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2020-2021学年2.1 一元二次方程学案
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这是一份2020-2021学年2.1 一元二次方程学案，共40页。学案主要包含了挑战自我，我学会了，巩固练习，课前预习，课堂活动，课后巩固等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程导学案
班次 姓名
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
学习过程：
创设情境：
建造一个面积为20平方米，长比宽多1米的长方形花坛，问
它的宽是多少？ x+1
x
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
自学课本26--27页,并完成下列各题：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是：
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
自主探究：
自主学习P27页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1） （2）
(3) 3x²-x=0 (4) ( x + 2)² = 4 (5) x²=0
在找一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数，必须先做什么 ，再做什么 。
【巩固练习】教材第28页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
作业：28页第1题，29页第5题
达标测评（家作）
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
解一元二次方程
配方法导学案（一）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥ 0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
学习过程：
自主探索
自学P30-- P31例1、2及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
（3）（x＋1）2－4＝0； （4）12（2－x）2－9＝0.
总结归纳
1、解这样特殊的一元二次方程的步骤：先把方程化成=p或（mx+n）=p(p≥ 0)形式，再
2、解这样的一元二次方程我们利用的是什么数学思想：
巩固提高：仿例完成P31页练习
课堂小结：你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）x2-12=0 （4）x2-2=0
（5）2x2-3=0 （6）3x2-=0
（7）12y2－25＝0； （8）（t－2）（t +1）=0；
（9）x2+2x+1=0 （10）x2+4x+4=0
（11）x2-6x+9=0 （12）x2+x+=0
配方法导学案（二）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
学习过程：
复习检测：
练一练 ：填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
自主学习，合作交流
1、自学P32-33探究与例3。
2、用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是 ：x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
精讲点拨
我们把方程x2+6x-16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究，完成练习：
用配方法解下列方程：
（1）x²-12x-1=0 （2） x²+2x-3=0
巩固提高：完成P33页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2－5x－6＝0. 3、x2-x=6
4、 x²-2x-3=0 5、 x²+6x-4=0
6、 x²+12x+10=0 7、x²-4x+3=0 8、x²-6x-8=0
9、x²+12x-15=0 10、 x²+1=3x
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
配方法导学案（三）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
学习过程：
复习检测：
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2－5x－6＝0.
自主学习，合作交流
1、自学P34动脑筋与例4。
2、用配方法解下列方程：
（1） （2）
练习：用配方法解下列方程：
1、2x2-x=6 2、2x²+12x+10=0 3、9x²-6x-8=0
自主学习，深入探究
1、自学P35议一议。
2、用配方法解下列方程：
(1)-2x²+4x-8=0 (2)-x²+4x-12=0
总结规律
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程？有哪些步骤？
精讲点拨：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时一定记住先把二次项系数化成1后，再用配方法解
巩固提高：完成P35页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程
1、3x²+6x-4=0 2、2x²+1=3x 3、4x²-6x-3=0
公式法导学案
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
学习过程：
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
x＝ ( b2－4 ac≥0)
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
巩固练习
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
深入探究：自学P36-- P37页例5，例6,完成下列特别各题：
应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（）,则该一元二次方程（ ）实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
巩固提高：完成P37页练习
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、 重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
学习过程：
【课前预习】阅读教材P37 —39,完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。
（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1） （2）
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1、 用因式分解法解下列方程
(1) (2)
（） (4)
例2、 用因式分解法解下列方程
（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3） （4）3x2-12x=-12
活动3：随堂训练
1、 用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1） 将方程右边化为
（2） 将方程左边分解成两个一次因式的
（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程的根是
2．方程的根是________________
3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．
7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0
解一元二次方程习题课
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16；
.4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
一元二次方程根的判别式(1)
学习目标
1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；
2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
导学流程
复习（5分钟）
利用公式法解解下列方程
（1）4x²-6x=0 (2)x²-6x+9=0 （3）x²-x+8=0
创设情境（1分钟）
不解方程你能判断解下列方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（x＋8）＝16 （4）（x＋2）（x－5）＝1；
这就是我们今天所要探究的内容。
自主学习（10分钟）
1、教材43—44页
2、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：（填相等或不相等）
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
3、想一想，我们运用了什么学习方法？
精讲点拨(2分钟)
1、这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
2、用一元二次方程的根的判别式判断方程根的情况一定注意
3、运用跟的判别式解决问题，如果二次项系数中含有字母，一定要考虑二次项系数不为0的条件。
合作交流（10分钟）
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（x＋8）＝16 （4）（x＋2）（x－5）＝1；
拓展提高（10分钟）
已知关于 的方程 ， 问 k 取何值时，这个方程
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
课堂小结（3分钟）
①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?
