节 布置作业
课后思考

如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？








目的：过渡下一节课圆周角定理的推论的学习。引起学生自己寻找结果的兴趣。

四、教学反思
把射门游戏问题抽象为数学问题，研究圆周角和圆心角的关系，研究圆周角和圆心角的关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度的，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进行思考。让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习的主要目标。


第三章 圆
3．圆周角和圆心角的关系（二）
广东省江门市新会华侨中学 李小玲

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在上一课时中，了解了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的几个推论，并利用这些解决一些简单问题。具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1． 掌握圆周角定理几个推论的内容。
2． 会熟练运用推论解决问题。
过程与方法
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。
情感态度与价值观
培养学生的探索精神和解决问题的能力
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。

三、教学过程分析
本节课分为五个教学环节：复习引入新课、新知学习、练习、课时小结、布置作业．

第一环节 复习引入新课
活动内容：
（一）复习
1．如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。若∠BOC=80°，∠BAC= 。
A
B
C
O
第1题图 A
B
C
O
第2题图
2．如图，点A，B，C都 在⊙O上，若∠ABO=65° ，则∠BCA=（ ）
B
A
E
C
D
O
A. 25° B. 32.5° C. 30° D. 45°

（二）引入新课
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
解决上一课时中遗留的问题：如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？
因为这三个角都对着AC弧，所以它们相等。

第二环节 新知学习
活动内容：
议一议
1．通过对上面问题的讨论，引导学生总结：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
提问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。

2．观察图②，BC是⊙O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
A
B
C
O
图②
B
C
A
O
图③


由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

活动目的：
通过互相交流讨论，总结规律。通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理。
实际教学效果：
在教学时注意
（1）“同弧”指“同一个圆”。
（2）“等弧”指“在同圆或等圆中”。
（3）“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”。

第三环节 练习
活动内容
（一）例题讲解
1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
A
B
C
D
O


2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。

3．船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？

活动目的：
这个定理的学习是比较容易理解。这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。为了进一步熟悉推论，安排三个例子。
例子1只要通过观察图形，学生就可以得到答案。完成这个例子还可以帮助正确理解这个定理。
例子2是一题推理论证题。由图形AB是⊙O的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接AD，由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。
例子3这是一个有实际背景的问题。解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证。
实际教学效果：
注意：用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。
（3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

（二）学生练习
1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
2．如图，哪个角与∠BAC相等？
A
B
C
D
第2题图 A
B
C
O
第3题图
3．如图。⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC的长。

第四环节 课时小结
1．要理解好圆周角定理的推论。
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。
4．圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等。

第五环节 布置作业
课本第108页 习题3.5 1、2

四、教学反思
本节充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质，尽可能地设计具有挑战性的情境，激发学生求知、探索的欲望。在得出本节结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法。如度量与证明、分类与转化，以及类比等。本节容量较大，教学时要控制好时间。

第三章 圆
4．确定圆的条件
广东省江门市新会一中 林锡均
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：通过本章前面几节课的学习，学生知道经过一点可以画无数条直线，经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能，掌握了“线段垂直平分线的性质”。
学生活动经验基础：在经过点画直线等知识的学习过程中，学生具备了一定的合作精神和探究能力，具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。

二、教学任务分析
本节课的内容是第一节内容的延续，学生已积累了画一个圆的经验。基于以上两点，提出本课的具体学习任务：①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆。②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标：认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性及结论的确定性。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。因此，本节课的教学目标是：
知识与技能
1． 了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
过程与方法
1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。
2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。
情感态度与价值观
形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
教学重点：确定圆的条件
教学难点：确定圆的条件

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备；情景引入；实践探究；合作学习练习提高；课堂小结；布置作业。

第一环节：课前准备
活动内容：布置学生在课前复习，回答如下的问题：
（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？
（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？
（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？
活动目的：通过问题（3），希望学生复习线段中垂线的尺规作法，为本课作圆作知识的铺垫。通过问题（1）（2）的复习回答，为本课的探索“经过三点能否确定一个圆”作一个探索策略上的铺垫，进一步培养了学生分类讨论的数学思想。
实际教学效果：在课始的提问中,学生对中垂线的尺规作法、经过一点可以画无数条直线、经过两点可以画一条直线的回答较好，但在回答“经过三点能否画直线”问题上出现分歧，部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”或“以上两种情况都有可能”等。通过对问题的争论、回答，达到了预期目标，培养了学生学会与人合作，能与他人交流思维的过程和结果。

第二环节：情景引入
活动内容：学生小组讨论如下问题：某地区一空地上新建了三个居住小区A、B、C。现要规划一间学校，使学校到三个小区的距离相等，你如何选取这所学校的地点？
活动目的：①通过问题的思考讨论，有承上启下的作用，而先要解决这三个小区是否在一直线上。②引起学生回想圆的定义，得出作圆的关键是定圆心、定半径。③借助实际问题情景，激发学生解决问题的兴趣，为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力。
实际教学效果：学生在一个宽松的气氛下展开对问题的探究：问题应分A、B、C三小区在同一直线上或不在同一直线上两种情况；问题即是找出一个同时经过A、B、C三点的圆。（自然引出课题）

第三环节：实践探究，解决问题
活动内容：参照教材提供的三个问题：
①、作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？
②、作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
③、作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的。你能作出几个这样的圆？为什么？
④、你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？
活动目的：以问题串的形式引导学生由易到难地开展探究活动、培养学生的探究精神，使学生体会在这一过程中所体现的归纳思想，从中探究出：
①不在同一直线上的三个点为什么只确定一个圆？
②这个圆如何用“尺规”作出？
③三角形外接圆，三角形的外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点难点，使学生掌握过三点作圆的方法。
实际教学效果：学生对问题①、②中有多少个符合条件的圆能很快地回答出来，但学生对问题①中“为什么”的回答未能抓住画圆的本质（定圆心、定半径）来回答；对问题③的探究用时比较长，重要原因是部分学生作了三条边的中垂线，对“为什么”的回答也未能抓住交点的唯一性及半径随着点的确定而确定进行回答。

第四环节：练习提高
活动内容：
（1）完成课本随堂练习；
（2）判断题：
①经过三点一定可以作圆。 （ ）
②任意一个三角形有且只有一个外接圆。 （ ）
③三角形的外心是三角形三边中线的交点。 （ ）
④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。 （ ）
(3)如图是一块残缺的圆形木盖，现要重新制作一块与原来一样大小的圆形木盖，你是如何制作的？





活动目的：
（1）随堂练习——巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实。另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响。
（2）通过判断④和练习（3）目的是加深学生对结论的理解和应用，培养学生“用数学”的意识。
实际教学效果:学生都能熟练完成随堂练习及判断题，收到了较好的教学效果。同时引导学生理解记忆判断④的结论，加深了对“三角形外心”的理解。但部分学生在完成练习（3）时遇到了困难，不会将问题转化成“找三角形外心——找出弧上三个点”的问题，说明这部分学生综合理解和运用知识能力还有待提高。

第五环节：课堂小结
活动内容：
1、学生小组交流本节课学习的体会及要掌握的知识和方法；
2、个人仍存在的问题；
3、师生共同完成如下的问题：
不在同一直线上的三点


（1）确定圆的条件——
圆心、半径

（2）锐角三角形 在三角形的内部
直角三角形 外心的位置 在斜边上
钝角三角形 在三角形的外部
而三角形的外心具有的特征是：到三个顶点的距离相等，因它是三边中垂线的交点。
活动目的：鼓励学生大胆发表自己的意见和收获感想，听取别人的发言，培养语言表达和与人交流的意识，达到情感和价值的目标。同时通过师生共同的小结，加深学生对所学知识的理解记忆。
实际教学效果：在短短几分钟的小结活动中，学生能畅所欲言，畅谈自己的收获和感受，比如有些同学谈到学会了找三角形的外心；考虑问题要全面；用数学知识可以解决一些实际问题；数学知识是环环相扣，紧密联系，每一知识点都要学好、理解好等。

第六环节：布置作业
1、 教材P111习题3.6
2、 预习下节课内容，搜集现实生活中的直线和圆的位置关系的现象。

四、教学反思
1、 要创造性地使用教材，领会教材中隐含的数学思想
（1）教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据需要进行适当的调整。本套教材采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，所以课前加入了一个实际背景的问题引出学习主题，这有助于展现数学与现实的联系，激发学生的探究热情，为本节课后面的探究活动提供动力。
（2）教材一开始是从经过一点、两点、三点画直线过渡到经过一点、两点、三点能作几个圆？这并不是一个可有可无的过程，它可以培养学生一种类比归纳的思维方法，对学生探究本课的问题有一个很好铺垫和引导作用。
2、 重视展现数学知识的形成和应用过程
经历知识的形成与应用过程，将有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心。因此本节课安排了几个学生的探究活动，通过探究后对“为什么”的回答，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性。这有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”过程，逐步发展学生的应用意识和推理能力。
3、 相信学生并为学生提供充分的探究和展示自己的机会
数学教学是数学活动的教学，向学生提供充分的从事数学活动的机会，可在活动中激发学习潜能，促使学生在探究和交流中理解和掌握数学知识、技能和思想方法，同时也有利于教师发现学生解决问题过程中存在的问题。以便更好地指导学生的学习和因材施教。
4、 注意改进的方面
（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做。
（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，焕起他们学习的积极性。
（3）线段中垂线的性质与找三角形的外心的相互关系有少数学生理解得还不是很透彻，今后在进行“线段中垂线”的教学时仍要加以改进。

第三章 圆
5．直线和圆的位置关系（一）
广东省江门市新会区创新初中 周 君

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经了解圆的相关概念，了解了圆中的一些数量与位置关系：如点和圆的位置关系不但可以直观呈现，也可以通过数量来刻画等。
学生的活动经验基础：学生在日常生活中已经有经验，对直线和圆的位置关系有一定的感性认识。

二、教学任务分析
本节共分2个课时。这是第1课时课时，主要研究直线和圆的的三种位置关系，探索圆的切线的性质。具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1．理解理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
过程与方法
1．培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩正唯物主义观点。
2．渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观点
情感态度与价值观
创设问题的情景，让学生主动地发展
教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定
教学难点：（1）理解“切线”定义中的：“唯一”;
（2）灵活准确应用相关性质解决问题

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：创设情景引入课题；直线与圆的位置关系量化揭密；探索切线的性质；例题讲解；练习；布置作业。

第一环节 创设情境引入课题
活动内容：
1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?

这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
2．观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?

这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
3．作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺
●O
●O
●O

（1）直线和圆有哪几种位置关系?
（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
活动目的：
建构主义教学论原则认为：复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和兴趣，只有这样，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能主动。这里用一个生活中的例子:生活中太阳东升西落这一自然现象引入，通过观察、动手操作、合作研究发现规律，抽象出直线与圆的三种位置关系，借助学生对日出情景的认知经验为下文的“直线与圆的位置关系”知识的认识与构建做准备。
实际教学效果：（以下是不同小组的学生的总结）
发言1：太在地平线下，刚好在地平线上，离开地平线三种关系。
发言2：我们如果把地平线看作是一条直线，把太阳看作是一个圆，那么就有三种情况，即直线穿过圆，直线贴着圆，直线离开圆。
发言3：我们可以把直线穿过圆称为相交，直线离开圆称为相离，而直线贴着圆我暂时还不能命名。
发言4：我们认为上面关系要在一个平面内。
综合上述几个同学的想法，我们可以这样命名：在同一平面内，直线与圆的位置有三种情况，相交、相切、相离。
第二环节 直线与圆的位置关系量化揭密
活动内容：
1．如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?
●O
●O
●O

你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
2．你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
活动目的：通过直观的图象，让学生总结出直线与圆的位置关系的量化表示，并寻找数学与生活的关系。
第三环节 探索切线的性质
活动内容：
1．下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?你能由此悟出点什么？
C
D
B
●O
A
●O
●O
●O

2．如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.
活动目的：设计1是为了在2中使用“对称性”证明作铺垫。
实际教学效果：
学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题。
第四环节 例题讲解
活动内容：
例1 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.
A
C
B
┐

(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
例2 直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围。
例3 一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?
活动目的：巩固所学
第五环节 练习
A
B
P
●O
活动内容：
1．已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?并证明你的结论.
2．由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论?如果有,仍请你予以证明.
第六环节 布置作业
课本P117:习题3.7 1

