2021-2022学年青岛版九年级上册数学期中复习试卷（word版 含答案）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学期中复习试卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．且AB＝3，AC＝8，则的值为（　　）

A． B． C． D．

2．2cos30°的值等于（　　）

A．1 B． C． D．2

3．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．

4．计算|1﹣tan60°|的值为（　　）

A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．1﹣

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A．92° B．108° C．112° D．124°

6．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（　　）

A．70° B．110° C．120° D．140°

7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1x2的值是（　　）

A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2

8．关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠2 D．m＜3

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为　    　m．

10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为　      　．

11．计算：﹣（）﹣1﹣（3.14﹣π）0﹣2cos45°＝　   　．

12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，DE⊥AC于E，且AE＝CE，若DE＝5，EB＝12，则tan∠ACD的值为　                　．

13．如果x＝2是方程x2﹣x+k＝0的一个根，则常数k的值为　   　．

14．若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　   　．

15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝55°，则∠AOD的度数为 　    　．

16．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是　    　度．

三．解答题（共7小题，满分72分）

17．（15分）解下列一元二次方程：

（1）x2+10x+16＝0；

（2）x（x+4）＝8x+12．

18．（8分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．

（1）求证：△DFC∽△AED；

（2）若CD＝AC，求的值．

19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．

20．（10分）如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？

21．（10分）如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：AD∥FC；

（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．

22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点C作∠ACP＝∠B，

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）∠ACB的平分线交AB于E，若AB的长为10，∠B＝30°，求AE的长．

