数学九年级上册2.1 一元二次方程教案

预设

目标

1、一元二次方程的相关概念；

2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；

3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；

4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；

5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；

教学

重难点

重点：运用知识、技能解决问题。

难点：解题分析能力的提高．

教具  准备

教法

学法

合作，探究，讨论

教

学

过

程

一、知识梳理

1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法

4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。

5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）

当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1•x2=。

若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2==  -p   ， x1•x2=  q 。

6、一元二次方程的应用。

二、基本知识训练

1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【   】

A． B．  C． D．

4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。

5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【   】

A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4    C．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16

6、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【    】  

A．   B．    C．   D．

三、典型例题分析

【例1】用适当的方法解下列方程：

⑴x2﹣4x+2=0              ⑵

【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值．

【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.

【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；

 （2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；

 （3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：打九折销售；

方案二：不打折，每吨优惠现金200元。

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。

四、经典考题训练

1、下列方程，是一元二次方程的是               。

 ①3x2+x=20，   ②2x2-3xy+4=0，   ③，

 ④ x2=0，      ⑤

2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m=          。

3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【    】

A．1      B．    C．2      D．

4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【    】

A、1       B、      C、1或      D、0.5

5、方程的解是                     ．

6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：               ．

7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是                   ．

8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=           ．

9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　        　．

10、用适当的方法解下列方程：

⑴x2-2x-3=0                   ⑵x(x-2)+x-2=0  

 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8       ⑷x2-3x-1=0

11、先化简，再求值：

，其中是方程的根．

12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值.

14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

15、阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0  ①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用          法达到_ _    __的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．

16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

板

书

设

计

一元二次方程的应用

       例1              例2               例3                

        例4              例5              

学生练习

作业

教材第56--58页：复习题