四、教学反思
新课程的任务是改变学生的学习方式，而学生学习方式的转变期待着教学模式的转变，教学模式的转变期待着又开始于教师角色的转变。新课程要求教师由传统的知识的传授者转变为学生的组织者。那如何有效的发挥教师的组织作用，我结合本课例做如下探讨说明：
1、关注生活，在生活中发现课程资源。在日常生活中，很多事情我们往往觉得司空见惯，没引起注意，而用新课程的观点看它们大都是可以用来开发的课程资源。只要寻找好、选择好、用好就可能是一个不错的学习素材。在本课例选用了大家熟悉的日出这一自然现象作为课程资源，为学生提供了丰富的学习素材，为直线与圆的位置关系教学提供了生活上的经验支持。让学生感受到了数学源于生活，高于生活，用于生活，体会到了数学的价值，是一次成功的选择。所以，教师要组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，那就要让我们在教学中做个“有心人”。
2、感受数学美，激发学习动机。数学是美的。在数学教学中我们要尽量的让学生体验到数学的美感，以激发学生学数学的动机，培养兴趣，充分的调动学生的学习数学的积极性。在本课例中，教师利用现实生活中日出这一景观，让学生在享受美的情境中，在充分的想象中，从生活中抽象出直线与圆的位置关系，并让学生体验到数学的简洁美，体验到数学符号便于研究事物的价值，从而激发学生探求世界奥秘的兴趣，提高积极性。
3．营造良好的教学氛围。实践证明，对教师来说，是否能够为学生创造宽松、和谐、民主的成长环境，比自身的学识是否渊博更为重要。只有在一个平等、尊重、信任、理解和宽容的教学氛围里面，学生才会各抒己见，才会主动参与学习，才会有探索的热情和胆量。本课例中教师不放过任何一个鼓励学生的机会，从对日出情景的语言描绘和图画描绘的肯定，到对同学的表扬，再到对小组代表发言时的即时鼓励和启发，以及对那个没参加到讨论中去的学生的关心都体现了教师旨在要创造一个积极、安全的心理氛围，以利于学生活跃思维，提高热情，积极探索的教学理念。
4、提供合作交流的空间和时间。有人说，有没有体现新课程的思想就看学生有没有合作。此话大体上应该说是对的。教师作为学生活动的组织者任务之一就是为学生提供合作交流的机会。在这课例中教师引导学生进行小组讨论，充分的提供给了学生组内的交流空间，在代表发言后其他同学补充则提供给了学生全班级交流的空间。而让学生小组讨论并推选出一位代表，用时较多，则是给学生自主学习，互相交流提供了充足的时间。合作交流的空间和时间是重要的学习资源，在教学中我们不容忽视。
在新课程的理念下，教师应该是一个决策者、创造者，而不再是教学大纲和教材的忠实的贯彻执行者。在这种环境下，教师需要创造出班级气氛，创设和营造丰富多彩的学习环境，设计各种教学活动。教师在以平等的身份参与学生探究活动的同时，又要成为学生学习的指导者和组织者。本课例体现了以上的理念，但相信可以做的更好
五、教学反思以及需要改进的地方
教师的行为直接影响着学生的学习方式，要让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法，探索规律，指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题。
教师需要创造出更多的班级气氛，创设和营造丰富多彩的学习环境，设计各种教学活动。教师在以平等的身份参与学生探究活动的同时，要大胆放手，勇于发挥学生的主体能动性，而教师自己又要成为学生学习的指导者和组织者。使学生的学习兴趣更能得到充分的体现！
第三章 圆
5．直线和圆的位置关系（二）
广东省江门市新会区会城创新初级中学 周君 李惠兰 于彩莺

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：之前的课程学生已经学习了与圆有关的概念，如半径、圆周角、圆心角等，学习了圆的性质，学习了直线和圆的三种位置关系，这里将进一步讨论其中的一种情况：相切。
学生的活动经验基础：进入初三下学期的学生在观察、操作、猜想能力较强，但逻辑推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。学生思维活跃，能跟上教师的思路，并用完整的话回答老师的提问;但学生课堂回答问题的气氛不是那么浓厚，学习不具有自觉性，需要教师设计好教学环节，并给予充分的关注和指导．

二、教学任务分析
本节课的内容是北师大九年级初中下册数学第三章《圆》第五节《直线和圆的位置关系》第二课时（P118-P121）。具体的教学目标为：
知识与技能
（1）能判定一条直线是否为圆的切线．
（2）会过圆上一点画圆的切线．
（3）会作三角形的内切圆．
过程与方法
（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
（2）会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
情感态度与价值观
（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点：
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：引入新课、新课讲解、课堂练习、课时小结、布置作业。

第一环节 引入新课
上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．

第二环节 新课讲解
活动内容：1．探索切线的判定条件
2．做一做
3．如何作三角形的内切圆
4．补充例题讲解

1．探索切线的判定条件
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，

(1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?
实际教学效果：
在教学中，教师可以引导学生，画一个圆并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
以下是实际教学中，学生得到的结论：
生1：如上图，直线l1与AB的夹角为α,点O到l的距离为d1，d1 生2：当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．
生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．

2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可．

如右图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．

3．如何作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如右上图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．
∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上．∵ID＝IN，∵ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的，所以I到△ABC三边的距离相．等

因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．

4．（补充）例题讲解
如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB．

求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°．
由三角形内角和可证∠TAB=90°，即AT⊥AB．
证明：∵AB=AT，∠ABT＝45°．
∴∠ATB＝∠ABT＝45°．
∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．

第三环节 课堂练习
随堂练习
1． 以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?
2． 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?

第四环节 课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．

第五环节 课后作业
必做： P120习题3.8 1,2题
选做：
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD． 求证：DC是⊙O的切线．



四、教学反思
1、运用课件创设最佳情境
在课堂教学中营造一个宽松，和谐，民主的良好氛围。使师生，生生关系没有距离感，畏惧感，大家都无拘无束，学生才会全身心地投入到学习活动中。同时通过课件的演示，达到吸引学生的注意力、激发学生学习兴趣，减轻心理压力的目的。
2、教给学法，实现自主合作学习
自主发展，主要考虑学生的内在因素，新《数学课程标准（实验稿）》在前言部分--基本理念中有这样一句话：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。从这句话我们可以看出，新课程标准不是对传统教学的完全摈弃，而是对传统教学中比较忽视的部分进行补充。比如模仿与记忆在我们的传统数学教学中比较注重，而今新课程标准中它仍旧是有效的数学学习活动，只是有动手实践、自主探索与合作交流等数学学习活动加以补充。因此在本节课教学中，坚持以学生为主，把课堂还给学生，让学生自主选学，自由组合，运用学法，合作探究，自主选择题目练习和表达方式。充分发挥学生自身的积极性，能动性，创造性，通过灵活运用多种教学策略，培养学生逻辑推理能力，突破本节课的重难点。
课堂教学问题的设计，是教师传授知识与了解学生掌握知识程度的重要途径，是能否调动学生学习兴趣的重要手段，本节课我觉得自己所设计的问题在把握在新旧知识的衔接点上，在围绕教学内容的重难点上，从学生学习效果上看，似乎并不是那么完满。

附：
评 价 表

评 价 内 容
掌 握 情 况
优
良
中
差
1、本节课你对知识要点掌握得如何？




2、你在课堂中的表现怎样？




3、你觉得本节课的课堂气氛怎样？




4、老师与学生之间的互动效果好吗？




5、同学之间的互相合作情况怎样？





第三章 圆
6．圆和圆的位置关系
广东省江门市新会一中 文忠息

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：在学习本章之前，学生已经通过图形变换和推理证明等方式认识了许多图形的性质。在本章前面几节课中，学生学习了圆的有关概念，对圆的相关知识有所了解，并通过运用图形运动的方法研究了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，初步理解了相切、相交和相离的概念，同时具备了作图和图形平移的基本技能。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事数学探究活动所必须的一些的经验；在以前的数学学习中学生已经经历了很多自主探索和合作学习的过程，具备了一定的动手操作能力、观察能力和收集资料的能力，具备了一定的归纳表达能力和推理论证能力，具备了一定的合作和互助的意识。

二、教学任务分析
由于新课程标准降低了对圆这一章的教学要求，教科书提出了本课的具体学习任务：了解圆和圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系。本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系。重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系。通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
了解圆和圆之间的几种位置关系，了解两圆相切时图形的轴对称性，理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。
过程与方法
经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力。通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力。
情感态度与价值观
通过探索圆和圆的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维能力，体验数学活动的探索精神，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。
教学难点：理解两圆位置与两圆圆心距、半径的联系。

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：课前准备、情境引入、实验探索、归纳总结、知识应用、课堂小结、布置作业。

第一环节 课前准备
活动内容：（提前两天布置）
（1）观察生活中有关圆和圆位置关系的事例。
（2）收集生活中有关圆和圆位置关系的图案。
（3）在两张半透明白纸上分别画好大小不等的两个圆。
活动目的：通过前两个活动，希望学生能从生活中获取尽可能多的有关圆和圆位置关系的图案，体会圆在社会生活中的实际应用，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及理论联系实际的意识。通过课前准备活动，让学生进行观察和收集活动，使学生提前进入课题学习角色，让学生在活动中感受圆在日常生活中有着广泛应用。此外，这两个活动所收集的各种图案为后面分析圆和圆的各种位置关系提供了极好的素材，在课堂中使用源于学生收集到的生活中的实例展开教学，会拉近知识与现实的距离，从而激发学生学习的积极性与主动性。第三个活动则是直接为课堂上探索两圆的位置关系做好准备。
实际教学效果：学生搜集的图案和实例各式各样，涉及图标（如奥迪汽车标志，奥运会标志）、机械（如齿轮，钟表，自行车前后轮）、天文现象（如日食，月食）、城市景观等等；来源方式也是多种多样，有的查阅报纸杂志，有的上网调查，有的在学校内观察，有的走向街头，还有的向家长了解。这些都充分展现了学生走进生活感受数学的热情。
附部分学生收集的图案：


第二环节 情境引入
活动内容：选派代表展示自己课前所收集到的图案（可以是照片、资料、还可以是实物或模型），并尝试说明所提供的图案中圆和圆的位置关系。
活动目的：使学生感受到圆和圆的位置关系在现实生活中普遍存在，为后面进一步探讨问题奠定基础。培养学生的读图能力，并通过亲身体验圆和圆的位置关系在现实生活中的实际意义。而且由此引出：圆和圆究竟有哪几种位置关系呢？这就是本节课要来研究的问题（引出课题）。
实际教学效果：这个环节有意为学生创造一个平台来展示、讲解亲自搜集到的生活中的图案，亲身经历了感受生活的过程。学生通过自己的劳动，得到展现劳动成果的机会，自然就获得成就感。在展示讲解过程中其他的学生可以适当补充，因此，基本上能将几种位置关系包括在内。其他的学生也能从中获取信息，通过这样的活动让学生经历一个自然感知的过程，学生基本上都能区分圆和圆的几种位置关系，这就为下一环节的实验探索打好基础。在这一环节中还能反映出学生善于观察事物，善于分析问题的良好品质,而这种品质正需要学生在自觉行为中逐渐培养起来。

第三环节 实验探索
活动内容：利用平移实验探索圆和圆的位置关系和探索两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系。
实验：请你分别在两张透明或半透明的纸上作半径不等的圆，将两张纸叠在一起， 固定其中一张，平移另一张。观察两圆总共有哪几种位置关系。
让学生动手操作，探索圆和圆的位置关系。总结出不同的位置关系，然后四人小组互相交流。
探索：（1）你能分别构造出圆和圆的几种位置关系吗？（抽学生到黑板上拼图）。
（2）当圆和圆相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？
（3）当两圆相切（内、外切）时，图形是轴对称图形吗？你能在课本上P123的两个图中分别画出对称轴吗？对称轴是连心线吗？
（4）探讨两圆位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。
设两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d。当两圆外离、外切、相交、内切和内含时，d与R和r之间具有怎样的数量关系？反之，当d与R和r之间满足一定的数量关系时，我们能判定两圆之间的位置关系吗？
活动目的：通过实验，使学生能够直观发现圆和圆的位置关系并能初步探索两圆位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。此处要留给学生充分的时间去动手操作，然后逐条思考并验证相关结论。从而培养学生对问题作出正确判断的能力。使学生经历“猜想——实验——判定——论证”的活动过程，深刻感受到知识的形成过程。
实际教学效果：教师鼓励学生先作猜想，再进行实验验证，最后尝试从理论上进行论证。对于问题（3）中的“对称轴是连心线吗”，绝大多数学生通过作图可以得出正确的结论，但个别学生会进一步试图从理论上加以证明。对此，教师可以适当提示学生利用反证法证明，其余不必过多展开。学生经过这个环节的实验探索对两圆位置关系有了全面的认识，通过对上述问题的探索验证和最终回答，学生的思维由感性认识进一步上升到理性认识的高度。这些结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，对学生的印象会更加深刻。

第四环节 归纳总结
活动内容：总结实验结果，归纳出圆和圆的五种位置关系及两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间的联系。
（1）在刚才的实验中，你发现了几种位置关系？（提问学生，并在黑板上记录学生的回答）。
（2）从公共点的个数，我们又可以将圆和圆的位置关系划分为几类？（相离、相切、相交）。
（3）究竟如何进一步区分外离和内含，外切和内切呢？（从一个圆的点是在另一个圆的外部还是内部）
（4）两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间有什么联系？
活动目的：通过思考、讨论，让学生理解圆和圆的五种位置关系的不同分类，从而建立与点和圆、直线和圆的位置关系的联系。这里同样以问题串的形式引导学生逐步深入的思考。这些问题的设置主要是帮助学生进行归纳总结。
实际教学效果： 对于问题（1）（2），学生并不难回答，对于问题（3），很多学生能够区分判断，但表达不够清楚，教师要做好适当的引导和启发，要求不能太苛刻。对于问题（4），教师可以结合之前让学生在黑板上的拼图进行分析，帮助学生建立数形结合的联系，在利用数量关系说明位置关系时，部分学生容易混淆，教师可以抓住内切、外切两种关键位置作为分界。

第五环节 知识应用
活动内容：讲解课本例题和完成课本练习
（1）例题：（投影）两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O，是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小.
O
O，
Q
P
N
T
（剖面图在幻灯片上画出）。
（2）课堂练习：
①已知两圆半径分别是1，2，圆心距是，那么两圆有什么样的位置关系？
②课本P125 练习
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
实际教学效果：加深学生对两圆的位置关系与两圆半径和圆心距的数量关系之间联系的理解。学生基本都能应用所学的知识进行分析和解决相应的问题，收到了较好的教学效果。

第六环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结（帮助学生回顾本节课学习的内容）。
1、探索了圆和圆的位置关系；
2、讨论了两圆所成图形的轴对称性和对称轴，以及相切时切点与对称轴（连心线）的位置关系；
3、探讨了圆和圆的位置关系与圆心距和半径之间的联系。
O3
O2
O1
O
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习（包括实验探索活动）及课前的准备，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。

第七环节 布置作业
1．课本P127习题3.9
2．补充练习：（投影）已知：图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.
3．课本P128试一试

四、教学反思
在归纳圆和圆的五种位置关系时，学生很容易得到结论，但从数量关系上判定两圆位置关系时则显得比较抽象。教师应给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使探究学习更具实效性。
充分开发和利用现实生活中的教学素材，尽可能地设计具有挑战性的情境或活动，有效激发学生的求知和探索的欲望。在教学中还要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验。在教学中还要鼓励学生动手、动脑和动口，使学生在学习活动中获得成功。
在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程，看学生是否能积极在投入到数学活动中去，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验。
第三章 圆
7．弧长及扇形的面积
广东省江门市新会华侨中学 林丽欢

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：在小学里学生已经掌握了圆的周长、面积的计算，在本书这一章中学生学习了圆的有关性质，这是学习的继续。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
本节课的内容为弧长及扇形的面积，选自北师大九年级数学下册第三章《圆》第七小节的内容，要求学生利用圆的有关性质进行探索推导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算。在教学中，教师不急于给出学生公式，而要引导学生自己根据已有的知识推导公式或者采用小组合作的形式解决。这样既能使学生有成就感，又能培养他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比较容易了。具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。
过程与方法
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；
2．了解弧长和扇形面积公式后，能运用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。
情感态度与价值观
1．经历探索弧长和扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。
3. 进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型,建立数学模型的能力,综合运用所学知识的分析问题和解决问题的能力.

