湘教版九年级上册2.1 一元二次方程优秀课时练习

2.2.3 用因式分解法解一元二次方程

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．一元二次方程x2﹣x=0的根为（　　）

A．x=1    B．x=0    C．x1=0，x2=1  D．x1=1，x2=﹣1

2．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（　　）

A．5    B．7    C．8    D．10

3．方程x2﹣2x=3可以化简为（　　）

A．（x﹣3）（x+1）=0      B．（x+3）（x﹣1）=0 

C．（x﹣1）2=2       D．（x﹣1）2+4=0

4．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（　　）

A．﹣1或   B．1或﹣   C．1或﹣   D．1或

5．若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）

A．（x+5）（x﹣6）     B．（x﹣5）（x+6） 

C．（x+5）（x+6）          D．（x﹣5）（x﹣6）

二．填空题（共5小题，每题8分）

6．一元二次方程x2﹣x=0的根是　   　．

7．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是　   　．

8．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为　   　．

9．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a、b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的极差是　   　．

10．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为　   　．

三．解答题（共2小题，每题20分）

11．解方程：（x+1）2=3（x+1）

12．解方程：

（1）3（x﹣1）2=x（x﹣1）

（2）x2+1=3x．

试题解析

一．选择题

1．C

【分析】方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．

【解答】解：原方程可化为：x（x﹣1）=0，

x=0或x﹣1=0；

解得x1=0，x2=1；故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2．A

【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=7，ab=12，利用勾股定理得到矩形的对角线长=，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长为5．

【解答】解：设矩形的长和宽分别为a、b，

则a+b=7，ab=12，

所以矩形的对角线长====5，

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了矩形的性质．

3．A

【分析】先移项，再分解因式，即可得出选项．

【解答】解：x2﹣2x=3，

x2﹣2x﹣3=0，

（x﹣3）（x+1）=0，

故选：A．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．

4．B

【分析】直接利用2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数得出2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0，进而整理利用十字相乘法分解因式得出即可．

【解答】解：∵2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，

∴2x2+1+4x2﹣2x﹣5=0，

则3x2﹣x﹣2=0，

（x﹣1）（3x+2）=0，

解得：x1=1，x2=﹣．

故选：B．

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．

5．B

【分析】根据题意可知x2+mx+n可分解为（x﹣5）（x+6）从而可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x2+mx+n=0的两个实根分别为5，﹣6，

∴x2+mx+n=（x﹣5）（x+6）

故选：B．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意进行因式分解，本题属于基础题型．

二．填空题

6．x1=0，x2=1

【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，

可得x=0或x﹣1=0，

解得：x1=0，x2=1．

故答案为：x1=0，x2=1．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．

7．13

【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．

【解答】解：x2﹣6x+8=0，

（x﹣2）（x﹣4）=0，

x﹣2=0，x﹣4=0，

x1=2，x2=4，

当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，

当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，

故答案为：13．

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．

8．-1

【分析】根据题意可以求得方程x2+2x﹣3=0与=相同的解，从而可以求得a的值．

【解答】解：由x2+2x﹣3=0得

x1=﹣3，x2=1，

∵=中x≠﹣3，

∴方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，这个解是x=1，

∴，得a=﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查解一元二次方程、分式方程的解，解答本题的关键是明确解方程的方法．

9．4

【分析】直接利用十字相乘法分解因式解方程即可，再利用极差的定义求出答案．

【解答】解：x2﹣3x+2=0

（x﹣1）（x﹣2）=0，

解得：x1=1，x2=2，

故这五个数据为：1，2，3，4，5

则这五个数据的极差是：5﹣1=4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及极差的定义，正确解方程是解题关键．

10．1

【分析】根据题意列出方程，解方程即可．

【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，

整理得，3x+3=6，

解得，x=1，

故答案为：1．

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．

三．解答题

11．【分析】把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程两个根．

【解答】解：（x+1）2﹣3（x+1）=0，

（x+1）（x﹣2）=0，

∴x+1=0，x﹣2=0，

解得x1=﹣1，x2=2．

【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，把右边的项移到左边后，可以用提公因式的方法进行因式分解，求出方程的两个根．

12．【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；

（2）根据公式法，可得答案．

【解答】解：（1）方程整理，得

3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0

因式分解，得

（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]=0

于是，得

x﹣1=0或2x﹣3=0，

解得x1=1，x2=；

（2）方程整理，得

x2﹣3x+1=0

∵a=1，b=﹣3，c=1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，

∴x==，

即x1=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．