初中数学第25章 图形的相似综合与测试复习练习题

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2021-2022学年冀教版九年级数学上册《第25章图形的相似》解答题专题训练（附答案）
1．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是　 　（直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．

2．如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长．

3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC＝AG•AD，求证：EG•CF＝ED•DF．


4．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．



5．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．

6．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．



7．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD．
（1）求证：∠ACF＝∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB．



8．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．
（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；
（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．



9．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？


10．如图，△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P、S分别落在AB、AC边上，Q、R落在BC边上．
（1）求证：△APS∽△ABC；
（2）如矩形PQRS是正方形，求它的边长；
（3）如AP：PB＝1：2，求矩形PQRS的面积．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的值．

12．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯BC下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方．
①计算小亮在路灯AD下的影长；
②计算AD的高．

13．如图正方形ABCD的顶点E，F是AD和CD上的动点，与AC交于P、Q两点，AB＝1．
（1）当AB＝AQ＝CP时，
①求∠EBF的度数；
②求以BQ为边长的正方形面积；
（2）当E，F在AD，CD上运动时，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，则△BEF面积的最小值为　 　（直接写出答案）．

14．如图，已知平行四边形ABCD，过点A作BC的垂线，垂足为点E，且满足AE＝EC，过点C作AB的垂线，垂足为点F，交AE于点G，连接BG．
（1）如图1，若BG＝2，AB＝6，求AC的长度；
（2）如图2，取BE的中点M，在EC上取一点N，使EN＝BE，连接AN，过点M作AN的垂线，交AC于点H，求证：BG＝2CH．

15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

16．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度（结果保留一位小数）．

17．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．
（1）求▱DEFG对角线DF的长；
（2）求▱DEFG周长的最小值；
（3）当▱DEFG为矩形时，连接BG，交EF，CD于点P，Q，求BP：QG的值．

18．如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．

19．如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
（1）如图1，点E在线段AB上时，
①求证：AE＝CF；
②求证：DP垂直平分EF；
（2）当AE＝1时，求PQ的长．

20．如图，在△ABC中．AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝3，AE＝2，求的值．


参考答案
1．（1）解：如图1中，

∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD＝GH，
∵GH∥AD，
∴＝＝＝，
∴＝．
（3）证明：如图2中，

∵GH∥BD，
∴＝，
∵GH∥PA，
∴＝，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴PF∥AG，即PF∥AC．
2．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°，
∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵AE＝3，∠B＝60°，
∴BE＝，CE＝4﹣．
在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，
∴DE＝＝5．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DF＝，
∴EF＝DE﹣DF＝．

3．证明：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°．
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE，
∴∠ADE＝∠A，
∴∠BCD＝∠ADE．
又∠ADE＝∠FDB，
∴∠FCD＝∠FDB．
∵∠CFD＝∠DFB，
∴△CFD∽△DFB，
∴DF2＝BF•CF．
（2）∵AE•AC＝AG•AD，
∴＝．
∵∠A＝∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，
∴△EGD∽△FBD，
∴＝．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴＝，
∴＝，
∴EG•CF＝ED•DF．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
5．（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴＝，
∴，
∴＝
即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠FDE+∠DFE＝90°，
∴∠CDE＝∠DFE，又∴∠DEC＝∠CDF＝90°，
∴△DEC∽△FDC；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DF∥BC，
∴＝＝，
∵△DEC∽△FDC，
∴CE•CF＝CD2＝12，
∴CF＝3，
∴DF＝＝，
∴BC＝AD＝2．
7．证明：（1）∵CG2＝GE•GD，
∴．
又∵∠CGD＝∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC＝∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC．
∴∠ACF＝∠ABD．
（2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴．
又∵∠FGE＝∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴．
∴FE•CG＝EG•CB．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，
∴∠BAG＝∠DEA，
∴△ABG∽△EDA