教学重点：经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程；了解弧长和扇形面积计算公式；
教学难点：会运用公式解决问题。

三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：创设情境引入新课；讲授新课；练习；课时小结、布置作业

第一环节 创设情境，引入新课
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小里已经学过了有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？让我们来探索吧。

第二环节 新课讲授
活动内容：
（一）复习圆的周长与面积公式
我们上体育课掷铅球练习时,要在指定的圆圈内进行,这个圆的直径是2.135m。这个圆的周长与面积是多少？
（二）复习圆心角的概念
（三）想一想
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米?
(3)转动轮转no,传送带上的物品A被传送多少厘米?
（四）议一议：
（1）已知⊙O的半径为R，1o的圆心角所对的弧长是多少？
（2）no的圆心角所对的弧长是多少？
根据上面的计算，你能想到解决的方法了吗？请大家互相交流。
总结出计算弧长的公式：
若⊙O的半径为R， no的圆心角所对的弧长l是
（五）开心练一练：
（1）1o的弧长是 。半径为10厘米的圆中，60o的圆心角所对的弧长是
O
（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ ）
D
C
（A）1∶1 （B）1∶2
B
A
（C）2∶1 （D）1∶4
（六）例题讲解
例1. 制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长度（精确到0.1mm）
A
B
110o
R=40mm

例2 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）若这只狗只能绕柱子转过no的角，那么它的最大活动区域有多大？这个活动区域是一个什么图形呢?
解 （1）如图①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
（2）如图②，这只狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360o的圆心角对应的圆面积是πR2，1o的圆心角对应圆面积的，即，no的圆心角对应圆面积为
no
n
O


图②
（七）总结扇形面积公式（若⊙O的半径为R，圆的面积是πR2）
1o圆心角所对的扇形的面积是，no圆心角所对的扇形的面积是
（八）弧长公式与扇形的面积公式之间的联系：
弧长和扇形的面积都和圆心角n，半径R有关系，因此l 和s之间也有一定的关系，你能猜出来吗？请大家互相交流。
扇形所对的弧长，扇形的面积是

（九）扇形的面积是应用：
例:已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)


第三环节 练习
活动内容：
（一）开心做一做：
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长= ，扇形面积= .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形的圆心角为 .
3. 已知扇形的圆心角为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ ）
A. 3π B.4π C.5π D.6π

（二）随堂练习：P134

第四环节 课时小结：
1． 知识点：弧长、扇形面积的计算公式
2． 能力：弧长、扇形面积的计算公式的记忆法，及它们之间的关系，并能已知一方求另一方。

第五环节 课后作业：
1．习题3.10
O
A
B
C
2．活动与探究：如图，在半径为1的圆中，有一弦长AB=的扇形，求此扇形的周长及面积。

四、教学反思
这一课后我意识到自己在教学的道路上要学的太多了，深深的感到：要想上一堂好课，不仅需要教师的教学热情，更需要教师有引导学生自主参与学习活动的教学技巧，在师生的共同努力下，才能使数学教学成为真正的数学活动的教学。
(一)、这节课中，我主要在以下几个方面做了努力
1、创设情境，激发学生兴趣。
利用学生熟悉的“投掷铅球”创设情境，这样就拉近了抽象的数学问题和实际生活的距离，使数学回归生活，在整个教学活动中，从新课的引入到探索公式都是从学生的生活实际选择学习材料。这些素材，体现了学习内容的趣味性，调动了学生原有的生活经验，使学生觉得生活就在自己身边，利用数学本身的魅力来吸引学生，让学生在生活中体验数学，同时培养了学生的动脑、动口、观察、交流、总结等能力。
2、学生的“自主探究活动”贯穿整节课。
我以“交流探索法”贯穿整节课，让学生自己获得新知，加深学生对所学内容的理解。让学生在探索中体验，在体验中领悟，由生活中实例，到抽象的几何图形，自然过度、水到渠成。
3、小组合作学习。
小组合作学习的实践活动让学生自然的成了学习的主人，有效地提高了主动探索、解决问题的能力。而在让他们分组讨论的时候，绝大部分的同学呈现出积极的主动性，教师在适当的时候给予了他们的肯定和鼓励。
4、教师对学生的评介。
在探讨弧长、扇形面积的关系时有学生发现了扇形面积公式与三角形的面积公式之间的相似性，教师在此大大表扬了该同学，同时指出当新知与旧知出现相似性时应要注意产生联想。
(二)、不足之处：
在分组探索的时候，时间把握不够好，教师忽略了学生存在着个别差异，各组学生的已有学习经验和能力是不同的，这时教师应综合各组解决问题的程度，适时进行调控，然后在反馈环节中让学生进行交流也能达到预期的效果。
(三)、今后努力的方向：
1、教师一定要起到引导者的作用，《新课程标准》指出：数学教学注重“引导”学生动手实践，自主探究，合作交流。如，在提问长方形和正方形异同点时，不让他们马上起来回答，因为在这么仓促的时间内作答，学生的回答十有八九是零碎而不完整的，而引导小组进行讨论，共同分析，找出长方形与正方形的异同，让学生考虑周全些，语言组织精炼些，这时再做出回答，肯定会很精彩。
2、教师在指导，引导，协助学生学习数学时，要善于调配学生活动的步伐，要善于调控数学活动的时间。对每个环节所用的时间要心中有数，这样，才能使自己的设计发挥更大的作用。
3、教师要善于使用激励性语言，鼓励那些参与程度不高，操作速度慢的学生，使自己的教学面向全体。



们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m。这个周长与面积是多少呢？


第三章 圆
8．圆锥的侧面积
广东省江门市新会区华侨中学 肖庆平

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：在上一节中，学生已经学习了弧长及扇形的面积，能够运用学过的公式和知识去解决一些问题，为学习圆锥的侧面积做好了铺垫。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索活动，解决了一些简单的现实问题，获得了从事数学探究活动所必须的一些的经验；在以前的数学学习中学生已经经历了很多自主探索和合作学习的过程，具备了一定的动手操作能力、观察能力和收集资料的能力，具备了一定的归纳表达能力和推理论证能力，具备了一定的合作和互助的意识。

二、教学任务分析
本节课的内容是圆锥的侧面积，选自于九年级下册《数学》新课标之第三章第八小节的内容。
本小节先让学生观察圆锥形物件，再想象圆锥的侧面展开图，最后经过自己动手实践得出结论这一系列活动，可以培养学生的空间想象能力、动手操作能力，、归纳总结能力，使他们的手、脑、口并用，帮助他们有意识地积累活动经验，使他们获得成功的体验。
对于学生的观察、操作、推理、归纳等活动，老师需进行鼓励性的评价，使他们能提高学习数学的信心和决心。
本节课具体的教学目标为：
知识与技能
1． 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程。
2． 了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题。
过程与方法
1． 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力。
2． 了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力。
情感态度与价值观
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验。
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际。
教学重点
1． 经历探索圆锥侧面积计算公式的过程。
2． 了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决实际问题。
教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备、创设问题情境引入新课、讲授新课、例题讲解、、课堂小结、布置作业。

第一环节 课前准备
活动内容
上课前布置学生动手做两个圆锥。

第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容
上课时让学生回忆自己做圆锥的过程。先做一个扇形去围成圆锥的侧面，再剪一个底面大小的圆做圆锥的底面的方法，再让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，然后再思考，圆锥的曲面展开图在平面上是怎么样的图形，最后经过学生自己动手实践得出结论，引入新课。
展示圆锥形物体的课件，通过寻找现实中圆锥形物体的实例来引入新课。并提出学习它的什么？有何用途？

第三环节 讲授新课
活动内容
（一）、探索圆锥的侧面展开图的的形状
通过学生的观察想象并动手操作，回忆制作圆锥的过程展开讨论，最后老师点评得出圆锥的侧面展开图的形状是一个半径等于母线长，弧长等于底面圆周长的扇形。（第二张幻灯片有动画演示）
老师介绍圆锥的母线、圆锥的高和底面圆半径等概念，并根据上节课的扇形面积公式就可求出圆锥的侧面积，应需要学生理解圆锥侧面积公式的由来，不必死记。
（二）、探索圆锥的侧面积公式
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长，根据扇形的面积公式可求圆锥的侧面积为

圆锥的侧面积与底面积之和为圆锥的全面积。

（三）、利用圆锥的侧面积公式进行计算
理解概念
例1 、已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为____
例2、用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为_____


第四环节 例题讲解
活动内容
（一）数学与生活
例：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm）
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积。现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，因而可得出扇形的弧长，再根据勾股定理求出母线长，代入计算公式中即可。
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm， 则





所以，至少需要12777.4平方厘米的纸

（二）数学与生产实际
例： 如图：一个圆锥形烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，要加工这样一个烟囱帽，需要多少铁皮？工匠师傅怎样从一个圆形铁皮中将其剪下来？
分析：从实际问题出发，怎样剪下需要的铁皮，在半径确定的情况下，要确定圆心角。因此需求侧面展开图中扇形的圆心角。
解:侧面积S侧=

设扇形的圆心角为n°， 则
即： ∴n=288

∴从圆形铁皮上剪下一个圆心角为288度的扇形即可

（三）课外延伸
例:如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？
分析：小猫所经过的路程最短，应该求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度。
j
A
6
P
C
B
O

P
C
B
A

：设圆锥底面半径为r ，母线为l，展开后圆心角度数为n°，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为 ，所以

∵轴截面△ABC为等边三角形∴AB=BC 即



即其侧面积展开图为半圆
则△ABP为直角三角形，BP为最短路线
在Rt△ABP中，BP=
答：小猫所经过的最短路程为

第五环节 课堂小结
圆锥的侧面展开图是一个扇形
若圆锥母线为l ，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，

圆锥的基本特征是：
①圆锥的高通过底面的圆心，并且垂直于底面
②圆锥的母线长都相等
③经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形
④圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周长的扇形。

第六环节 布置作业
1．课本P138 习题3.11
2．想一想，试一试：
有一个直角边分别为15和20的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你能分别求出其全面积吗？

四、教学反思
这节课比较成功的地方是培养了学生的动手操作能力，同时开发了学生学数学、用数学的思维。让他们知道数学来源于生产和生活中，特别是几个例题的选材较好。今后我觉得在这方面要多下一点功夫，备课时要作好充分准备，这样的课堂才是有声有色的，才会与生活更贴近些，学生的学习也就会更有兴趣。
这节教材我觉得课本制作纸帽的例题计算较复杂，又要用到勾股定理，数据比较大，因而会影响一点教学进度，也会转移学生的注意力，建议把本例题的数据适当作一点修改也许会更好一些。另外幻灯片的动画效果不好，自己在这方面要多加学习。

本章测试题一
班别： 姓名： 学号： 成绩：
O
B
A
D
C
M
一、填空题：（每小题3分共15分）
1、已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在 ；
2、如图，AB是⊙O的一条弦，作直线CD，使CD⊥AB，垂足为M，
则图中相等关系有： （写出一个结论）
3、如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A平移
的距离为 cm。
4、如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的 长是

5、边长为6的等边三角形的外接圆半径为
A
B
C
O
二、选择题：（每小题3分共15分）
6、已知O为△ABC的外心，∠A＝60°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30º B．60º C．90º D．120º
7、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3，则⊙O1和
⊙O2的位置关系是（ ）
A、 外离 B、外切 C、相交 D、内切
8、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（ ）
A
P
O
B
A． B． C． D．
9、已知 PA、PB 是⊙O 的切线，A、B为切点，AC
是⊙O 的直径，∠ P = 40°，则∠ BAC 的大小是（ ）
A 70° B 40° C 50° D 20°
10、半径为1的⊙O中，120º的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． 　C． D．
A
O
三、解答题：（每小题7分共14分）
11、经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点





12、已知甲、乙、丙三条村计划修建一个贮物库，使三条村到贮物库的距离一样，请你帮这三条村设计贮物库的具体位置
丙
乙
甲






四、解答题：（每小题8分共24分）
13、如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD ＝ 4米，
求拱桥所在圆的半径