当堂检测（5分钟）
1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
课外思考
1、 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含字母，要考虑二次项系数不能为0这个条件。
2、已知：关于的方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
3、.已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
一元二次方程根与系数的关系(2)
学习目标
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4、培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
学习重点 根与系数的关系及其推导
学习难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
学习过程
一、复习引入
1.已知方程 x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。
2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？
3．有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=.观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b 2-4ac与-b-√b 2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程 x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结:1.根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p, x1. x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
（可以利用求根公式给出证明）
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
例3：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例4：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.
变式一：已知方程的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程的两根互为倒数，求k；
三、巩固练习
1.已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值.
2.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
四、应用拓展
1.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
2.已知两数和为8，积为9，求这两个数.
3. x2-2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6.是否正确？
五、归纳小结
1.根与系数的关系：
2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零.
六、布置作业
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。
（1）x2-5x-3=0 (2)9x+2= x2 (3) 6 x2-3x+2=0 (4)3x2+x+1=0
2. 已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.
3. 已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2求另一根及b的值.
课后反思：
一元二次方程根与系数的关系(2)
学习目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题；
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
4. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
教学重点:一元二次方程根与系数关系的灵活运用
学习难点: 某些代数式的变形
学习过程
一、复习引入
一元二次方程的根与系数的关系：
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，
那么：
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，
那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用
二、探索新知
例1. 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
三、巩固练习
1.已知方程的两个根为，求的值.
2.若m，n是方程的两个实数根,求代数式的值.
例2已知关于x的方程的两个实数根的平方和是11，求k的值.
提示：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零.
练习：若关于x的方程的两根是，且满足 ，
求实数m的值.
四、应用拓展
m为何值时,（1）方程有两个不相等的正数根？
（2）方程的两根异号？
五、归纳小结
1.利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来）
2.已知两根满足某种关系式，求字母的值.（注意判别式要大于等于零）
六、布置作业
已知x1， x2是方程5 x2-7x+2=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
(1) x12+x22 (2)( x1+x2)2 (3)
课后反思：
一元二次方程的应用(1)
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究1：两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二、巩固练习（列出方程）
1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三、应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
四、课堂检测
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
一元二次方程 的应用(2)
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
导学流程：
一、复习引入
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是 元，总件数应是
解：设每张贺年卡应降价x元
二、自主探究：教材50页例2
三、练习教材50页的练习
四、提高练习
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?
五、小结：
六、课堂检测：
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有多少人．
2．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
3．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
一元二次方程的应用(3)
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程：
一、复习引入
说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 （学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
三、、自主探究：教材51——52页例3
四、练习教材52页的练习
五、提高练习
1、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考： (1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
2、.如图22－3－4所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
六、小结
七、课堂检测
（一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
图22-10
（二）、综合提高题
1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3．谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
一元二次方程（复习课）
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。
例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________ （2）
（3） （4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5
4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2= ；x1 ·x2= ____________
例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。
典例精析
例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
例2：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；(3)5x2－4x－12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x. （5）（x＋1）（x－1）＝
（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
巩固练习
1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：（1） x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ；
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)
7、在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，则参赛队有多少支队。
8、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
《一元二次方程》测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解为（ ）
A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2－2x－99=0化为(x－1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2－7t－4=0化为 D.3y2－4y－2=0化为
6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2 B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2－5xy－6y2=0（xy≠0）,则＝6或＝－1
D.若分式值为零，则x＝1，2
7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
9、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
10、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
11、方程的解是________,方程的解是__________。
12、若方程mx2+3x－4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
13、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x－6的值互为相反数，则x= .
