初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时练习

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时练习，共25页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．
（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；
（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．


2．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．

3．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．
（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；
（2）求△BMN面积的最小值．

4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点，且AE＝DF，连接BE、BF．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求四边形BEDF的面积．

5．
6． 菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，EF∥BC交AD于F，连接CF．求证：四边形CDEF是菱形．




7．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．


8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．


9．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求证：四边形ABED是菱形．





10．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC，分别交AC、AD于点F、G，CE交AD于点O．
求证：（1）ED＝CD；
（2）四边形CDEG是菱形．

11．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠ADC＝∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E，B作EF∥AB，BF∥AC，当∠FCE和∠DCE满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由．




13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．
（1）求证：OM∥CN．
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．

14．已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM＝MN＝ND，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形．

15．如图、点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F，B分别作AB，AC的平行线相交于点E、连接BF；若∠ABF＝∠FBC+∠DAC．求证：四边形ABEF是菱形．

16．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证：四边形DEBF是菱形．

17．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．

18．如图，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，∠FBA＝∠DAB，∠BAC＝90°，D是BC的中点．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC和BC的长．

19．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF、OC、OD．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC＝90°如图2所示：
①求证：OD＝OC；
②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．






20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．

参考答案
1．（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝6，
∵E是线段BD的中点，
∴BE＝DE＝3，
∴AE＝BE＝3；
（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，

∵△DAB是等边三角形，
∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，
∴△DGE是等边三角形，
∴DG＝DE＝GE，
∵BF＝DE，
∴GE＝BF，
∵AD＝BD，
∴AD﹣DG＝BD﹣DE，
∴AG＝EB，
∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，
∴∠AGE＝∠EBF，
在△AGE和△EBF中，
，
∴△AGE≌△EBF（SAS），
∴AE＝EF．
2．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠F＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．

3．（1）证明：如图所示，连接BD，

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠NDB＝60°，
故△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，
又AM+CN＝1，DN+CN＝1，
∴AM＝DN，
在△AMB和△DNB中，
，
∴△AMB≌△DNB（SAS），
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，
又∠MBA+∠DBM＝60°，
∴∠NBD+∠DBM＝60°，
即∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．
设BM＝BN＝MN＝x，
则，
故，
∴当BM⊥AD时，x最小，
此时，，
．
∴△BMN面积的最小值为．
4．解：（1）BE＝BF，证明如下：
四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
又∵BD＝4，
∴AB＝BD＝AD，
即△ABD为等边三角形，
∴BC＝CD＝BD，
即△BCD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDC＝60°，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝BD＝2，且BD⊥AC，
在Rt△AOD中，AO＝＝＝2，
∴S△ABD＝BD•OA＝×4×2＝4，
由（1）知△ABE≌△DBF，
∴S△ABE＝S△BDF，
∴S四边形BEDF＝S△BDF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝4．

5． 证明：（1）如图1所示：连接AC．

∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．
∴△ABC等边三角形．
∴E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∵，
∴，
∴F是CD的中点；
（2）如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．
∴∠AEB＝∠AFC．
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠FEC＝20°．
6．证明：如图，∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠3＝∠4，
∵EF∥BC，
∴∠3＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∴EF＝DE，
∴EF∥DC，EF＝DE＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
7．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点
∴，
∴BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴BG＝BC，
∴AD＝BG，
又AD∥BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G＝90°，
∴∠ADB＝∠G＝90°
又∵E是AB中点
∴DE＝BE＝，
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．

8．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴有，
∴△AFE≌△DCE（AAS）．
∴AF＝CD．
∵AF＝BD，
∴BD＝CD，即D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：
连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
同理可证四边形AFDC是平行四边形．
∴FD∥AC．
∵BA⊥AC，
∴BA⊥FD．
∴四边形AFBD是菱形．