14、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，
C
B
A
O
直线AB是⊙O的切线的吗？为什么？











15、如图，AD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且AD平分∠BAC，试判定AB与AC的关系，并证明你的结论
O
C
B
A
D











五、解答题：（每小题8分共32分）
16、如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AF，BF和AD交于E，AE与BE有什么关系，说一说你的理由。
D
C
B
A
O
F
E


















17、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
O
D
C
B
A
求证：AC平分∠DAB



















18、以等腰△ABC的腰AB为直径的⊙O交底边BC于D，DE⊥AC于E，DE是⊙O的切线吗？为什么？

D
C
B
A
O
E













19、已知AC切⊙O于A，CB顺次交于⊙O于D，B点，AC=6，BD=5，连接AD，AB。
（1）证明△CAD∽△CBA；
B
O
A
C
D
（2）求线段DC的长。
























第三章《圆》测试题（B卷）答案提示
1、 圆外
2、 AM=BM
3、 20π
4、 8
5、 2
6、 D
7、 D
8、 C
9、 D
10、B
11、略
12、略
13、提示：6.5米
14、提示：证出⊿OAC≌⊿OBC得∠OCA=∠OCB=90°
15、提示：作AB、AC的弦心距OE、OF，证出OE=OF即可
16、提示：延长AD交⊙O于H证出弧AB=弧AF=弧BH可得∠ABE=∠BAE ，则AE=BE
17、提示：连接BC，则得∠DCA=∠B ∠BCA=∠ADC=90°则得AC平分∠DAB
18、提示：连接OD，利用∠B=∠ODB=∠C可证OD∥AC则证出OD⊥DE即可
19、提示：（1）证出∠CAD=∠B即可
（2）设CD=x 利用⊿OAC∽⊿OBC得CA2=CD.CB
则x2=（x+5）=36解得CD=4
本章测试题二
出题者：江门市新会区创新初级中学 —— 周君 、 李仕卓

一、填空题 (每小题4分, 共24分)
1．与已知点A的距离为3 cm的点所组成的平面图形是 ．
2.⊙O的直径是8 cm，P为⊙O内一点，PO=2 cm，过点P最短的弦AB= ,
3.已知AB是⊙O直径，D是圆上任意一点
(不与A、B重合)，连结BD，并延长到C，使DC=DB,
连结AC, 则△ABC的形状是 三角形.
4. 一条弦把圆分为2：3的两部分，那么这条弦所对的 A
圆周角的度数为 . C
5.如图,CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果
∠CAB=55°，那么∠AOB= .
6.己知⊙O1与⊙O2外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与⊙O1、
⊙O2 都相切的圆一共可以作出 个．

二、选择题 (每题3分, 共15分)
7. 下列命题中正确的是 ( )
A．三点确定一个圆 B．在同圆中，同弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直线垂直于弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
8. 如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角
∠ACB的度数是 ( )
A．80° B．100°
C．120° D．130° C
9. 下列图形中, 既是轴对称又是中心对称的图形是 ( )
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．等边三角形 D． 圆
10. 如图，⊙O1与⊙O2是两枚同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周
围滚动，两枚硬币总是保持有一点相接触(相外切)．当滚动的硬币沿固
定的硬币周围滚动一圈，回到原来位置时, 滚动
的那个硬币自转的周数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
11. 小明想用一个圆心角为120°，半径为6 cm的扇形做一个圆锥的侧面
(接缝忽略不计)，则做成的圆锥底面半径为 ( )
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm

三、解答题 (每小题7分, 共21分)
12. 请阅读下列证明过程，并回答所提出的问题．
如图，已知P为⊙O外一点。A和B是切点，BC为直径．
求证：AC∥OP．
证明：连结AB,交DP于点D．
∵ PA、PB切⊙O于A、B． P
∴ PA=PB．∠1=∠2．
∴ PD⊥AB , ∠3=90°
∵ (*)
∴ ∠4=90° , ∠3=∠4．
∴ AC∥OP
(1)在(*)处的横线上补充条件．
(2)试写出上述证明过程中用到的定理名称或定理的具体内容(只要
求写出两个)．
① ;
② .
13. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB=DC，△ABC与△DCB
全等吗?为什么?













14. 李明同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明了图案的含义，如图所示．现请你用最基本的几何图形(如直线、线段、角、三角形、多边形、圆、圆弧等)中若干个，在图3—21的方框中为“环保专栏”设计一个报头图案，并简要说明图案的含义．










四、解答题 (每题8分, 共40分)
15. 如图, 己知AB是⊙O的弦, 半径OA=20cm,∠AOB=120°.
求:△AOB的面积.










16. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，
∠CAE=∠B，你认为AE与⊙O相切吗?为什么?













17. 已知：如图，在中，AB是⊙O的直径，CD是弦，延长AB，CD相交于点P，且AB=2DP，∠P=18°，求∠AOC的度数．







18.如图，点c在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB=10，tan∠BAC=，
求阴影部分的面积．



A B





19. 南海中某一小岛上有一灯塔A，已知塔A附近方圆25海里范围内有暗礁，我海军110舰在0处测得A塔在其北偏西60°方向上，向正西航行20海里到
达B处，测得A塔在其西北方向45°，如果该舰继续向西航行是否有触礁的
危险?( =1．732_)





试题答案
一、填空题 (每小题4分, 共24分)
1. 圆 2. 4 3. 等腰 4. 72°或108° 5. 110° 6. 4

二、选择题 (每题3分, 共15分)
7 .B 8. D 9. D 10. B 11. C

三、解答题 (每小题7分, 共21分)
12. BC是⊙O的直径 ①直径所对的圆周角是直角 ②内错角相等, 两直线平行.
13.△ABC≌△DCB 证明: ∵AB=CD ∴=
∵+= 即: =
∴ AC=BD
在.△ABC和△DCB 中
∵AB= DC AC=BD BC=BC
∴.△ABC≌△DCB
14. 作图略
四、解答题 (每题8分, 共40分)
15. 过O作OC⊥AB于C 16. AE与⊙O相切
∴AC=BC=AB ∵AB是⊙O的直径
∵OA=OB ∴∠ACB=90°
∴∠AOB=∠BOC=∠AOB=60° ∴∠CAB+∠B=90°
∴∠A=30° ∵∠CAE=∠B，
∴OC=OA=10 ∴∠CAB+∠CAE=90°
∴AC= ∴∠EAB=90° OA是⊙O的半径
∴AB=2CA=20 ∴AE与⊙O相切
∴S△AOB=AB×OC=100cm2
17. 解: 连结OD ∵OD=AB 18. 解: ∵AB是直径
∴AB=2OD= 2DP ∴∠C=90°
∴OD=DP ∵tan∠BAC=
∴∠DOP=∠P=18° ∴
∵∠CDO=∠DOP+∠P=36° 设BC=3x, 则AC=4x
∵OC=OD ∵
∴∠DCO=∠CDO=36° ∴16x2+9x2 =100
∴∠AOC=∠DCO+∠CDO=72° ∴x=2
∴BC=6 AC=8
∴S阴 =S⊙-S△ABC
=


19. 解: 过A作AD⊥OB于D, 设AD=x海里
在Rt△ADB中 在Rt△AOD中
∵tan∠ABD= tan45°= ∵tan∠AOD= tan30°=
解得 BD=x =
∴OD=OB+BD=20+x 解得 x=
∵AD=27.32>25
∴该舰继续向西航行不会有触礁的危险.



本章检测题
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题：（每小题4分，共20分）
1.⊙O的直径是15㎝，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（ ）
A．24㎝ B．12㎝ C．6㎝ D．3㎝
2.⊙O的直径是3，直线与⊙O相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足（ ）
A．d>3 B．1.5 3.已知两圆的半径分别为R，r（R>r），圆心距为d,且R2+d2-r2=2Rd,则这两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相切C．相交D．相离
4.若直径为4㎝，6㎝的两个圆相外切，那么与这两个圆都相切且半径为5㎝的圆的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5.圆内接正方形与该圆的内接正六边形的周长比为（ ）
A．2：3 B．： C．：2 D．2：3
二、填空题：（每小题4分，共20分）
6.过⊙O内一点P的最长的弦是10㎝，最短的弦是8㎝，则OP和长为 ㎝。
A
B

C

D

E

第7题

7.如图弦AC，BD相交于E，并且,∠BEC=110°,则∠ACD的度数是 。
8.若三角形的周长为P，面积为S，其内切圆的半径为r,则r：S= 。
9.已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2㎝为半径作⊙M与OA相切，切点为N，则△MON的面积为 。
10.如图图②
图③
图①
①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为的圆得到图②，挖去22个半径为（）2的圆得到图③……，则第n(n>1)个图形阴影部分的面积是 。



……



三、解答题：（每小题8分，共40分）
A
F
B
E
C
D
O
·
11.如图，AB是⊙O的直径，CF⊥AB交⊙O于E、F，连结AC交⊙O于D。 求证：CD·AD = DE·DF。






模型甲
12.用钢丝制作两个不同的轴对称模型，如下图，这两个模型中大圆半径都是1米，模型甲中大圆内连接两个等边三角形，模型乙中大中圆内连接两个正方形。这两个图案哪个用料多一点？为什么？





模型乙








13.如图，分别以Rt△ABC的三边向外作正方形，然后分别作三个正方形的内切圆，试探究三个圆的面积之间的关系。











A
D
E
O
B
x
y
·
C
14.如图，在直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，以线段AB为弦的⊙C与直线x=-2相切于点E（-2，），交x轴于点D，线段AE的长为.求点A、B的坐标。












15.如图，四边形ABCD内接于圆，若AB=AC，且∠ABD=60°.求证：AB=BD+CD。
A
B
C
D











四、解答题：（每小题10分，共20分）
⊙F
E
D
M
·
A
O
B
C
16.已知：如图，AB为半圆O的直径，过圆心O作EO⊥AB，交半圆于F，过E作EC切⊙O于M，交AB的延长线于C，在EC上取一点 D，使CD=OC，请你判断DF与⊙O有什么关系，并证明你的判断的正确性。










D
E
O
C
A
B
17.如图，正三角形ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由。














检测题答案
一、选择题：（每小题4分，共20分）
BCBAD
二、填空题：（每小题4分，共20分）
6、3，7、75°，8、2：9，9、2㎝2，10、（1-）。
三、解答题：（每小题8分，共40分）
A
F
B
E
C
D
O
·
11.证明：连结AF，
∵AB中直径，CF⊥AB，
∴，
∴∠ADF=∠AFE，
∵A、D、E、F四点共圆，
∴∠CED=∠CAF=180°-∠DEF，
同理∠CDE=∠AFE，
∴∠CDE=∠ADF，
∴△CDE∽△FDA，
∴，∴CD·AD=DE·DF。
12.解：模型甲用料多一点。
理由：模型甲用料（2+6）米，模型乙用料（2+4）米，
∵4=，而6=，
∴2+6>2+4.
∴模型甲用料多一点。
13.解：设分别以AB、BC、CA为边长的正方形的内切圆面积分别为S1，S2，S3，
则S1==AB2，S2==BC2，S3==AC2
∵△ABC直角三角形，∴AB2=BC2+AC2.
∴AB2=BC2+AC2.
即S1=S2+S3。
A
D
E
O
B
x
y
·
C
14.解：连结EA，则Rt△ADE中，DE=，AE=，
∴DA=
∴OD=2，∴OA=OD-AD=1，
∴点A的坐标为（-1，0），
再连结EB，
∵∠DEA=∠B, ∠EDA=∠BDE,
∴,∴DB==5,
∴OB=DB-OD=5-2=3, ∴点B坐标为（3，0）。

A
B
C
D
E
15.证明：延长CD，使DE=BD，连结AE，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠ADE=∠ABC=180°-∠ADC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠ADE，
∵AD=AD
∴△ABD≌△AED，∴AB=AE，∴AC=AE，
∵∠ABD=∠ACD=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AE=AB，
∵CE=ED+DC=BD+CD，∴AB=BD+CD。
F
E
D
M
·
A
O
B
C
16.解：DF与⊙O相切。
证明：连结OM，
∵CD=CO，∴∠COD=∠CDO，
∵CE切⊙O于M，∴OM⊥CE，
∴∠C+∠COM=90°，
∵EO⊥AC，∴∠C+∠E=90°，
∴∠COM=∠E,
∵∠CDO=∠E+∠DOF, ∠COD=∠COM+∠DOM.
∴∠DOF=∠DOM,
∵OF=OM,OD=OD, ∴△OFD≌△OMD,
D
E
O
C
A
B
F
G
∴∠OFD=∠OMD=90°, ∴DF⊥OF, ∴DF与⊙O相切。
17.解：扇形的圆心角应为120°。
（1）当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的。
（2）当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，连结OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，
∴∠AOF=120°-∠BOF，∠BOG=∠DOE-∠BOF=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
∴△AOF≌△BOG，
S四边形OFBG=S△OAB=S△ABC。
即扇形与△ABC的重叠部分的面积总等于△ABC的面积的。
由（1）（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的。

