初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》选择专题训练（附答案）
1．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
2．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）

A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．BA⊥AC C．AB＝CD D．∠BAD＝∠ABC
5．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
6．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）

A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n
7．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）

A．30 B．34 C．36 D．40
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB＝BE B．∠ADB＝90° C．BE⊥DC D．CE⊥DE
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（　　）

A．2.5 B．3 C．2.4 D．4.8
11．如图，点E在长方形DC边上，满足∠1＝∠2，AE＝3，BE＝4，则AD的长（　　）

A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
12．下列说法正确的有（　　）个
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（　　）

A．2∠ACE＝∠BAC+∠B B．EF＝2OC
C．∠FCE＝90° D．四边形AFCE是矩形
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC＝110°，则∠AOE的大小为（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
15．如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连接CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）

A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线 D．CP＝AP
16．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD（不完全重合），则四边形ABCD面积的最大值是（　　）

A．15 B．16 C．19 D．20
17．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
18．菱形ABCD的面积为120，对角线BD＝24，则这个菱形的周长是（　　）
A．64 B．60 C．52 D．50
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（　　）

A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ABE＝90° D．BE平分∠DBC
20．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且相互平分的四边形是矩形
B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
21．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CE＝3．若△ABE的面积是8，则线段BE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．8
23．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣1，） C．（﹣，2） D．（﹣1，）

24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
25．下列不能判断是正方形的有（　　）
A．对角线互相垂直的矩形
B．对角线相等的矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
26．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④









参考答案
1．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），
∴H（，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣x+4，
∴x＝3时，y＝，
∴点E坐标（3，）
故选：B．

3．解：连接AP，
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．

4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，BA⊥AC，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题是假命题；
D、一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，原命题是假命题；
故选：A．
6．解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4＝1，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）＝n﹣1．
故选：B．
7．解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC
＝BC×PQ×+BE×PR×
＝BC×（PQ+PR）×
＝BE×CM×，
BC＝BE，
∴PQ+PR＝CM，
∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，
又∵BC＝CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM＝BD＝，
即PQ+PR值是．
故选：D．

8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
C、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．
故选：C．
10．解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB＝3，AD＝4，
∴由勾股定理可得BD＝＝5，S△ABD＝AB•AD＝BD•AG，
即×3×4＝×5×AG，
解得：AG＝，
在矩形ABCD中，OA＝OD，
∵S△AOD＝OA•PE+OD•PF＝OD•AG，
∴PE+PF＝AG＝．
故PE+PF＝＝2.4．
故选：C．

11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠1+∠AED＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AED＝90°．
∵∠2+∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4，
AB＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5．∠C＝90°，
设DE＝x，则CE＝5﹣x，
∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，AD＝BC，
∴AE2﹣DE2＝BE2﹣CE2，
即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，
解得x＝，
∴AD＝＝＝＝2.4．
故选：A．
12．解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确，可以证明两组对角分别相等．
②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；错误；
③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；正确；
④两条对角线相等的四边形是矩形．错误，应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形；
故选：B．
13．解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠BAC+∠B，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACD＝2∠ACE，
∴2∠ACE＝∠BAC+∠B，故A选项正确；
∵EF∥BC，CF平分∠BCA，
∴∠BCF＝∠CFE，∠BCF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠EFC，
∴OF＝OC，
同理可得OE＝OC，
∴EF＝2OC，故B选项正确；
∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，故C选项正确；
∵O不一定是AC的中点，
∴四边形AECF不一定是平行四边形，
∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，
故选：D．

14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，
∴∠ABO＝∠ABC＝55°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOE＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
15．解：∵四边形CDPE是菱形，
∴∠DCP＝∠ECP，
∴CP平分∠ACB，
故选：A．
16．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE＝AF＝3，
∵S四边形ABCD＝AE•BC＝AF•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝9﹣x，
∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×3＝15．
故选：A．
17．解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
18．解：菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝120，
∵BD＝24，
∴AC＝＝10，
∴AB＝，
∴这个菱形的周长＝13×4＝52，
故选：C．

19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
C、∵∠ABE＝90°，∴BD＝DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．
故选：A．
20．解：A、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故该选项正确；
B、对角线相等且相互垂直的四边形不一定是菱形，故该选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，不是正方形，故该选项错误；
D、对角线相互垂直的四边形不是平行四边形，故该选项错误，
故选：A．
21．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
22．解：如图，过E作EM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故选：C．
23．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，
∵B（1，3），
∴DE＝3，BF＝1，
设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，
∵四边形ABCO为正方形，
∴∠BCO＝90°，CB＝CO，
∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OCD＝∠CBE，
在△OCD和△CBE中
，
∴△OCD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，OD＝CE，
即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴C点坐标为（﹣1，2）．
故选：A．

24．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝，
∴EF的最小值为；
故选：D．

25．解：A、对角线互相垂直的矩形可得是正方形，故此选项不符合题意；
B、对角线相等的矩形，不能判定为正方形，故此选项符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形可得是正方形，故此选项不符合题意；
D、对角线相等的菱形可得是正方形，故此选项不符合题意；
故选：B．
26．解：
①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中

∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG＝∠BAP，
∴∠EPG＝∠PFE，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确；
③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
由①可知EF＝AP，
∴EF的最短长度为，故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，
∴EF＝AP≤2，
∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选：A．