初中22.2 相似三角形的判定教学设计

24.2   相似三角形的判定

学习目标要求

1、掌握相似三角形的概念。

2、掌握两个三角形相似的条件。

3、能用两个三角形相似的条件解决问题。

教材内容点拨

知识点1

相似三角形：

1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。

2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。

3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。

4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。

5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。

知识点2

相似三角形判定方法：

相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。

1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。

2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。

4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。

典型例题点拨

例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。

点拨：题中提供了两个条件，一个是关于边的，一个是关于角的，而关于边的条件可转换为角之间的关系，从而可得两个角之间的关系，联系到要求证的结论，可联想到用“AA”来证。

解答：∵AD＝DB，∴∠3＝∠B，又∵∠1＝∠2，∠4＝∠B＋∠2，∠BAC＝

∠３＋∠１，∴∠4＝∠BAC，在△ABC和△EAD中，

  ∠3＝∠B

  ∠4＝∠BAC

  ∴ΔABC∽ΔEAD。

例2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？

点拨：根据条件“BP＝3PC ，Q是CD的中点”可知，结合∠C＝∠D＝90°，可用“SAS”求证。

解答：∵BP＝3PC ，Q是CD的中点，∴，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，在ΔADQ与ΔQCP中，

  ∠C＝∠D

∴ΔADQ∽ΔQCP。

例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

解答：（1）∵∠ACP＝∠PDB＝120°，当＝，即＝，也就是CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB。

（2）∵△ACP∽△PDB。∴∠A＝∠DPB，

∴　∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB

＝∠APC＋∠A＋∠CPD

＝∠PCD＋∠CPD

＝120°。

例4、（2006年福建省南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：

（2）若设，，当取何值时，最大？

（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

点拨：本题主要考察对全等三角形和相似三角形的理解与应用，根据条件注意到

△ABE∽△DEH，并由此得到，从而得到关于x、y的一个条件式，进而得到y与x的一个函数，这是解决第（2）小题的关键；在第（3）小题中，则要从果溯源，要使△BEH∽△BAE，则必须，由此得到关于x的一个方程，解这个方程即可。

解答：（1）AE＝CG，∵四边形ABCD、EBGF都是正方形，∴∠1＝∠2，且AB＝AC、BE＝BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG（全等三角形的对应边相等）。

（2）在△ABE和△DEH中，∠D＝∠A＝90°，∠1＝∠3＝90°－∠AEB，∴△ABE∽△DEH，∴，即，得，∴当时，。

（3）若△BEH∽△BAE，则，即，解得，∴当E点运动到中点时，△BEH∽△BAE。

考点考题点拨

1、中考导航

中考中对相似三角形的考察往往结合其他内容例如平行线、平行四边形来进行，要熟练掌握相似三角形的四种判定方法，特别是“AA”。

2、经典考题追踪

例1、（06天门）点E是   ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于G，则图中相似三角形共有（  ）。

A、2对      B、3对      C、4对      D、5对

点拨：将△BCG、△ADG、△ABC、△ACD分别标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则有Ⅰ和Ⅱ、Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅱ和Ⅳ五对相似三角形。

解答：选D。

例2、（06苏州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。

(1)求证：△EDM∽△FBM；

(2)若DB＝9，求BM。

点拨：由条件“AB＝2CD，E是AB的中点”可得BE＝CD，从而可知四边形

DEBC是平行四边形，由此可证（1），在（1）中结论成立的前提下，利用

相似三角形“对应边成比例”的性质，可求BM。

解答：（1）∵AB＝2CD，且E是AB的中点，∴BE＝CD，又∵BE∥CD，

∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△EDM∽△FBM；

（2）∵△EDM∽△FBM，∴（相似三角形的对应边对应成比例），∵F是CD的中点，∴，∴，令BM＝x，则DM＝2x，∴BD＝3x＝9，∴x＝3，∴BM＝3。

例3、（06年锦州）点D是△ABC中AB边上的一点，过点D作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线最多有____条。

点拨：要使所截得的三角形与△ABC相似，则所截三角形的三个内角与△ABC的三个角对应相等，如果所截三角形与△ABC以∠A为公共角，则以有一个角已经相等，只要另一个角对应相等即可，由此有∠1＝∠B、∠2＝∠C或∠3＝∠B、∠ADF＝∠C两种情况；如果所截三角形与△ABC以∠B为公共角，则同理也有两种情况，所以经过D点共有4种不同直线可截三角形与△ABC相似。

解答：4。

易错点点拨

易错点1、相似三角形识别不准确。

易错点导析：两个相似三角形中对应角相等，对应边对应成比例，然而不对应的角和不对应的边之间并没有特别的关系，在应用相似三角形的性质时要特别注意边、角的对应，不能随便得出角相等，边成比例。

例1、如图，△ABC是等边三角形，AB＝3cm，分别延长BC、CB至E、D，使得CE＝2cm，∠EAC＝∠D，求BD的长。

错解：BD＝2cm。

错解点拨：由题中条件可知△ABD∽△ECA，其中A点与E点对应，D点与A点对应，B点与C点对应，∴，而不是。

解答：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠EAC＝∠D，∴△ABD∽△ECA，∴，即，解得BD＝4.5cm。

例2、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______。

错解：△DAC。

错解点拨：由题中条件可知∠EAB＝∠DAC，容易使人设想△AEB与△ACD相似，但是∠E与∠C不一定相等，∴△AEB与△ACD不一定相似，实际上，由于∠E是△AEB与△CEA的公共角，∴应该有△AEB∽△CEA。