9．证明：（1）∵E为BC中点，BD⊥DC，
∴DE＝BC＝BE＝CE，
∵EA平分∠DEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEB，AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD平行四边形，
∴AE＝DC；
（2）由（1）知，四边形AECD平行四边形，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴AD∥BE，
由（1）知，DE＝BE＝CE，
∴AD＝BE＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED是菱形．
10．证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△ADE与△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝DC；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△AGE与△AGC中，
，
∴△AGE≌△AGC（SAS），
∴EG＝CG，
∵△ADE≌△ADC，
∴∠ADE＝∠ADC，
∵EF∥BC，
∴∠EGD＝∠ADC，
∴∠EGD＝∠ADE，
∴ED＝EG，
∴EG＝GC＝DC＝ED，
∴四边形EDCG是菱形．
11．（1）证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°．
在△BCF和△ECH中，，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF＝CH（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°．
∵∠E＝45°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH＝180°﹣∠A＝135°＝∠ACD，
又∵∠A＝∠D＝45°，
∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
∵AC＝CD，
∴四边形ACDM是菱形．
12．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∠FCE＝∠DCE时，四边形EFCD是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE，
又∵∠FCE＝∠DCE，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．
13．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AM＝MN，
∴OM是△ACN的中位线，
∴OM∥CN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD⊥AN，
∴BC⊥AN，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
由（1）可知，OM∥CN，
∴∠MBH＝∠NCH，
在△MBH和△NCH中，
，
∴△MBH≌△NCH（ASA），
∴MH＝NH，
∴四边形BNCM是平行四边形，
又∵BC⊥MN，
∴平行四边形BNCM是菱形．
14．证明：（1）∵点 E、F分别是边BC、DC的中点，BM＝MN＝ND，
∴ME是△BCN的中位线，NF是△CDM的中位线，
∴ME∥NC，NF∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图，连接AC交BD于O，连接EF，
由（1）可知，四边形AMCN是平行四边形，
∴AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，
∵BM＝ND，
∴OM+BM＝ON+ND，
即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵点E、F分别是边BC、DC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠AMN＝∠AEF，∠ANM＝∠AFE，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵OM＝ON，
∴AC⊥MN，
即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

15．证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠FCB，
∵∠ABF＝∠FBC+∠DAC，
∴∠ABF＝∠FBC+∠FCB，
又∵∠AFB＝∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥DB，AD∥CG，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵∠G＝90°，
∴平行四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，又E为边AB的中点，
∴ED＝EB，又四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

17．解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，
∵M、N分别是AD，BC的中点，
∴BN＝DM，
∵在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）证明：
∵M是AD的中点，∠AND＝90°，
∴NM＝AM＝MD，
∵BN＝NC＝AM＝DM，
∴NC＝MN＝DM，
∵NCDM，
∴四边形CDMN是平行四边形，
又∵MN＝DM，
∴四边形CDMN是菱形．
18．（1）证明：∵∠FBA＝∠DAB，
∴BF∥AD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵S菱形ADBF＝40，
∴S△ABD＝S菱形ADBF＝20，
∵D是BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝40，
又∵∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB•AC，
∴×8×AC＝40，
∴AC＝10，
∴BC＝＝＝2，
即AC＝10，BC＝2．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）①证明：过O作ON∥BC交DC于N，如图2所示：
∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O为BE的中点，
∴N为DC的中点，ON⊥DC，
∴OD＝OC；
②解：过O作OM作BC于M，如图3所示：
∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝AE，∠ABC＝90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴EF＝BF＝AE＝1，∠BFE＝90°，∠AEB＝∠AEF＝45°，
∵O为BE的中点，
∴OF＝BE＝OB，
∵OM⊥BC，
∴BM＝FM，
∴OM是△BEF的中位线，
∴OM＝EF＝，
∵∠EOD＝15°，
∴∠ADO＝∠AEB﹣∠EOD＝45°﹣15°＝30°，
由（2）①得：∠BCO＝∠ADO＝30°，
∴OC＝2OM＝1．

20．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBO＝∠FDO，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝8，
∵AD∥EF，AB∥CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE∥BF，BF＝BE＝DF，
∴AE＝BE＝AB＝4，
∴AE＝AD，BF＝BE＝4，
∴四边形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∴AF＝＝＝4．