14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解答题(每小题7分，共28分)
15、解方程： 16、解方程x2 —4x+1=0
17、解方程：3x2+5(2x+1)=0 18、解方程：3(x－5)2=2(5－x)
四、应用题
19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
20.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
21、（10分）已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。
22、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
一元二次方程导学案
班次 姓名
学习目标：
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
学习过程：
创设情境：
建造一个面积为20平方米，长比宽多1米的长方形花坛，问
它的宽是多少？ x+1
x
你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？
探究新知
自学课本26--27页,并完成下列各题：
1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？
2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？
观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈
【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
其中为一元二次方程的是：
【我学会了】
1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
自主探究：
自主学习P27页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1） （2）
(3) 3x²-x=0 (4) ( x + 2)² = 4 (5) x²=0
在找一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数，必须先做什么 ，再做什么 。
【巩固练习】教材第28页练习
归纳小结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、学习过程中用了哪些数学方法？
3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？
作业：28页第1题，29页第5题
达标测评（家作）
（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（ ）（2） ( )
(3) （ ） (4) ( )
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;
（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.
3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；
（1） ±1 ±2；
（2） ±2， ±4
（B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使是一元二次方程，则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
解一元二次方程
配方法导学案（一）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥ 0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
学习过程：
自主探索
自学P30-- P31例1、2及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
（3）（x＋1）2－4＝0； （4）12（2－x）2－9＝0.
总结归纳
1、解这样特殊的一元二次方程的步骤：先把方程化成=p或（mx+n）=p(p≥ 0)形式，再
2、解这样的一元二次方程我们利用的是什么数学思想：
巩固提高：仿例完成P31页练习
课堂小结：你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）x2-12=0 （4）x2-2=0
（5）2x2-3=0 （6）3x2-=0
（7）12y2－25＝0； （8）（t－2）（t +1）=0；
（9）x2+2x+1=0 （10）x2+4x+4=0
（11）x2-6x+9=0 （12）x2+x+=0
配方法导学案（二）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
学习过程：
复习检测：
练一练 ：填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)________________________________________________
(2)________________________________________________
自主学习，合作交流
1、自学P32-33探究与例3。
2、用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即 （______）2＝____.
所以 x－3＝____.
原方程的解是 ：x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____，
即 _____________________
所以 ___________________
原方程的解是： x1＝______________x2＝___________
精讲点拨
我们把方程x2+6x-16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？
深入探究，完成练习：
用配方法解下列方程：
（1）x²-12x-1=0 （2） x²+2x-3=0
巩固提高：完成P33页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2－5x－6＝0. 3、x2-x=6
4、 x²-2x-3=0 5、 x²+6x-4=0
6、 x²+12x+10=0 7、x²-4x+3=0 8、x²-6x-8=0
9、x²+12x-15=0 10、 x²+1=3x
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
配方法导学案（三）
学习目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；
难点：配方的过程。
学习过程：
复习检测：
用配方法解方程：
1、x2＋8x－2＝0 2、x2－5x－6＝0.
自主学习，合作交流
1、自学P34动脑筋与例4。
2、用配方法解下列方程：
（1） （2）
练习：用配方法解下列方程：
1、2x2-x=6 2、2x²+12x+10=0 3、9x²-6x-8=0
自主学习，深入探究
1、自学P35议一议。
2、用配方法解下列方程：
(1)-2x²+4x-8=0 (2)-x²+4x-12=0
总结规律
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程？有哪些步骤？
精讲点拨：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程时一定记住先把二次项系数化成1后，再用配方法解
巩固提高：完成P35页练习
课堂小结
你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？
达标测评
用配方法解方程
1、3x²+6x-4=0 2、2x²+1=3x 3、4x²-6x-3=0
公式法导学案
学习目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；
难点：推导求根公式的过程。
学习过程：
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝______－,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
x＝ ( b2－4 ac≥0)
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
巩固练习
(1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.
深入探究：自学P36-- P37页例5，例6,完成下列特别各题：
应用公式法解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x.