第四章 统计与概率
1. 50年的变化（一）
广东省清远市佛冈县城东中学 冯连金
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：通过前面几册的统计学习，学生已经基本掌握各种简单统计图的概念，具备了制作各种统计图的基本技能，也能从统计图上获取一定的信息的能力，应该说学生已经基本完成了第三学段有关统计知识的学习，感受到统计在现实生活中的广泛应用。
学生活动经验基础：在前几册的相关学习中，学生已经基本独立地经历了统计的各个过程，已经亲身收集过一些数据，掌握了数据表示和数据处理的一些方法，对一些现实问题作出了自己的评判，获得了根据统计图分析统计结果的一些数学活动经验的基础；同时在以前的学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析
我们应发展学生对数据的来源、数据的处理方法以及由此得到的结论进行合理质疑的能力，以切实提高学生的统计决择能力。本节课以我国50年来的各项数据为素材，从不同的侧面反映我国50年的变化，让学生体会我国近年来取得的巨大成就，同时回顾数据表示的手段，以小组合作交流的形式来探索，统计图的选择与优化，主要关注了统计图易于给人造成的一些误导，从而提高学生对数据的认识、判断、应用能力，激发学生的学习兴趣，并以此确定教学目标：
知识与技能：
经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和数据处理能力。
过程与方法：
通过具体问题情境，让学生感受一些人为的数据及其表示方式可能给人造成的一些误导，提高学生对数据的认识、判断、应用能力。
情感与态度：
1．经历调查、统计、研讨等活动，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能力。
2．让学生积极参与教学活动，在活动中体会数学的实用性，从而产生对数学的好奇心和求知欲，培养学生实事求是的态度，敢于对问题提出质疑。

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：建立“活动”的平台，导入新课；第二环节：设置问题情境，激发探究创设情境；第三环节：合作交流，尝试发现；第四环节：实践应用，自主探究；第五环节：巩固提高，深化所学；第六环节：总结收获，提炼反思；第七环节：布置作业。
把全班分成10个小组（每小组6人）进行课堂学习，让学生交流合作，利用多媒体电脑、相关的软件（Excel）制作统计图表，对数据进行处理和合理分析，提高解决实际问题的能力。

第一环节：（课前准备）建立“活动”的平台，导入新课
活动内容：社会调查（提前一周布置）
以6人合作小组为单位，开展调查活动：
（1）收集生活中出现的统计图（可以从杂志，报刊、网络等收集），说出各种统计图的特点，尝试分析统计图中信息。
（2）调查我校九年级学生的各种情况为题材，并利用Excel制作适当的统计图表示出来。（要求学生通过实际调查收集数据，确保数据来源准确，教师在学生选择调查对象时给予适当的帮助，使调查顺利进行，让学生体验成功的喜悦。）
活动目的：
通过活动（1），让学生能从收集到的统计图中获取一定的的信息，体会统计图在现实生活中的应用，体会数学的实用价值。
通过第（2）个活动，学生通过对他们身边的事展开调查，经历收集数据和整理数据的过程，让学生回顾前几册所学的统计知识，并在这个过程中培养学生的交流合作精神。这两个活动为本节课的学习提供了很好的“活动”平台，既为学生创造复习统计知识的条件，也激发学生学习的积极性与主动性。
教学效果：学生收集的统计图和数据内容丰富多样，有从网络上收集到的社会消费品零售总额（条形统计图）；从气象部门了解到某天的气温变化情况统计图（折线统计图）；学生自己调查统计本班同学年龄统计图（扇形统计图）等等，形式多样，来源方式也是多种多样，有上网收集的，查阅报纸的、有自己班内展开调查的，还有向有关部门了解的，使学生走进生活感受数学，体会数学知识来源于生活，从而激发学生的学习兴趣。
让学生把收集的数据利用多媒体电脑、相关的软件（Excel）对数据进行合理处理，并得到了相应的统计图，并对统计图做出合理的分析。在解决实际问题的过程中，同时对统计知识进行回顾。展示活动（2）中学生制作的统计图，让学生说说图中显示的信息后，教师说明相关统计知识，并揭示课题《50年的变化》。


第二环节：设置问题情境，激发探究
活动内容：研究我国50年全国运输线路长度统计表，让学生以小组为单位完成下列要求：观察统计表，选择合适的统计图对统计表进行分析，并能小组合作绘制出统计图，根据统计图对问题做出合理的分析，得出相关的结论。
自20世纪50年代以来，我国的交通运输状况发生了巨大变化。下表反映了我国50年来交通运输线路长度的变化情况。
全国运输线路长度统计表(单位:万千米)
年份
铁路营业里程
公路
内河
民航
1952
2.29
12.67
9.5
1.31
1957
2.67
25.46
14.41
2.64
1962
3.46
46.35
16.19
3.53
1965
3.64
51.45
15.77
3.94
1970
4.1
63.67
14.84
4.06
1975
4.6
78.36
13.56
8.42
1978
4.86
89.02
13.6
14.89
1980
4.99
88.33
10.85
19.53
1985
5.21
94.24
10.91
27.72
1986
5.25
96.28
10.94
32.43
1987
5.26
98.22
10.98
38.91
1988
5.28
99.96
10.94
37.38
1989
5.32
101.43
10.9
47.19
1990
5.34
102.83
10.92
50.68
1991
5.34
104.11
10.97
55.91
1992
5.36
105.67
10.97
83.66
1993
5.38
108.35
11.02
96.08
1994
5.4
111.78
10.27
104.56
1995
5.46
115.7
11.06
112.9
1996
5.67
118.58
11.08
116.65
1997
5.76
122.64
10.98
142.5
1998
5.76
127.85
11.03
150.58
1999
5.79
135.17
11.65
152.22
提问：
（1）在铁路、公路、内河航运、民用航空这几种交通运输方式中近年来发展最为迅速的是哪种？你是怎么知道的？你能用一个图说明自己的观点吗？
（2）哪种运输方式发展最为缓慢甚至出现了负增长？你能尝试解释其中的原因吗？
活动目的：让学生通过小组的讨论、合作，绘制各种统计图，在交流展示中使学生体会有选择地使用统计图，感受各种统计图的优缺点，提高学生对统计图的选择能力
实际教学效果：利用多媒体电脑、相关的软件（Excel）对数据进行合理处理，并得到了相应的统计图，并对统计图做出合理的分析，得出相关的结论。通过课前的准备学习，学生能够很快的完成统计图的制作并根据统计图回答问题，指名几个小组的学生代表到前面展示各自的作品，并说明自己选择的想法及能反映的问题。学生在对数据进行处理，绘制相应的统计图，并根据统计图作出合理的分析等过程中，提高解决问题的能力，也同时对统计知识有更深一层的认识， 为下面的学习提供学习的平台。展示学生制作的统计图如下：



第三个环节：合作交流，尝试发现
活动内容：分析折线统计图中的误导原因。
老师向学生展示：（1）想一想：图中给出了两种品牌的酒近年的价格变化情况，哪一种酒的价格增长较快？这与图象给你的感觉一致吗？为什么图象给人这样的感觉？














（2）学生完成后提出问题：为了较为直观地比较某两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，应注意些什么？
活动目的：让学生通过两幅折线统计图的观察、思考、分析、判断、互相交流合作，发表自己的观点，知道生活中人为因素对折线统计图是有影响的，并能够分析误导的原因。通过两幅折线统计图的对比和讨论认识到，在比较两个统计量的变化趋势时，应注意这两者的纵横坐标的一致性，让学生体会统计在生产、生活中的应用。
实际教学效果：在上面的活动中，学生大都会绘制折线统计图，并进一步理解了折线统计图的适用情况，但学生对折线统计图可能给人造成的一些误导还不甚了解。因此，通过上面的“想一想”与“议一议”，让学生通过两幅折线统计图的对比和讨论，交流各自的感受，并让学生利用Excel把两品牌酒的折线统计图绘制在同一个统计图上，让学生观察图象的变化情况。让小组代表展示重新绘制的折线统计图，让学生了解如何避免容易造成的误导。使学生能够从具体的图象中感悟数学因素，并抽象、概括出数学规律：要直观的比较某两个统计量的变化速度，两个图象坐标轴上同一单位长度所表示的意义应一致。培养了学生的观察分析能力和抽象概括能力。为下面的探索学习作好准备。

第四个环节：实践应用，自主探究
活动内容：
1．分析扇形统计图中的误导原因
老师展示：1998年、1999年全国图书、杂志和报纸的出版印张数扇形统计图，使学生自主探索这个问题
下图中反映了我国1998年和1999年图书、杂志和报纸的出版印张数之间的比例状况。根据该图小明认为，我国1998年的图书出版印张数比1999年多，你同意他的看法吗？为什么？


















2．分析条形统计图中的误导原因
老师展示：1999年全国图书、杂志和报纸的出版印张数条形统计图后，让学生观察并思考以下几个问题：

（1）直观地看这个条形统计图，1999年哪种出版物总印张数最多？哪种出版物总印张数最少？最多的是最少的几倍？
（2）实际上，最多的大约是最少的几倍？图中所表示出来的直观情况与此相符吗？
（3）这个图为什么会给人造成这样的感觉？
（4）为了更直观、清楚地反映实际情况，上图应怎样的改动？
3．通过上面条形统计图的分析结果，你认为在绘制条形统计图时，为了使所绘统计图更为直观、清楚，应注意些什么？
活动目的：经过前一环节的学习，学生对统计图可能造成一些误导现象有了一定的认识，通过学生的分组讨论交流，使学生明确扇形统计图和条形统计图可能给人造成一些误导，并进一步理解不同统计图的适用情况，提高学生对统计图的选择能力。
实际教学效果：为学生创造一种“互动”的课堂氛围，让学生畅所欲言，主动发表自己的意见，并在讨论交流中学有所得。学生在这个环节中分组合作交流学习，学生积极参与教学活动，在活动中敢于对问题提出质疑。对数据的认识、判断和应用能力都得到提高，并知道要使所绘的条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数值应从0开始。培养学生善于表达自己见解，与他人交流合作的能力，养成良好的学习习惯。

第五个环节：巩固提高，深化所学
活动内容：1．小亮根据5名同学的身高绘制了下面的统计图：
（1）哪个同学最高？哪个同学最矮？他们相差多少？
（2）舟舟的身高是小丽的几倍？
（3）这个图易使人产生错觉吗？为什么？
（4）为了更为直观、清楚地反映这5名同学的身高状况，这个图应做怎样的改动？
2．下图反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况。小强认为，乙校2003年参加科技活动的人数比甲校2003年参加科技活动的人数多，你同意他的看法吗？为什么？

3．如图，给出了某商场两种品牌的家电近年来销售额的增长变化情况，哪一种家电销售额的增长较快？下面给出的两个折线图给你的感觉是什么？与实际情况一样吗？说说你的看法。



4．根据下列饼状图，小卫认为2004年春节A种空调数量比2005年该市A种空调数量多，你能认同小卫的看法吗？谈谈你的想法。



活动目的：利用学生感兴趣的问题，进一步激发学生的学习求和欲，使学生巩固本节所学的内容，并灵活的运用所学的新旧知识将问题解释清楚，从而进一步发展学生的创造性思维，体会统计在生产和生活中的应用价值和数学的科学价值。
实际教学效果：学生基本上都能得出正确的结论，收到了较好的教学效果。而且学生通过解题，把新、旧知识综合应用，形成新的知识结构，激发学生对数学学习的兴趣，巩固本节课所学的知识，加深印象。培养学生学会寻找身边的数学，发现身边的数学的良好习惯。

第六个环节：总结收获，提炼反思
活动内容：师生互相交流总结三种统计图给人造成误导的原因，绘制统计图时，怎样才能做到直观、清晰。让学生谈谈自己的学习心得和感受，提出学习中碰到的难题，共同解决学生提出的问题，让学生在交流中感悟新知，提炼反思。
活动目的：鼓励学生敢干发表自己的见解，尝试用规范的语言表述。在交流中回顾本节课学习的内容，提高学生对数据的认识、判断和应用能力。
教学实际效果：学生互相说出自己的感受和收获，都能说出这三种统计图给人造成误导的原因和改动的方法，让学生感受到数学来源于生活，应用于生活。

第七个环节：布置作业
活动内容：1．P158页习题4.1 第1、2、3 题
2．课外思考：小明将他的8次数学测验成绩按顺序绘成了2张统计图：

次数
分数

1．图（1）与图（2）给人造成的感觉各是什么？
2．若小明想向他的父母说明他数学成绩的提高情况，他将向父母展示哪一个统计图？为什么？


板书设计：
第一节 50年的变化




两个统计量的纵横坐标的单位长度表示意义要相同



同
折线统计图
表示各部分在总体中所占的百分比，不能反映具体的数量
扇形统计图
条形统计图
纵轴上的起始值从“0”开始，最好标明具体数据
统计图














四、教学反思
1． 活用教材
教学过程也就是学生的认知过程，只有学生积极参与，才能达到教学目的，因此本节课选用了来自于现实生活中的问题情景和开放性的问题设计，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同研究，解决问题。教师只要从旁引导，让学生在尝试探索中挖掘自己的内在潜力，在与他人交流中逐渐完善自己的想法，并从中得出本节课的主要内容，统计图的选择与优化，进而突出重点，突破难点。
2． 为学生创设“互动”的平台，提供表现才华的机会
通过小组合作的课前调查、课堂上讨论交流，让学生讲述自己的见解，并以此培养学生的分析解题能力和决策能力。因此，课堂上要让学生有充分表现自我的机会，运用多种方式启发，激励学生的学习积极性，让学生在学习中获得成功，敢干进取。以小组合作学习，帮助学生形成“互动”的平台，激发学习热情，养成积极主动的求知态度。
3． 注意改进的方面
教师在学习小组交流讨论时，要给学生充分的交流和思考时间，在讨论的过程中给予适当的指导，在师生交流中启发优生的创造性思维，帮助有困难的学生解决疑难问题，提高教学效果和学生的学习效率。


第四章 统计与概率
1. 50年的变化（二）
广东省清远市佛冈县城东中学 肖伟英
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：学生基本独立地经历了统计的各个过程，体现了图表反映数据的简捷性，理解了各种统计图的概念，具备了制作各种统计图的基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经亲身收集过一些数据，掌握了数据表示和数据处理的一些方法，对一些现实问题作出了自己的评判，已经感受到了统计在现实生活的广泛应用；在学习过程中具有一定的合作交流能力和探究能力。