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，
∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BFE，
∴＝，
∴AD＝BE，
∴BC＝CE，
∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．
9．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
10．（1）证明：∵四边形PQRS是矩形，
∴PS∥QR，
即PS∥BC，
∴△APS∽△ABC；
（2）解：∵四边形PQRS是正方形，
∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR，
∵AD是△ABC得高，
即AD⊥BC，
∴AM⊥PS，
即AM是△APS的高，
∵△APS∽△ABC，
∴，
设PS＝x，
∵BC＝30，高AD＝18，
∴AM＝18﹣x，
∴，
解得：x＝，
∴它的边长为：；
（3）解：∵四边形PSRQ是矩形，
∴PQ⊥QR，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴△PBQ∽△ABD，
∴PQ：AD＝BP：BA，
∵AP：PB＝1：2，
∴PQ＝AD＝×18＝12，
∵△APS∽△ABC，
∴PS：BC＝AP：AB＝1：3，
∴PS＝BC＝10，
∴矩形PQRS的面积为：PS•PQ＝10×12＝120．

11．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠FDC＝∠B，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC，
∴＝．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵△FBD∽△FDC，
∴，
∴＝．

12．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EPA＝∠CBA＝90°
∵∠EAP＝∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴
∴
∴AB＝10
BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；
②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠FQB＝∠DAB＝90°
∵∠FBQ＝∠DBA，
∴△BFQ∽△BDA
∴＝
∴
∴DA＝12．

13．解：（1）①在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝AB＝AQ，
∠BAC＝45°，
∴∠AQB＝＝67.5°，
同理∠CPB＝67.5°，
∴∠EBF＝180°﹣∠AQB﹣∠CPB＝45°，
②∵AB＝BC＝AQ＝CP＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∴PQ＝AQ+CP﹣AC＝2﹣，
又∵∠BAP＝∠PBQ＝45°，∠AQB＝∠BQP，
∴△ABQ∽△BPQ，
∴＝，
即BQ2＝AQ•PQ＝2﹣，
故以BQ为边的正方形面积为2﹣；
（2）如图，延长DC至点G，使CG＝AE，连接BG，
在△ABE与△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG，
∴∠GBF＝∠CBG+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°﹣∠EBF＝45°＝∠EBF，
在△BEF与△BGF中，
，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∴EF＝GF，
在Rt△EDF中，EF2＝DE2+DF2≥2DE•DF，
当且仅当DE＝DF时等号成立，此时EF2最小值＝2DE•DF，
不妨设此时DE＝DF＝a，则AE＝CF＝1﹣a，
EF＝GF＝CF+CG＝CF+AE＝2（1﹣a），
由EF2＝DE2+DF2得：a+a2+[2（1﹣a）]2，
即a2﹣4a+2＝0，
解得a＝2﹣或a＝2+（舍去），
∴EF2最小值＝2a2，
∴EF最小值＝a
∴△BEF面积的最小值＝△BCF面积的最小值＝BC•GF＝EF最小值＝﹣1，
故答案为：﹣1．

14．解：（1）∵AE⊥BC，AE＝EC，
∵AB⊥CF，
∴∠ABE+∠BAE＝∠ABE+∠BCF＝90°，
∴∠BAE＝∠BCF，
在△AEB和△CEG中，
∴△AEB≌△CEG（ASA），
∴BE＝GE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BE＝BG＝2，
在Rt△AEB中，∵AB＝6，
∴AE＝＝4，
∴AC＝AE＝8；
（2）解法一：证明：取GE的中点K，连接KM，KC，
∴GK＝KE，
∵点M和点E为BN的三等分点，
∴ME＝EN＝BM，
∴KM为△BEG的中位线，
∴KM∥BG，KM＝BG，
由（1）知△AEB≌△CEG，
∴BE＝GE，
∴KE＝EN，
∴∠KME＝∠GBE＝∠ACE＝45°，
在△AEN和△CEK中，
∴△AEN≌△CEK（SAS），
∴∠EAN＝∠ECK，
∵AN⊥HM，
∴∠EAN＝∠HME，
∴∠MCK＝∠HNE，
在△MKC和△CHN中，
∴△MKC≌△CHN（ASA），
∴KM＝CH，
∴BG＝2CH．
解法二：过H作HK⊥BC于K，
则△CHK是等腰直角三角形，
∴CK＝HK，
设AE＝EC＝a，EM＝EN＝b，HK＝KC＝x，
∵AN⊥NH，
∴∠EAN+∠ANE＝∠ANE+∠KMH＝90°，
∴∠EAN＝∠HMN，
∴△AEN∽△MKH，
∴＝，
∴＝，
∴x＝b，
∴BE＝2EM＝2HK，
BG＝2CH．