正解：△CEA。

易错点2、考虑问题不全面，思维不谨慎。

例：如图，Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，则与△ABD相似的三角形有几个？分别是哪几个？

错解：△ADC。

错解点拨：通过图形观察，容易得到△ABD∽△CAD，但是还有△ABD∽△CBA应引起我们的注意。

正解：与△ABD相似的三角形有2个，分别是△CAD和△CBA。

易错点3、考虑问题时思维无序，方法混乱。

例：如图，平行四边形ABCD中，C是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形（不包括全等）共有（   ）。

A．3对  B．4对  C．5对  D．6对

错解：B

错解点拨：在做这类题时，如果不按照一定的方法，思维很容易混乱，造成少解或重复计数，可以先去掉BD，考虑较简单的情况（如图所示），此时有△CFG∽△DFA、△CFG∽△BAG、△BAG∽△DFA三对，添加了BD后，又增加了△ADE∽△GBE和△ABE∽△FDE两对，所以共有5对。

正解：5。

拓展与创新

1、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：

(1)图中共有      个三角形。

(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。

点拨：（1）中三角形的个数可以按照单个三角形和复合三角形两类来分开数；（2）中注意到∠DAE＝45°，∴有△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC两对。

解答：（1）图中有△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC、△ABC、△AFG共7个三角形。

（2）图中共有两对相似三角形，分别是△ADE∽△BAE、△ADE∽△DAC。

2、如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)、B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为       或        时，使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)。

点拨：要使△BOC∽△AOB，因为∠O是公共角，根据“SAS”，只要即可，由此可得，解得OC＝1，∴C点的横坐标可为±1。

解答：（1，0）、（-1，0）

3、如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，BP⊥CM于P，N在BC上且BN＝BM，连结PD。

求证：DP⊥NP。

点拨：要证DP⊥NP，只要能证明∠BPN＝∠CPD即可，可考虑证明△BPN∽△CPD，利用Rt△BPM∽Rt△CPB，得比例式，等量代换后得，再完成∠PCD＝∠PBN的证明，即可得证。

证明：∵BP⊥CM于P，∴∠BPM＝∠CPB＝90°，又∵∠CBM＝90°，∴∠PBM＝∠BCP＝90°—∠CBP，∴Rt△BPM∽Rt△CPB，∴，∵BC＝CD，∴，∵∠PCD＝∠PBN＝90°—∠BCP，∴△BPN∽△CPD，∴∠DPC＝∠NBP，∴∠DPN＝∠CPB＝90°，∴DP⊥NP。

学习方法点拨

注意相似三角形的对应顶点及对应边，即两个相似三角形是通过什么样的变换对应在一起的，在学习的初始阶段，可以制作一些模型，帮助形成相应的几何直观。

随堂演练

1、如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽。

  第（1）题           第（2）题           第（3）题              第（4）题

2、如图，cm，则cm。

3、如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____。

4、如图，在四边形ABCD中，cm，cm，cm，cm，则CD的长为__________cm。

5、如图，在正方形网格上有6个三角形：①，②

，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥

中与①相似的是         。

第（5）题

6、在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝      。

7、如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对。

8、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（     ）

A、 1对　　B、 2对    C、 3对　　D、 4对

9、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（   ）

A. ∠B＝∠C      B. ∠ADC＝∠AEB     C. BE＝CD，AB＝AC       D. AD∶AC＝AE∶AB

第（7）题                    第（8）题                   第（9）题

10、如图，D是△ABC的边AB上一点，在条件（1）∠ACD＝∠B，（2）AC2＝AD·AB，（3）AB边上与点C距离相等的点D有两个，（4）∠B＝∠ACB中，一定使△ABC∽△ACD的个数是（　　）

A.1　　　   B.2　　　   C.3　　  　D.4

11、如图，E是平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（   ）。

A．1对     B．2对     C．3对     D．4对

第（10）题                   第（11）题                 第（13）题

12、有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（   ）

A．全等  B．相似  C．既不全等与也不相似  D．无法确定

13、已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=90° 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：ΔEAC∽ΔCBF。

14、如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似。

第（14）题                    第（15）题               第（16）题         

15、如图，在梯形ABCD中，，求AB的长。

16、已知：如图所示，D在△ABC上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且，

求证：△AEF∽△ACD。

17、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。

随堂演练答案

1、∠B，∠ACB

2、1.5cm

3、△BAC

4、13.5cm

5、③、④、⑤

6、或

7、6对

8、C。9、C

10、B

11、C

12、B

13、∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠E＋∠ACE＝45°，又∵∠ECF＝45°，∴

∠E＋∠F＝45°，∴∠ACE＝∠F，同理∠BCF＝∠E，∴ΔEAC∽ΔCBF。

14、∵∠A＝∠E＝47°，且，∴，△ABC∽△EFD。

15、在梯形ABCD中，△OAB∽△OCD，∴，∴，解得AB＝4.5。

16、∵DE∥BC，∴△AED∽△ACB，∴，又∵，∴，∴，∵∠A是公共角，∴△AEF∽△ACD。

17、（1）△ADE∽△ABC，“AA”（2）△AED∽△ABC，“AA”（3）△CDE∽△CAB，“AA”（4）△ABE∽△CDE“SAS”（5）不存在相似三角形。

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