二、教学任务分析
教科书基于学生对图表的感知及对统计图的认识，提出了本节的具体教学任务：能运用加权平均数估算所给年份的人均纯收入；能根据不同问题选择适当的统计图描述数据。这是本节课的具体教学目标，它同时也服从《统计与概率》的远期教学目标：力求让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及作出推断的全过程，发展学生的统计意识。在学生的学习过程中培养学生的合作交流意识，体验数学知识在现实生活中的应用，培养学生的情感意识。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
（1）继续呈现我国50年变化的有关信息，从中读取信息，会用适当的统计图来表示；
（2）能根据读取的信息和图表，进行数据的处理，研究有关统计度量；
（3）回顾加权平均数的算法，并能用加权平均数进行适当的估算。
过程与方法：
在分析图表、统计图中，培养学生的探究意识和组织能力。
情感与态度：
在学习过程中培养学生合作交流的意识，体验数学知识的紧密联系性，激发学生学习数学的积极性。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识链接、引入新课；第二环节：观察学生、合理指导；第三环节：知识迁移、活学活用；第四环节：适时练习、巩固提高；第五环节：课堂小结（我的心得与收获）；第六环节：布置作业、课外延伸。

第一环节：知识链接、引入新课
活动内容：出示近50年我国农村家庭生活水平不断提高的几幅图片。
活动目的：
（1）承上启下。上节课我们对我国50年以来交通的变化有所了解，并用统计知识对它进行了分析。这节课转向研究我国50年以来农村家庭人均收入情况。
（2）通过引导学生观察图片，体现近50年来农村家庭生活水平不断提高，使学生体验农村家庭人均纯收入不断提高，从而引出：有必要估算各个时期我国农村家庭人均纯收入的平均值和如何进行估算的问题。
实际教学效果：
学生通过观察图片，体验我国农村家庭生活条件越来越好，农村家庭人均纯收入也越来越高，通过问题引导，激发了学生的探究意识和求知欲望，为引导学生通过观察图表获取信息，估算我国近50年各个时期的农村家庭人均纯收入的平均值做准备。

第二环节：观察学生，合理指导
活动内容：
出示教材P161提供的全国农村家庭人均纯收入抽样调查统计表：
1、提出下列问题：
（1）1985年、1990年、1995年我国农村人均纯收入在哪个范围内的家庭最多？你是怎样看出来的？
（2）请你用适当的统计图表表示1985年我国农村家庭人均纯收入的情况。
（3）请你粗略地估计1985年我国农村人均纯收入，你是怎么想的？与大家进行交流。
2、议一议
小明根据上表绘制了1985年我国农村家庭人均纯收入的扇形统计图，观察统计图，思考小明的方法是否正确，由此联想到什么？
找不同的小组回答以上的问题，教师适时进行适当的补充和提升，对于估算给予适当的讲解，对加权平均数的算法给予适当的讲解，对估算的方法给予适当的说明，对于学生产生的问题给予正确的指导和回答。
活动目的：
通过问题（1）的引导，使学生正确从图表中获取信息，从而估算1985年、1990年、1995年、1999年我国农村家庭人均纯收入在哪个范围内最多；通过问题（2）的引导，进一步提高学生制作统计图的能力，使学生体会选用的图表虽然不同，但它们反映的信息却是一样的，并通过观察不同统计图体现信息的比较，得出此问题采用扇形统计图更为合适些；通过问题（3）的引导，开拓学生思考的方法，得到估算方式的多样性，进入验证小明估算方法的正确性，完成“议一议”的内容，使学生体验这种估算策略（取每组的“中间值”作为其代表），让学生思考它的合理性，并在理解的基础上进一步运用这种方法估算其他年份的人均纯收入，体验这种方法的合理性。
实际教学效果：
学生经过对数据的分析、小组合作探讨得出——通过每组户数占调查总户数的百分比看出不同时期我国农村人均纯收入在哪个范围内的家庭最多，通过小组合作交流画出各种类型的统计图，比较题目要求，选择什么统计图更合适些，提高学生用统计图的能力，通过教学使学生对统计知识有更深刻的认识，并能够利用已有知识尝试解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生能用合理的方式进行估算，提高对实际问题解决的能力，培养了学生的表述能力和对于问题敢于质疑的能力，真正达到以学生为主体、教师为辅导展开教学的教学思想。
附学生作品：
第十小组
(4)
(3)
(5)
(2)
(6)
(7)
(8)
(9)
(1)
(10)
(11)
人均纯
收入分
组/元
每组户数占调查总
户数的百分比/%
第九小组
第二小组
（11）
（10）
（9）
（8）
（7）
（6）
（5）
（4）
（3）
（2）
（1）
(6)
(11)
(10)
(9)
(8)
(7)
(5)
(4)
(1)
(2)
(3)
第六小组
1985年我国农村家庭人均纯收入抽样调查统计图















第三环节：知识迁移，活学活用
活动内容：
用四种不同的统计图呈现上海东方大鲨鱼篮球队队员的年龄，要求学生从中观察出该队队员年龄的众数和中位数，估算该队队员年龄的平均数等。
活动目的：
使学生通过对四种不同统计图的观察，提高学生对各种统计图信息的处理能力，并在数据处理中对各种统计图进行比较和选择，深化对各种统计图的认识。
实际教学效果：
学生通过观察这四幅图，了解到它们各自具有的亮点，四幅统计图都能观察出该队队员年龄的众数（21岁），从图4—7可方便地观察出该队队员的中位数（23岁），而从其他图观察中位数就不是很方便了，从图4—6、图4—7也可粗略地估算出队员年龄的平均数等，通过对统计图的探讨，提高了学生对各种统计图信息的处理能力，并在数据处理中对各种统计图进行比较和选择，深化对各种统计图的认识，培养了学生对知识进行正确的迁移，学以致用，提高解决问题的能力。

第四环节：适时练习，巩固提高
活动内容：
①
④
⑤
1、观察随堂练习的扇形统计图，求出所调查的部分居民家庭人口数的众数和平均数，使学生体验数学知识在现实生活中的应用。
（1）王波学习小组调查了某城市部分居民的家庭人口数，并绘制下面的扇形统计图，求这部分居民家庭人口数的众数和平均数。

2、出示两道练习，使学生对本节所学新知识有更深入的认识。
（2）学校快餐店有2元、3元、4元三种价格的饭菜供师生选择（每人限购一份），下图是某月的销售情况统计图，该校师生购买饭菜费用的平均费用的平均数和众数分别是什么？
（3）某厂生产A、B、C三种型号的电视机，2002年这三种型号电视机的销售额依次为10亿元、2亿元、3亿元，为了应对激烈的市场竞争，2003年该厂决定降低电视机的销售价格，A、B、C三种型号的电视机分别降价10%，30%，20%，因此，该厂宣称其产品平均降价20%，你认为该厂的说法正确吗？如果不正确，你认为怎样表述才比较准确？
活动目的：
通过题目（1），引导学生正确读取扇形统计图的信息，体验本题中的平均数是3.4人，使学生体验数据的实际意义。
通过题目（2）和（3），使学生进一步巩固本节所学新知识。其中，题目（2）是巩固学生从扇形统计图中正确获取该校师生购买饭菜费用的平均数和众数；题目（3）是通过对厂家求产品平均降价的方式加深对加权平均数的认识。给予学生充分的时间先独立完成，再小组合作交流，力求达到灵活运用所学新知识的目的。
实际教学效果：
通过小组合作交流、探究学习，学生提高了读图的能力，能从扇形统计图中正确找出众数及求出平均数，形成合作交流、探究发现、归纳总结的能力。

第五环节：课堂小结（我的心得与收获）
活动内容：并请学生谈谈这节课有哪些收获？还存在哪些疑问。
活动目的：通过引导学生说说在本节课中取得的收获，培养了学生总结概括的能力，对知识进行系统整理的能力。

第六环节：布置作业、课外延伸
活动内容：从报纸、杂志或网络上找出扇形统计图，看看各个扇形统计图各表示什么，你能从中求出一组数据的平均数、中位数和众数吗？
活动目的：完成相应的收集任务，培养学生的创新意识和能力，达到课外延伸的目的。
实际教学效果：通过作业可以检验出学生理解的程序和存在的问题，也培养了学生的实际应用能力，增强了学生探究数学的欲望，体验数学知识在现实生活中的应用，激发了学生的学习兴趣，对教师教学有一定帮助。

四、教学反思
本节课不但要求学生会读统计图，能从中获明显的数据、结论，还要求学生能进一步地发觉图中的信息，利用统计图表获得或估计出平均数、众数、中位数等信息。通过课堂教学的实况看来，学生对于教材163页中“小明的算法”，理解起来是有难度的，如何帮助学生理解，还可以做进一步的考虑。
第四章 统计与概率
2. 哪种方式更合算
广东省清远市佛冈县城北中学 朱 琼
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：学生在七年级学习过《转盘游戏》，《一定摸到红球吗》，《摸到红球的概率》等知识。学生对获胜或获奖的可能性有了一定的了解，学生在前面一节学习了统计知识，并具备了计算平均数及加权平均数的能力。
学生活动经验基础：同学们在有关知识的学习过程中，经历了很多活动，如：转盘游戏，一定摸到经球吗等，具有了一些解决简单的获胜或获奖问题的经验。学生在学习这此内容时还经历了合作学习的经验，并且具备了一定的合作交流的能力。

二、教学任务分析
我们在日常生活中经常会遇到各种摇奖活动，通过以前的学习，学生已经认识到了这些活动中获胜或获奖的可能性，但未必具有正确的评判能力和决策能力。本节设计了一个具体的情境引入，力图让学生在具体情境中感受“合算”，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力，从而对现实生活中的一些类似现象进行评判。该知识具有一定的思维要求，在选取素材时教科书注意了知识的前后联系，选择了一个学生以前研究过的问题情境，以降低学生解决问题的难度，同时在解决问题的过程中，又强调了学生的体验，让学生首先通过试验获得初步的感受。再通过前一节中加权平均数的关系，逐步获得对问题的理论解释。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．让学生初步体会如何评判某事件是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判。
2．进一步体会概率与统计之间的联系。
过程与方法：
通过具体问题情境，让学生初步体会如何评判某事件是否“合算”，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判。
情感与态度：
1．经历解决问题的活动过程，并在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能力，增强学生的数学应用意识和能力。
2．经历解决问题的活动过程，锻炼学生克服困难的勇气和信心，通过对现实问题的理论解释获得学习数学的成就感

三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：情境引入；第三环节：实验探讨；第四环节：合作交流；第五环节：练习巩固；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节 课前准备
活动内容：
社会调查，每小组做好一个课本P168图4—10的转盘。准备好计算器（提前一周布置）
以4人为一个合作小组开展以下活动
活动1：分工合作收集有关彩票 ，街头“摸奖”游戏以及各种各样的博彩行当的资料、广告等。
活动2：小组合作制作如课本P168图4—10 、P169图4—11、图4—12的转盘
活动目的：通过第1个活动吸引学生关注生活中的一些数学问题，用生活中的某件事情是否“合算”提供现实背景和生活素材，体现了数学来源于生活的思想。
通过第2个活动，不但提高了同学们的合作能力，动手制作能力，还丰富了学生的课余生活，使他们积极地参与到数学的学习中去。这样，必定能激发学生学习的兴趣及学习的主动性
实际教学效果：学生收集到的资料内容丰富多彩，有街头的“摸奖”活动广告，有商场摇奖促销活动广告。有福利彩票广告等 。来源方式也上多种多样，有的是阅报纸杂志，有的上网调查，有的走向街头。还有的向家长了解。学生做的转盘形式也多种多样，充分展示了学生的个性和动手能力。通过这两个活动不但让学生感受到数学来源于生活，而且促进了学生学习数学的热情，锻炼了他们的社会活动的能力和动手制作的能力。

附部分学生收集的资料：
温廷同学拍到的福利彩票宣传广告

范佩娜同学通过网上下载的某商场转盘游戏图片：

附第三组：吴武江等同学制作的转盘


第二环节 情境引入
活动内容：向同学们展示个别同学收收集到的资料，中国福利彩票广告，摇奖促销活动广告，一些街头的设摊“摸彩”活动，并给大家讲一个集市上的“摸彩”故事。（通过这个故事自然地引出课题）
故事大意：熙熙攘攘的集市上,某人在设摊“摸彩”,只见他手拿一袋,内装大小,形状,质量完全相同的4个绿球和4个红球,每次让“顾客”免费从袋中摸出4个球,输赢的规则是：
所摸球的颜色
顾客的收益
4个全红
得50元
3红1绿
得20元
2红2绿
失30元
1红3绿
得20元
4全绿
得50元
只见很多顾客围上前去,“免费”摸球,而且只有摸到“2红2绿”的情况才赔钱.其余情况都得钱,而我在旁边观察的结果有一半以上都赔了钱,这种活动的欺骗性到底体现在什么地方呢?相信同学经过这节课的学习一定能揭开其中的“奥秘”,而不愿参加“免费活动”
活动目的： 以学生课余生活中感兴趣的话题引出本课，不仅吸引学生的注意力，而且为本节学习评判某件事情是否“合算”提供了现实背景和生活素材，体现了数学来源于实践的思想。
实际教学效果：展示学生收集到的一些博彩广告，让学生亲身体验数学来源于生活。通过集市上一个“摸彩”故事的引入课题，吸引学生的注意力，引发他们的好奇心和学习兴趣。