23．（10分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．解：∵AB＝3，AC＝8，

∴BC＝AC﹣AB＝8﹣3＝5，

∵直线l1∥l2∥l3，

∴＝，

∴＝，

故选：C．

2．解：2cos30°＝2×＝．

故选：C．

3．解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

C、当＝时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；

D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；

故选：D．

4．解：原式＝|1﹣|＝．

故选：C．

5．解：解法一、连接OD，

∵＝，

∴∠DOC＝∠EOC，

∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，

∴∠DOC＝2∠B＝72°，

∴∠EOC＝∠DOC＝72°，

∵OE⊥EF，

∴∠OEF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＝90°，

∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；

解法二、∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，

∵＝，

∴∠COE＝2∠B＝72°，

∵OE⊥EF，

∴∠OEF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＝90°，

∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；

故选：B．

6．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，

∵∠ACB+∠ADB＝180°，

∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，

∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．

故选：D．

7．解：根据题意得x1x2＝﹣2．

故选：B．

8．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，方程变形为2x+1＝0，解得x＝﹣；

当m﹣2≠0，则Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0，解得m≤3且m≠2，

综上所述，m的范围为m≤3．

故选：A．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．解：设每条纵向小路的宽为xm．

∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，

∴，

解得，x＝1.8，

或，

解得x＝25.8（不符合实际意义）

故答案为：1.8．

10．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，相似比为，EF＝6，

∴BC∥EF，AB＝BC＝2，

∴△OBC∽△OEF，

∴＝，即＝，

解得，OB＝3，

∴点C的坐标为（3，2），

故答案为：（3，2）．

11．解：原式＝2﹣﹣1﹣2×

＝2﹣﹣1﹣

＝﹣1，

故答案为：﹣1．

12．解：在Rt△ABC中，∵AE＝CE，EB＝12，

∴BE＝AC＝AE＝CE＝12，

在Rt△CDE中，∵DE＝5，

∴tan∠DCE＝＝，

故答案为：．

13．解：

∵x＝2是方程x2﹣x+k＝0的一个根，

∴4﹣2+k＝0，解得k＝﹣2，

故答案为：﹣2．

14．解：∵方程有两个相等的实数根，

而a＝1，b＝﹣k，c＝4，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，

解得k＝±4．

故填：k＝±4．

15．解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，

∴∠CAB＝90°，

∵∠C＝55°，

∴∠B＝90°﹣55°＝35°，

由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝70°，

故答案为：70°．

16．解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，

解得：r＝24cm，

又∵l＝＝20πcm，

∴n＝150°．

故答案为：150．

三．解答题（共7小题，满分72分）

17．解：（1）x2+10x+16＝0，

（x+2）（x+8）＝0，

x+2＝0或x+8＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；

（2）x（x+4）＝8x+12，

x2+4x﹣8x﹣12＝0，

x2﹣4x﹣12＝0，

（x+2）（x﹣6）＝0，

x+2＝0或x﹣6＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝6．

18．（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，

∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，

∴∠DFC＝∠AED，

又∵DE∥BC，

∴∠DCF＝∠ADE，

∴△DFC∽△AED；

（2）∵CD＝AC，

∴＝

由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，

故：＝（）2＝（）2＝．

19．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，

则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．

20．解：在Rt△ABD中，cos∠BDA＝，

∴AD＝4×＝（km）；

在Rt△ACD中，cos∠CDA＝，

∴CD＝＝（km）．

∴C点距离雷达站D是km．

21．解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，

∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BDA＝∠CEB，

∵∠CEB＝∠F+∠FCE，

∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，

∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，

∴∠BDA＝∠BCF，

∴AD∥CF；

（2）如图，连接PC，

当△PEC为直角三角形时，可分3种情况讨论：

①∠PCE＝90°或∠CEP＝90°或∠CPE＝90°，

①当∠PCE＝90°时，

∵∠PCE＜∠ACB＝60°，

∴∠PCE＝90°这种情况不存在；

②当∠PEC＝90°时，

∵∠PEC＝∠F+∠ACF，

∵∠F＝60°，

∴∠ACF＝30°，

∴tan∠ACF＝；

③当∠CPE＝90°时，过点A作AH⊥BC于点H，如图，

设AE＝x，则CD＝AE＝x，CE＝6﹣x，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝3，∠HAC＝∠HAB＝30°，

∴HD＝3﹣x，

∵∠BFC＝60°，∠CPE＝90°，

∴∠PCF＝∠HAC＝30°，

∴AD∥FC，

∴∠FCA＝∠DAC，

∴∠PCF﹣∠FCA＝∠HAC﹣∠DAC，

∴∠HAD＝∠PCE，

∵∠AHD＝∠CPE＝90°，

∴△AHD∽△CPE，

∴＝，

∴PE•AD＝HD•CE①，

∵∠BPD＝∠APE＝∠ACB＝60°，

∠PAE＝∠CAD，

∴△PAE∽△CAD，

∴PE•AD＝AE•CD②，

观察①②式可知：

HD•CE＝AE•CD，

∴（3﹣x）（6﹣x）＝x2，

解得x＝2，

∴AE＝2，

过点E作EG⊥AB于点G，

在Rt△AEG中，∠EAG＝60°，

∴AG＝AE•cos60°＝2×＝1，

EG＝AE•sin60°＝2×＝，

∴BG＝AB﹣AG＝6﹣1＝5，

在Rt△BGE中，tan∠ABE＝＝，

∴tan∠ACF＝tan∠ABE＝，

综上所述，当△PEC为直角三角形时，

tan∠ACF的值为或．

22．（1）证明：连接OC，则∠OCB＝∠B，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OCB+∠ACD＝90°，

∵∠ACP＝∠B，

∴∠ACP+∠ACO＝90°，

∴OC⊥PC，

∵OC为半径，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝60°，

∵OA＝OC，

∴△OAC为正三角形，

∴∠CAO＝60°，

∵∠ACP＝∠B＝30°，

∴∠P＝∠CAO﹣∠ACP＝30°，

∴∠P＝∠PCA，

∴AP＝AC，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝45°，

∴∠PCE＝75°，

∴∠PEC＝180°﹣∠P﹣∠PCE＝75°，

∴∠PCE＝∠PEC，

∴PE＝PC，

∵AB的长为10，

∴AC＝，PC＝5，

∴AE＝PE﹣PA＝5﹣5．

23．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，

∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，

∵a2+4≥4，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两个根分别为α和β，

由根与系数的关系得：，

解得：a＜0．