15．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FBA与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴＝＝，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
16．解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M

∵∠ABG＝150°，BE⊥CB
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°
∴∠MFB＝30°
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝米
∵BE⊥CB，MF⊥BE
∴BH∥MF
∴△EBH∽△EMF
∴＝
又∵EB＝1.8米
∴＝
∴BH＝
∵BE∥CD
∴△HBE∽△HCD
∴＝
∵CB＝5
∴＝
∴CD＝15.8米
∴大树CD的高度为15.8米．
17．解：（1）如图1所示：

连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，
∵AB＝3；∴DC＝3，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
∴DF＝＝＝；
故▱DEFG对角线DF的长．
（2）如图2所示：

作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，
连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，
∴ME+DE＞MD，
②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，
∴ME+DE＝MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，
∵MB＝BF，∴MB＝1，
∴MC＝3，
又∵DC＝3，
∴△MCD是等腰直角三角形，
∴MD＝＝＝3，
∴NF+DN＝MD＝3，
∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；
（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，
∵▱DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AED＝∠BFE，
又∵∠A＝∠EBF＝90°，
∴△DAE∽△EBF（AA）
∴，
∴，
解得：x＝1，或x＝2
①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，
如图3（甲）所示：


∵▱DEFG为矩形，
∴∠A＝∠ABF＝90°，
又∵BF＝1，AD＝2，
∴在△ADE和△BEF中有，
，
∴△ADE≌△BEF中（SAS），
∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形；
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
EF＝＝＝，
∴BH＝＝，
又∵△BEF∽△FHB，
∴，
HF＝，
在△BPH和△GPF中有：
，
∴△BPH∽△GPF（AA），
∴
∴PF＝，
又∵EP+PF＝EF，
∴EP＝﹣＝，
又∵AB∥BC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴．
②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，
如图3（乙）所示：

∵▱DEFG为矩形，
∴∠A＝∠EBF＝90°，
∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，
∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：
∴ED＝＝＝2，
EF＝＝＝，
∴∠ADE＝45°，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴EF＝DG，∠EDG＝90°，
∴DG＝，∠HDG＝45°，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴DH＝HG＝1，
在△HGQ和△BCQ中有，

∴△HGQ∽△BCQ（AA），
∴，
∵HC＝HQ+CQ＝2，
∴HQ＝，
又∵DQ＝DH+HQ，
∴DQ＝1+＝，
∵AB∥DC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝，
综合所述，BP：QG的值为或．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；
（2）证明：

∵EF∥AC，
∴＝，＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA＝OC，
∴＝，
即＝，
∴AO∥DP，
∵AD∥CP，
∴四边形ACPD为平行四边形；
（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP＝AD＝BC，
∴＝，
∵AD∥BP，
∴＝＝，
∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，
∵DO＝BD＝，
∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∴EF＝DE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．
19．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAE＝∠DCF＝90°，
∴∠ADC＝∠MDN＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．

②∵△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，∵∠MDN＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAQ＝∠PEQ，∵∠AQD＝∠EQP，
∴△AQD∽△EQP，
∴＝，
∴＝，∵∠AQE＝∠PQD，
∴△AQE∽△DQP，
∴∠QDP＝∠QAE＝45°，
∴∠DPE＝90°，
∴DP⊥EF，∵DE＝DF，
∴PE＝PF，
∴DP垂直平分线段EF．
（2）解：①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x+×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ•PQ＝DQ•EQ，
∴PQ＝＝．
②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE＝＝，
∵∠QAH＝∠QAG＝45°，
∴HQ＝QG＝AH＝AG，设QH＝x，
∵×4×x﹣×1×x＝×1×4，
∵x＝，
∴AQ＝，DQ＝＝，EQ＝，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ•PQ＝DQ•EQ，
∴PQ＝＝．
综上所述，PQ的长为或．

20．（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
解法二：可以直接证明△DAE∽△BAD，得出结论．
（2）解：如图，连接DF．

∵AB＝3，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DF＝AB＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝．