2021-2022学年北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形期中复习解答题专题训练 （word版含答案）

这是一份2021-2022学年北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形期中复习解答题专题训练 （word版含答案），共27页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
2．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．
4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．
5．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△EGF≌△AGD．
6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若∠DAC＝60°，EF＝4，求四边形AFCE的面积．
8．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ．
（1）求证：AP＝BQ；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
9．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD是BC边上的中线，过A点作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE交于点O、E，连结EC．
（1）求证：四边形ADCE为菱形；
（2）设OD＝a，求菱形ADCE的周长．
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．
（1）求证：四边形AECD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．
12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形．
14．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．
②CE+CG的值为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC，AC和DE相交于点O．
（1）求证：OD＝OC；
（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
16．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．
17．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形．
（2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由．
18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．
19．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连接BE，取BE中点O．
（1）如图①，连接AO，MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图②，连接AM，AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠MAN＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明．
参考答案
1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
故答案为：55°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
2．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2
∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OD＝OC，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF＝CD＝＝1，
∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，
∴OE＝＝＝．
3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，
∴BE＝＝5，
∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+CE）•FG＝（5+5）×＝48．
4．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BC•AG＝AC•BD，
即5AG＝×6×8，
∴AG＝．
5．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，
∴CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝∠GAE＝45°，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AF+BF＝BE+BF，
即AB＝EF，
∴EF＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS）．
6．解：（1）设AB，OE交于F，
∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∴AF＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，OD＝OB．
∴OF∥BC，
∵OE⊥CD，
∴OE⊥AB．
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE＝OB，
∵OD＝OB
∴BD＝2AE＝2，
∵AD＝BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AF＝AB＝，
∵∠AFE＝∠FAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHEF是矩形，
∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，
∴DE＝＝＝．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，EO＝FO＝EF＝2，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OA＝EO＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×4×4＝8．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCQ
∵DP＝CQ，
∴△ADP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）∵CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD＝∠BQC，
∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴四边形ABQP是菱形．
9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
10．（1）证明：∵AE∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
又∵AD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴BD＝CD，
∴AE＝DC，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵DE∥AB，∠BAC＝90°，
∴DO⊥OC，
∴四边形ADCE为菱形，
（2）设OD＝a，
∴DE⊥AC，AO＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：＝，
∴菱形ADCE的周长为4a．
11．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，
∴CF＝FA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AECD是矩形，
∴矩形AECD是正方形．
12．解：（1）在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）当时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：
连接BE，交CF与点H，
∵AC＝DF，
∴AC﹣FC＝DF﹣FC，
即AF＝CD，
若四边形BCEF是菱形时，
∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴．
∵，
即．
在Rt△BCH中，，BC＝3，
∴．
∴，
∴，
∴当时，四边形BCEF是菱形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形．
14．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）①CE⊥CG，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠CDA＝∠DCG，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴CE⊥CG；
②由①知，△ADE≌△CDG，
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，
故答案为：2．
15．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB＝AC（已知），
∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），
∴OA＝OC（等角对等边）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD；
又∵BD＝CD，
∴AE＝CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），
∴∠ADC＝90°，
∴▱ADCE是矩形．
16．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：过C作CH⊥AD于H，
则∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠D＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝CD＝1，
∵AD＝3，
∴AH＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，
即x2＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AF＝CF＝，
∴菱形AECF的周长＝×4＝5．
17．（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）满足条件AB＝AC时四边形BECF为菱形．
理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，
∵AD为中线，
∴AD⊥BC，
即FE⊥BC，
由（1）知，△CFD≌△BED，
∴BD＝CD，ED＝FD，
∴平行四边形BECF为菱形．
18．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝BG，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+6（x+y）＝36，
∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，
∴GQ＝4，
设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，
解得：a＝3，即HR＝3．
当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：
则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，
由①得：TH＝3，
∴PT＝＝＝3，
设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，
∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，
∴y＝6+2x，
∴5y2＝（6+2x）2①，
在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，
由①②得：（x﹣12）2＝0，
∴x＝12，
即HR＝12；
综上所述，HR为3或12，
19．解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF．
（2）BF＝GE，
证明：过点A作AM∥GE交BC于M，
∵EG⊥BF，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAM＝∠CBF，
在△ABM和△BCF中
，
∴△ABM≌△BCF（ASA），
∴AM＝BF，
∵AM∥GE且AD∥BC，
∴AM＝GE，
∴BF＝GE．
20．证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°；
∵ME⊥BD，
∴∠BME＝90°；
∵点O是BE中点，
∴AO＝BE＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA；
同理，∠MOE＝2∠OBM，
∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2（∠OBA+∠OBM）＝2∠ABD＝90°．
（2）DM2+NB2＝MN2，理由如下：
如图2，作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，
∵∠OEF＝∠OBN，OE＝OB，∠EOF＝∠BON，
∴△EOF≌△BON（ASA），
∴FE＝NB，OF＝ON，
∵OM⊥FN，
∴MF＝MN；
∵∠DME＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠MED＝45°，
∴∠MDE＝∠MED，
∴EM＝DM；
∵∠MEF＝∠DME＝90°，
∴EM2+FE2＝MF2，
∴DM2+NB2＝MN2．