2021学年23.2解直角三角形及其应用教学设计

第3课时　解直角三角形的应用(2)

教学目标

1．对于测量和计算底部不可到达的物体的高度，要善于将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

2．掌握在实际问题中通过添加辅助线构造成两个直角三角形解决实际问题．

教学重难点

利用辅助线构造成两个直角三角形解决实际问题．

教学过程

导入新课

以自然景色奇绝著称的佳山，风景秀丽．如果已知佳山电视塔塔身的高度为40米，如何利用测角仪得到佳山的高度？

工具：卷尺、测角仪

(此问题为底部不可到达的物体高度的测量)

推进新课

一、合作探究

【问题1】 出示课本例5测量电视塔高度的方法，让学生画出数学模型，求出电视塔的高．

解决此问题的关键在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用正切解直角三角形．此种类型的问题一般是通过两个直角三角形，利用两次正切求解．

【问题2】 在我们的某一方向有一物体，应怎样确定其方向呢？

方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图(1)中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图(1)的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．

方位角的定义：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图(2)中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°.

【问题3】 如图，一船以20 n mile/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，继续航行1 h到达B处，再测得灯塔C位于北偏东30°，已知灯塔C周围10 n mile内有暗礁．问这船继续向东航行是否安全？

如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．

此题应从C点向AB作垂线，如图，问这船继续向东航行是否安全，实际是比较CD的长与10的大小，所以利用Rt△ACD和Rt△BCD中∠CAD，∠CBD的正切值求CD的长是关键．

二、巩固提高

利用上面解决问题的方法，试设计一种测量方案，解决引入中测量佳山高度的方法．

让学生发挥想象力，设计出不同的方案，教师给予指导，选出设计合理、简便的方法．

三、随堂练习

如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90 m，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的俯角β为60°，求甲、乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值)

本课小结

1．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；

(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；

(3)得到数学问题的答案；

(4)得到实际问题的答案．

2．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，利用两个直角三角形进行求解．