初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形22.2 相似三角形的判定教案

教学

目标

1. 理解相似三角形概念，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边.
2. 会用三角形一边的平行线的判定定理进行计算和作比较简单的证明.
3. 通过复习前面所学过的有关知识，加深对定理的理解，提高学生利用已学知识证明新命题的能力，并在探索相似三角形条件的过程中，培养学生有条理的分析和推理能力.

教材

分析

内容

分析

相似三角形的判定是本章的重点内容之一.本节课是相似三角形的判定的第一课时，首先讲述了相似三角形概念，然后通过探究得出三角形一边的平行线的判定定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且还是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.

教学

重点

掌握三角形一边的平行线的判定定理.

教学

难点

三角形一边的平行线的判定定理的探索及证明.

                              教学过程设计

问题与情景

        师生活动

    设计意图

一.复习回顾

1. 辨析

（1）    四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？

（2）    四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？

2.什么样的两个多边形是相似多边形？

3.什么是相似比？

教师提出问题，学生思考.

对于第1题可提示学生举出反例回答，第2题应强调“对应角相等”指一个多边形的每一个内角与另一个多边形的每一个内角对应相等，“对应边长度的比相等”指每组对应边的长度的比值相等.

通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待.

二.    引入新知

（投影）如图1，△ABC与

△A′B′C′相似.

             图1

阅读：

1. 相似三角形的定义

2. 相似三角形的表示.

3. 相应三角形中的边角对应关系.

4. 相似比的概念

提问：

1已知△ABC∽△DEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出它们的关系.

2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似”你还能指出它们的对应关系吗？

3.已知△ABC∽△DEF，AB=2,DE=3,则△ABC与△DEF  的相似比和△DEF与△ABC的相似比是否相等？如果不相等，和满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？

教师指出：在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.

板书课题：24.2相似三角形的判定

观察投影，带领学生学习有关概念

1. 图1中的两个三角形记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”
2. 对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∠C=∠C′，

==

3. 教师强调：写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”,没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系.

4. 将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为，即AB: A′B′=BC:B′C′=CA:C′A′=，△A′B′C′∽△ABC的相似比记为，即A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA=,因此=.一般情况下=.当且仅当这两个三角形全等时，才有==1.因此，三角形全等是三角形相似的特例
5. 三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′

通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、表示方法、对应关系，相似比.

紧接着提出问题，学生思考后回答，根据学生回答的情况，可作必要的提示，对于学生的回答，教师要用鼓励性的语句进行评价，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比的概念.

三.    类比猜想

1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？

2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？

3.猜想：两个三角形相似是不是也是如此？

学生回忆多边形全等的条件，三角形全等的判定.

引导学生类比猜想两个三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等，所有的对应边成比例也可相似.

通过让学生回忆三角形全等的知识，培养和提高学生对类比数学思想的认识和理解.

四.    探究论证

（投影）如图2在△ABC中，D为AB上任意一点，如图所示.过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

即:

已知:在△ABC中，DE ∥BC, DE分别交AB，AC于D，E.

求证： △ADE∽△ABC.

      图2

1.根据相似多边形的定义△ADE与△ABC相似必须满足哪些条件？

2.已经具备哪些条件？为什么？

3.还缺少什么条件？解决这个问题的关键在哪里？怎么解决？

教师提出问题.

学生观察思考交流后回答.

1. 由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C,==.
2. 已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C ，=
3. 还需要条件：==.
4. 突破：将DE平移到BC上（可过点D作AC的平行线，交BC于F，则CF=DE）,运用定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.即可得到==.
5. 学生集体叙述，教师板书

证明   过点D作AC的平行线，交BC于F.

∵DE∥BC,DF∥AC，

∴=，=.

因为四边形DFCE是平行四边形，

∴DE=FC，=

∵==，

又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC.

将探究的过程细化分解是为了降低难度，使学生更容易自主探究，由浅入深，使探究的过程充满乐趣，增强了学生探究的信心.

通过系列的思考学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关，最终解决问题.

提问过程中学生自主分析已知条件，找出问题的瓶颈所在，适时渗透转化的数学思想.

培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范学生证明的基本步骤和书写格式.

五.    定理归纳

由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？如图3所示（投影）

学生回答，教师归纳，板书定理  平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.

符号语言

  在△ABC中,

若 DE∥BC,（如图3所示)

  则 △ADE∽△ABC.

让学生学会正确表述定理，掌握用符号语言表达定理，理解定理表述的严密性，养成严谨的数学学习习惯.

六.巩固练习

（投影）如图4，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F,交AB的延长线于点E.

（1）请写出图中相似的三角形；

（2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式；

（3）请说明AE·BF与AD·BE是否相等？

            图4

学生分组讨论、交流，教师巡视指导，然后请三位学生板书答案.

教师对学生的答案进行点评，给出正确答案：

（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；

（2）举一例：在△EBF∽△EAD中有==，还有两种情形鼓励学生自行解答.

(3)由（2）可得AE·BF=AD·BE.

强调：（1）书写时要注意顶点的对应关系，严格按要求书写，养成严谨的学习习惯.

（2）灵活运用定理，把握定理的本质，抓住平行线这一线索，问题就会迎刃而解.

培养学生正确运用所学知识的应用能力，巩固所学的定理.

七.目标总结.

本节课我们学习了哪些内容？你掌握了哪些知识？还有什么问题？

学生回顾，发表自己对本节课的认识，教师作点评.

教师归纳所学内容后指出：本节课渗透了类比和转化的数学思想，有了这节课所学的定理作为基础，下一节课学习相似三角形的判定定理就会易如反掌.

   注意培养学生的数学思想和归纳概括能力，教师设疑，激发学生学习的兴趣.

八.作业设计

1.课本中本节练习

2.习题24.2 第4题

3. （投影）补充练习：如图5，△ABC中BD是角平分线，过点D作DE∥AB交BC于E,AB=5cm，BE=3cm，求EC的长.

        图5

教师布置作业

巩固和检验所学知识，使学生得到提高和发展.