第三环节 实验探讨
活动内容： 参照课本P168例题进行实验 提出问题
1 根据上表估算每转动一次转盘所获购物卷金额的平均数，看看转动转盘和直接获得购物卷，哪种更合算？
2 全班交流看看各小组的结论是否一致，并将各组数据汇总，计算每转动一次转盘所获得购物卷金额的平均数 ，看看哪种方式更合算。
活动目的： 学生自己动手统计摇奖的记录结果 ，并做出正确判断，为下面从理论上计算是否“合算”提供了现实依据。
实际教学效果： 学生自己动手统计摇奖记录结果，并根据摇奖结果，计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数，判断哪种方式对顾客更合算。教师组织学生汇总记录结果，并引导学生根据记录结果判断哪种方式对顾客更合算。学生在动手操作中，锻炼了动脑能力，提高了合作意识，体验到成功感 ，更激发了学生学习的主动性。

第四环节 合作交流
活动内容： 课本P169页“想一想”“议一议”
‘“想一想”提出三个问题
（1） 若更换为教材第169页图4-11的转盘你认为会跟上述结果相同吗？为什么 ？
（2） 若更换这教材第169页图4-12的转盘情况是否会发生变化？
（3） 若你是顾客，你愿意选择哪个转盘？
“议一议”解释小亮这样做的道理
活动目的： “想一想”设置这三个问题的主要目的是让学生尝试着从概率角度来解释实际问题，为下面过渡到计算所获金额和平均数打好基础，这样便可由浅入深，逐步突破本节的难点
“议一议”旨在借助扇形统计图，引导学生获得这种理论计算方法，使学生认识概与统计的联系。
实际教学效果 ： “想一想”教师提出三个问题。学生积极思考问题，尝试从概率角度加以解释。学生以小组为单位讨论理论计算方法，进行计算，解释上面三个问题。根据学生的回答，教师引导学生计算每转动一次转盘所获得金额的平均数，从理论上解释上述问题。“议一议”学生提出质疑：我们刚才的实验结果与理论计算结果有些出入，是否是计算有问题？
教师组织学生讨论提出的质疑。通过讨论让学生明白 当实验次数很多时，实验结果应该和理论值相近，但实验次数再多，也很难保证实验结果与理论相等，从而让学生建立良好的随机观念。

第五环节 练习巩固
活动内容： 课本P171随堂练习第一题
活动目的： 让学生根据所学的知识解决实际问题，有利于进一步巩固和加深所学知识， 同时也养成数学思维和方法解决生活中遇到的实际问题的习惯。
实际教学效果： 学生自己解决练习中的问题，老师组织学生据学过的方法练习中遇到的问题，学生基本上都能利用所学知识，解决练习中碰到的问题，收到了较好的教学效果。

第六环节 课堂小结
活动内容： 总结本节课的收获及获得的启示，反思在学习中存在的问题。
活动目的： 这一环节有利于有利于学生总结问题，理清思路。培养学习后自我反思的良好习惯
实际教学效果：学生总结本节课的收获及得到的启示，反思在学习中存在的问题教师指导学生总结本节的收获，并解决学生存在的问题。

第七环节 布置作业
观察生活中的某一活动（如彩票，摇奖或街头摸球游戏等）或本节课开始时所讲的故事，利用概率知识揭示其中的规律，并撰写一份研究报告，在全班进行交流。

四、教学反思
这一节课打破了传统教学模式，是较好地贯彻新课程理念的一节数学课，其原因有以下几个方面：
1、 这节课真正体现了从不同层次把探求知识与培养学生的情感，态度，价值观有机结合起来，注重了过程教学，是对新课程标准的具体实施。
2、 用收集资料，动手制作，动手做实验来解决问题，能够调动学生的积极性，在这个学习探索的过程中，注重了对学生情感的培养。以往在数学课上，教师较难与学生在情感上沟通，但在这节课上，学生与老师共同感受了数学的魅力，师生共同培养起了对数学的情感。
3、 我们现在提倡探究性学习、研究性学习，那么，这种学习放在课内还是课外的问题，始终众说纷纭。现在我们找到了一个可供借鉴的案例。这就是说，作为一种学习方式，在课内也同样能运用，而且结合学习探求新知识，显得更有实际价值和意义。
第四章 统计与概率
3.游戏公平吗
广东省清远市佛冈县城北中学 李群辉
一、学生知识状况分析
学生知识技能基础：经过前面几册的学习，学生已经研究了随机事件及其概率的概念．掌握了随机事件发生的概率的一些计算方法（包括理论计算和实验估算等),并通过具体的问题情景和实践活动,体会了概率的应用, 已经基本完成了第三学段有关概率知识点的学习,感受到了概率在现实生活中的广泛应用。
学生活动经验基础:在七年级下册中,学生已接触过一些简单的游戏的公平性问题.(只考虑游戏双方获胜的概率大小).学生对一些游戏活动的公平性会做出自己的评判.具有评价游戏规则是否公平和如何才能使得游戏规则公平的经验。

二、教学任务分析
《游戏公平吗》这个内容在七年级下册第四章概率第一节已经学过，所以九年级第四章第四节《游戏公平吗》是前面所学知识的延续。在学习本节课之前，学生对判断事件的公平性的方法有所掌握，本节课不仅对概率的知识进行回顾与整理，而且更进一步体会如何评判某件事情的公平性，并利用它对现实生活中的一些现象进行评判，是一节知识综合应用课，是一节提高形课程。因此,把本课时的教学目标定为:
知识与技能：
⑴能求简单事件的概率
⑵体会如何判断某件事情是否“合算”。
过程与方法：
⑴通过具体情景，让学生进一步体会如何评判某件事情是否“合算”，从而利用它对一些游戏活动的公平性做出评判和修改游戏规则。
⑵增强对现实生活中一些事件正确的评判能力和决策能力。
⑶在活动中进一步发展学生合作交流的意识与能力，增强学生的数学应用意识。
情感与态度：
(1)通过具体情景使学生养成乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，用数学的思维思考生活中的实际问题的习惯。
(2)在小组活动中体会合作与交流的重要性。

三、教学过程分析
从学生已有的知识水平和认识规律出发，为了更好地突出重点，化解难点，扫清学生在知识上的思维障碍。本节采取了“游戏活动——观察发现——讨论——思考——计算——应用迁移的教学模式实施教学。本节课的设计分九个教学环节：课前准备（建立活动平台）——创设情境、引入课题——合作游戏、领悟方法——层层紧扣，探究新知——总结延伸、整理知识——课堂跟进、达成目标——了解世界、开阔视野——课堂反思——作业布置。

第一环节:课前准备
活动内容:
⑴练习小品.(把内容布置给三位表演欲较强的三位同学练习). (小明、小亮、小东三个一起去参加一个演唱会,可是到那以后只剩下一张票,聪明的小亮想出一个用硬币决定谁去的方法,他说一块硬币掷两次,如果两次都是正面朝上则小明去看,如果两次反面朝上则小东去,如果一正一反则他去,小明同意了,而小东不同意,他说这样不公平.)
⑵制作两个形状大小相同,且等分五份的转盘如图:（如图）
⑶每位同学准备一枚骰子和一个矿泉水瓶.

红
红
红
红
蓝
红
蓝
蓝
蓝
蓝





活动目的:
⑴使学生能在课堂上表演熟练、自然、生动、有艺术感.使学生顺理成章地走进数学问题.
⑵、⑶中提到的转盘和骰子，是为后面的实验活动所需要事实道具。至于矿泉水瓶，是考虑到后面做掷骰子游戏时,可能骰子会掉在地上要到处寻找,为了避免此事,将骰子装入矿泉水瓶中,充分摇匀,效果是一样的.

第二环节:创设问题情境,建立“活动”平台，了解概率统计的一些应用
活动内容:
学生表演事先准备好的小品.
活动目的:
培养学生的表演能力.并通过现实生活中常用到的决策办法进行表演.使学生从中发现游戏规则的不公平性,这个游戏学生较熟悉.容易通过概率的大小得出游戏是否公平.起着承前启后的作用.从而自然引出课题——游戏公平吗．
实际教学效果:
学生表演得很自然.带有较浓的感情色彩.一步一步把主题推向高潮.其他同学也很快发现游戏不公平.并且还能指出小亮获胜的可能性大,同学们在看表演,又在计算各自获胜的概率.每位学生都非常投入.

第三环节:游戏活动(在游戏中体会如何评判事情是否“合算”,并运用它对一些游戏活动的公平性做出评判)
活动内容1:
⑴做掷骰子的游戏.两人为一组.各掷一枚骰子.规则:当两枚骰子的点数之和为奇数时,学号为单号（以下称单号、双号）同学得1分.否则双号同学得1分.这个游戏对双方公平吗?
⑵游戏怎样才算公平?每人获胜的概率是多少?你学过哪些计算概率的方法?
活动目的:
从学生的已有知识出发,使学生既复习了前面的知识又为新课埋下伏笔.所以这个内容具有承上启下的作用.另外以学生课余生活感兴趣的游戏作为具体的问题情境,极大地调动了学生的学习积极性,让学生充分体会到生活中处处有数学,体现了数学来源于实践的思想.
实际教学效果:
学生按照游戏规则活动,（学生1）很快得出结果游戏对双方公平.（学生2）:只要双方获胜的概率相等,也就是说双方获胜的可能性一样,就为游戏对双方是公平的.（学生3）:两人获胜的概率是一样,我们前面曾经学习过计算概率的方法——树状图、列表法,我采用列表,如下表:

双号点数
单号点数
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
根据表格可知和为奇数的概率为=。
活动内容2:
当两枚骰子的点数之积为奇数时,单号同学得1分,否则双号的同学得1分,这个游戏对双方公平吗？为什么?
活动目的:
⑴让学生在游戏中自己发现问题并提出问题,这样便可以引起学生去解决问题的欲望,为下面教师引导学生从理论上研究问题作好了情感上的准备,这也充分体现了新课程理念下,课堂上以学生为主的教学要求.另外，学生在游戏中学会与同学合作,体会合作交流的重要性.
⑵教师及时、恰当的指点,正确引导学生的思维,充分体现教师在课堂中的主导性作用,使为解决本节的重点问题起到了画龙点睛的作用,同时让学生感受到概率在现实生活中的应用，增强应用意识和能力.
实际教学效果:
(1)学生在游戏的过程中发现游戏规则不公平,单号的同学纷纷提出抗议.
(2)学生在教师的引导下积极思考,寻找游戏规则的不公平所在,学生还会从通过计算概率的角度来解释问题.

第三环节:层层紧扣,探究新知
活动内容:
(1)如果将游戏规则改为“当两枚骰子的点数之积为奇数时,单号同学则得2分,否则双号的同学得1分,”这样的游戏能接受吗?如果不能接受,应该如何修改规则才能使游戏公平?(学生讨论交流)
(2)还有别的方法修改游戏规则,使游戏双方公平呢?
活动目的:
⑴通过交流讨论,有利于培养学生互相学习,取长补短的合作精神.同时,让学生感受共同学习的乐趣,调动学生的学习积极性.
(2)让学生自己来做决策,通过讨论并修改游戏规则,使学生充分体会到对于一些较为复杂的实际问题,不仅要考虑游戏双方获胜的概率,还要考虑他们获胜时的得分值,从而增强学生利用概率知识解决实际问题的能力.
(3)让学生明白,要使设计规则简单、实用、科学,可利用得分的方法，即从概率与得分的积是否相等,给出获胜的得分.
实际教学效果:
(1)单号学生(通过计算后发表自己的见解):还不能接受,尽管双号让步,但此游戏规则对我们还是不利的.因为 =,=.所以游戏还是不公平的.
(2)学生通过互相讨论各种公平的游戏规则.(学生2)修改得出:游戏规则可以修改为“当两枚骰子的点数之积为奇数时,单号得3分,否则双号得1分.”
(3)在教师的引导下,学生学会从每次游戏的平均得分，这一角度来修改游戏规则。下面是各小组设定的游戏规则:
第一组:当两枚骰子的总数之和小于7时,单号得1分,大于7时,双号得1分,等于7时,单双号都不得分,这样双方获胜概率都为,这样这个游戏规则对双方都公平的.
第二组:当两枚骰子的总数之和是3的倍数,单号得3分,是2的倍数双号得2分.这样的游戏规则对双方都是公平的.
(4)学生在进行讨论如何修改游戏规则时.(学生4)归纳出这个方法:设计游戏得分规则时,只要计算出双方的概率，如双方获胜的概率为,则得分规则只需满足即可,设计获胜后的得分分别为α、b,则游戏公平.

第五环节:总结延伸、整理知识
活动内容:做一做:
用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏.分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色,则可配成紫色,此时,男生得1分,否则女生得1分.这个游戏对双方公平吗?若你认为不公平.如何修改规则,才能使该游戏对双方公平.


红
蓝
蓝
蓝
蓝
红
红
红
红
蓝






活动目的:
由于本节课的知识点是有一个一个问题层层紧扣来完成的,为了更好的理顺知识.故设计了此内容.使学生能有条理的梳理所学知识.用这样的形式进行课堂跟踪.极大地调动学生的学习积极性,让学生在快乐的活动中巩固本节所学的知识.
实际教学效果:
⑴由于在前面的活动中有学生总结出那么一个方法:当得分规则: 时, (分别为获胜概念.α、b分别为获胜后的得分.)则游戏公平.所以男女生看完题后.马上计算各自的获胜概率.他们很快发现游戏规则不公平.(男生保持沉默.而女生抗议).下面是两位学生的计算过程:
1、
第2个转盘转出颜色


第1个转盘转出颜色

蓝1

蓝2

蓝3

蓝4

红色
红1
√
√
√
√
×
红2
√
√
√
√
×
红3
√
√
√
√
×
红4
√
√
√
√
×
蓝色
×
×
×
×
√
注:⑴由于第1个转盘红色多,第2个转盘蓝色多.为了好区分.所以在同一转盘中。同色的每个区域分别记上1、2、3、4.
⑵“√”表示可配成紫色, “×”表示不可配成紫色.分别转动两个转盘,可配成紫色的概率为,不可配成紫色的概率为。由于获胜的分值相同。因此这个游戏对双方不公平，对女生不利。
2、
蓝
蓝
蓝

红
蓝
蓝
蓝
蓝
红
（红）
（蓝）
（红）
（红）
（红）
蓝
蓝
蓝
蓝
红
蓝
蓝
蓝
蓝
红
蓝
蓝
蓝
蓝
红






可配成紫色的概率为，不可配成紫色的概率为。因此，游戏对女生不公平。

第六环节：课堂跟进、达成目标
活动内容：
1、一题多解： 某一家庭有两个孩子，请问这两个孩子是一个男孩一个女孩的概率是多少？你是怎样知道的．
2、学科内综合题：若|α|=3,|b|=5,则|α+b|=8的概率是多少?
活动目的：
巩固所学的知识，并运用所学知识进行学科综合应用，可以充分发挥学生的想象能力、应用能力和思维能力，使学生真正成为数学学习的主人;调动学生以积极的态度和情感学习数学，给学生以自我表现的机会，建立信心，同时对本节内容有更深的理解和体验。
实际教学效果：
1、学生有的列表格解；有的用树状图解；还有的通过分析得出。这道题学生很快完成。
2、只有个别同学能解，大部份同学能求出α、b，但不会运用概率知识去解，此题在教师的引导下完成。

第七环节：了解世界、开阔视野
活动内容：
1、展示一些现实生活中的游戏。如：比赛选场地、小朋友玩的剪刀石头布游戏、电视台的彩票36选7、民间游戏等。
2、生活中的趣味题:(读一读、想一想)
李勇的爸爸出差回来，向他讲了这样一件事情，在一个地方有一种“摸彩”活动．一个人手提一个袋子，身边立着一块牌子，边指边说：“我这口袋里有10个红球10个白球，哪位愿意来摸球做游戏，一次交10元，但不白交．请你不要看，从口袋里摸出10个球，按牌子上的结果安排：
10个都是红球退还10元外再送你10元线；
9个红球1个白球退还10元外再送你8元；
8个红球2个白球退还10元外再送你6元；
7个红球3个白球退还10元外再送你4元；
6个红球4个白球退还10元不再送了；
5个红球5个白球算你运气不好，不退还了；
4个红球6个白球退还10元不再送了；
3个红球7个白球退还10元外再送你4元；
2个红球8个白球退还10元外再送你6元；
1个红球9个白球退还10元外再送你8元；
10个都是白球退还10元外再送你10元．
共十一种可能，八种可能让你赢钱，只有一种可能输，这么便宜的事，谁来试试啊？李勇的爸爸亲眼看见有几个青年人掏钱试了试，结果都输了，且谁摸的次数越多，谁就输得越多．爸爸让李勇利用所学的概率统计知识计算一下，这是为什么？请你也计算一下，找出其中的原因．
活动目的：
⑴使学生更进一步体会到如何评判某件事情是否“合算”，并利用它对一些游戏活动的公平性做出评判。
(2)使学生更进一步了解到概率统计在各个领域内的广泛应用，开阔学生的视野，拓宽学生的知识面，让学生感受到这些现象可以用概率的知识解释，使学生更能体会到数学是无处不在的，起到前呼后应的作用。
实际教学效果：
学生认真观看展示内容。

第八环节:课堂反思
活动内容:
⑴引导学生归纳本节课所学的知识.
(2)通过本节课的学习.谈谈你的收获和如何对某件事件进行决策.
活动目的:
由学生总结本节课的心得体会,使他们进一步巩固所学的知识.培养学生学习后自我反思的良好习惯,增强学生的归纳能力和学习的自信心.
实际教学效果:
学生回忆本节所学内容和谈自己的心得:
⑴本节课我们学会了如何评判某件事情是否“合算”,并利用它对一些游戏活动的公平性做出评判.
⑵在本节课的学生中,我体会到在实际生活中,判断一件事件是否合算或一个游戏是否公平,不能仅从概率或给分的角度来判断，要从最终的得分值是否相同这一角度加以评定.

第九环节：布置作业
内容:
1、请你探索闯关游戏的奥秘：
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况；（2）求出闯关成功的概率．
闯关游戏规则
图4-3-4所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置．同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．


2、每名学生设计一个游戏,课下互相探讨游戏规则是否公平,若不公平,请你修改游戏规则.
目的:1、巩固所学知识,强化思维训练、提高分析问题和解决问题的能力.
2、以学生感兴趣的事情为作业，不但巩固本节内容，还能提高学生的学习兴趣.

四、教学反思
本节课实施开放式教学，在生活中得到感性体验，然后由游戏的激发，上升到理性认识，体会知识的生成。让学生利用所学知识解释现实生活中的一些现象，经历知识发展与变化过程。最后让学生结合自己所学到的知识和获取知识的过程与方法，进行反思体验，在对参与事实的反思体验中，享受情趣，体会成功，激发内动力。整个过程中学生合作交流的意识、竞争意识得到发展，动手操作能力、分析问题能力、评判决策能力都得到提高。
教师在本节课中充分地展现了一个引导者、组织者的形象。力求通过教师的引导，让学生成为学习的真正主人。注重让学生活动，充分发挥学生的主观能动性，教师只起到一个抛砖引玉的作用，体现了教师为学生服务的宗旨。整节课，课堂非常活跃，学生始终保持愉快的心情，情绪一次次地高涨，有效的激发了学生的求知欲和自信心形成了良好的学习态度。
第四章 统计与概率
回顾与思考
广东省清远市佛冈县城北中学 何道情

一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：经过前面几册的学习，学生已经基本独立地经历统计的各个过程，已经亲身收集过一些数据，掌握了数据表示和数据处理的一些方法，对一些现实问题作出了自己的评判。
学生活动经验基础：本章首先通过几个具体的实例回顾了整个统计活动以及其中所用到的知识技能，对统计学习进行了一个全面的回顾，同时介绍了不恰当的图表可能引起的一些人为的误导，发展了学生对数据、图表、推断结果等的评判质疑能力。

二、教学任务分析
本章是整个第三学段统计与概率知识学习的最后一章内容，因此在回顾与思考的教学中，可以引导学生自主地整理有关统计与概率的知识结构，并用适当的框图表示出来。对各种图表可能造成的误导、如何刻画某种决策是否合算等，它是概率的一个极为重要的应用。因此,在关注学生在实际问题中的意义理解时,力图让学生在具体情境中感受“合算”,并掌握一定的判定方法,提高其决策能力.作为复习课，本节课的教学目标:
知识与技能:
1、整理有关统计与概率知识的框架图，回顾与思考统计与概率的具体知识和注意事项，以及在实际问题情境中的意义理解。
2、通过具体问题情境，让学生进一步认识到一些人为的数据及其表示方法可能造成的一些“误导”；让学生进一步体会如何评判某件事情是否“合算”。从而提高学生对数据通信的认识和判断、增强对现实生活中一些事件正确的评判能力和决策能力。
过程与方法:
经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识和数据处理能力
情感与态度:
培养学生积极参与的意识，主动学习、积极合作、交流的习惯。在活动中获得成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾与思考统计的知识与技能；第二环节：通过具体例子复习了各种图表可能造成的误导；第三环节：通过具体例子复习了如何评判某种决策是否合算；第四环节：练习提高；第五环节：课堂与小结；第六环节：作业布置。

第一环节：回顾与思考统计的知识与技能
活动内容:
以问题的形式出现,让学生思考并小组讨论、回答问题，然后教师作适当的总结。
问题１：小明想了解我校初三男生的身高情况，你能帮助小明解决这个问题吗？说出你的解决方法．
学生活动：思考并小组讨论，然后回答问题．

教师活动：（归纳总结）在生活中，我们经常需要收集一些数据，以帮助人
们了解情况、发现规律、作出决策。
问题２：统计可以帮助我们解决现实生活中的很多问题．那么，统计一般应经历哪几个过程？在各个过程中又应注意些什么？

学生活动：思考讨论，然后回答问题．

教师活动：作适当补充．并整理成如下的框架：





１、收集数据。通过做调查、做实验、查阅资料等收集数据。保证
数据的真实性和科学性。

２、整理数据（即统计图的选择）．能针对不同问题选择适当的统计图描述数据．
如:想了解每个项目的具体数据(条形统计图);
想了解事物的变化情况(折线统计图)；
统计
想了解各部分在总体中所占的百分比（扇形统计图）
３、分析数据．（从统计图中可以观察出数据的各种情况．如平均水平、中位数、众数等。）
４、作出决策．分析数据的目的是为了作出决策，以便更好地指导我们的工作和生活．

活动目的：可以帮助学生回顾整个统计过程及各个环节中所要用到的具体知识和注意事项，并将它用适当的框图表示出来。
实际教学效果：通过回顾思考，学生理清了有关统计与概率的知识结构。

第二环节：通过具体例子复习了各种图表可能造成的误导
活动内容:
以练习的形式引出统计图有时会给人们带来一定的错觉，以及应做怎样的改动，使读者能直观、清楚地了解情况。让学生思考回答问题。
统计图有时会给人们带来一定的错觉，你能对一些统计图进行正确的评判吗？
1、下图给出了两种品牌的酒近年的价格变化情况：
实
活动能力回答问题:
① 哪种酒的价格增长较快？
②这与图象给你的感觉一致吗？为什么图象会给人这样的感觉？
想一想：为了较为直观地比较两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，应注意些什么？
2、下表反映了我国1998年和1999年图书、杂志和报纸的出版印张数之间的比例状况。根据此图，小明认为，我国1998年的图书出版印张数比1999年多。你同意他的看法吗？为什么？




3、某书店2004年8月各类图书销售情况统计图
（1）这个月数学书与自然科学销售量的比是多少？
（2）要使读者直观、清楚地获得这个月各类图书销售量的比例情况，上图应做怎样的改动？
想一想：在绘制条形统计图时，为使所绘统计图更为直观、清晰，应注意些什么？
活动目的：通过不恰当的图表可能引起的一些人为的误导的复习，进一步发展学生对数据、图表、推断结果等的评判质疑能力。

实际教学效果：学生自信心强，积极参与，小组间积极讨论交流，能对数据、图表、推断结果作出正确判断。

第三环节：通过具体例子复习了如何评判某种决策是否合算
活动内容:样以练习的形式出现，通过学生思考回答问题，复习如何刻画某种决策是否合算。
也许你曾被大幅的彩票广告所吸引，也许你曾经历过各种摇奖促销活动.通过前面的学习，你能对现实生活中的一些类似的现象进行评判吗？
1、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元.转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算？
(1) 不用实验的方法，你能求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数吗？
解：获得100元购物券的概率为
获得50元购物券的概率为
获得20元购物券的概率为
＝１４元
所以：
根据概率与统计的关系,可以认为,转动n次转盘，获得100元购物券的次数为n次，获得50元购物券的次数为n次，获得20元购物券的次数为n次，


（2）若改成图3的转盘呢？
=18（元）










2、小明和小刚正在做掷骰子的游戏.两人各掷一枚子.

(1)当两枚骰子的点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏对双方公平吗？
游戏怎样才算公平？每人获胜的概率是多少？




(2)当两枚骰子的点数之积为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏对双方公平吗？为什么？
活动目的：通过具体例子复习巩固如何评判某种决策是否合算，掌握一定的判断方法，提高其决策能力，从而能对现实生活中的一些类似的现象进行评判。
实际教学效果：学生积极参与教学活动、讨论交流。掌握了一定的判断方法，能对现实生活中的一些类似的现象进行评判。但学生对第1题的解答有点困难，教师应给予分析。

第四环节：练习提高
活动内容:
学生完成给出的习题，然后同学之间进行交流

1、用下图的两个转盘进行“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中的一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得１分，否则小明得１分.

问：这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？
2、小明和小刚改用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏.配成紫色，小刚得１分，否则小明得１分.这个游戏对双方公平吗？为什么？

3. 小明绘制了我国1996年和1997年大、中、小学学生数的扇形统计图。根据这个图你能断定我国1996年的小学生比1997年多吗？







谈谈你对此广告的看法。
4、








活动目的：对本节知识进行巩固练习。
实际教学效果：绝大部分学生都能完成，达到了较好的效果。

第五环节：课堂与小结
活动内容:学生之间交流总结有关统计与概率的知识、如何认清各种图表可能造成的误导、如何评判某种决策是否合算等。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获与感想。并能把所学知识知运用到实际生活中去，提高学生解决问题的能力。

实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：有关统计与概率的知识，各种图表可能造成的误导，如何评判某种决策是否合算等。

第六环节：布置作业
1、 复习题A组、B组
2、 动手设计游戏:你能否以骰子、硬币或其它工具设计一个对双方都公平的游戏吗？
1、


四、教学反思
对本章知识技能的评价，应当更多关注其在实际问题中的意义理解。如对于各种图表可能造成的误导、如何评判某种决策是否合算等，只要学生能结合具体问题情境理解其意义并能在具体情境中进行恰当的应用即可。鉴于此，在回顾与思考的教学中，应更为关注学生应用有关知识解决实际问题的能力，教师应根据学生的实际情况，给出的例子应当有针对性、科学性和创造性等，并据此评价学生对知识的理解水平。