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（）,则该一元二次方程（ ）实数根。
(4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。
巩固提高：完成P37页练习
课堂小结
1、一元二次方程的求根公式是什么？
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
达标测评
（A）1、应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、 重点：应用分解因式法解一元二次方程
2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
学习过程：
【课前预习】阅读教材P37 —39,完成课前预习
1：知识准备
将下列各题因式分解
am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
2：探究
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
3、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。
（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1） （2）
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1、 用因式分解法解下列方程
(1) (2)
（） (4)
例2、 用因式分解法解下列方程
（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
（3） （4）3x2-12x=-12
活动3：随堂训练
1、 用因式分解法解下列方程
（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0
（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
活动4：课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1） 将方程右边化为
（2） 将方程左边分解成两个一次因式的
（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程
（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1．方程的根是
2．方程的根是________________
3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
6．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．
7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）
A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2
8．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0
解一元二次方程习题课
学习目标
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。
重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
难点：理解四种解法的区别与联系。
复习提问
（1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
（2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
精讲点拨
观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙，，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。
练习一：分别用三种方法来解以下方程
（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0
用因式分解法： 用配方法：
用公式法： 用因式分解法：
用配方法： 用公式法：
练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0； （你用_____________法）
（2）x2－2x＝0； （你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1； （你用_____________法）
（6） 3x2＝4x. （你用_____________法）
对应训练
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
2、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16；
.4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
课堂小结
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
拓展提高
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
（A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2
2、试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0 （2）
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？
一元二次方程根的判别式(1)
学习目标
1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；
2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
导学流程
复习（5分钟）
利用公式法解解下列方程
（1）4x²-6x=0 (2)x²-6x+9=0 （3）x²-x+8=0
创设情境（1分钟）
不解方程你能判断解下列方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（x＋8）＝16 （4）（x＋2）（x－5）＝1；
这就是我们今天所要探究的内容。
自主学习（10分钟）
1、教材43—44页
2、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：（填相等或不相等）
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
3、想一想，我们运用了什么学习方法？
精讲点拨(2分钟)
1、这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
2、用一元二次方程的根的判别式判断方程根的情况一定注意
3、运用跟的判别式解决问题，如果二次项系数中含有字母，一定要考虑二次项系数不为0的条件。
合作交流（10分钟）
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（x＋8）＝16 （4）（x＋2）（x－5）＝1；
拓展提高（10分钟）
已知关于 的方程 ， 问 k 取何值时，这个方程
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
课堂小结（3分钟）
①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?
当堂检测（5分钟）
1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
课外思考
1、 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含字母，要考虑二次项系数不能为0这个条件。
2、已知：关于的方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
3、.已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
一元二次方程根与系数的关系(2)
学习目标
1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；4、培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
学习重点 根与系数的关系及其推导
学习难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
学习过程
一、复习引入
1.已知方程 x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值。
2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？
3．有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=.观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b 2-4ac与-b-√b 2-4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探索新知
解下列方程，并填写表格：
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程 x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结:1.根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p, x1. x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
（可以利用求根公式给出证明）
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
例3：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例4：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.
变式一：已知方程的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程的两根互为倒数，求k；
三、巩固练习
1.已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值.
2.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
四、应用拓展
1.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
2.已知两数和为8，积为9，求这两个数.
3. x2-2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6.是否正确？
五、归纳小结
1.根与系数的关系：
2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零.
六、布置作业
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。
（1）x2-5x-3=0 (2)9x+2= x2 (3) 6 x2-3x+2=0 (4)3x2+x+1=0
2. 已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.
3. 已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2求另一根及b的值.
课后反思：
一元二次方程根与系数的关系(2)
学习目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题；
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
4. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
教学重点:一元二次方程根与系数关系的灵活运用
学习难点: 某些代数式的变形
学习过程
一、复习引入
一元二次方程的根与系数的关系：
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，
那么：
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，
那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的应用
二、探索新知
例1. 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
三、巩固练习
1.已知方程的两个根为，求的值.
2.若m，n是方程的两个实数根,求代数式的值.
例2已知关于x的方程的两个实数根的平方和是11，求k的值.
提示：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零.
练习：若关于x的方程的两根是，且满足 ，
求实数m的值.
四、应用拓展
m为何值时,（1）方程有两个不相等的正数根？
（2）方程的两根异号？
五、归纳小结
1.利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来）
2.已知两根满足某种关系式，求字母的值.（注意判别式要大于等于零）
六、布置作业
已知x1， x2是方程5 x2-7x+2=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
(1) x12+x22 (2)( x1+x2)2 (3)
课后反思：
一元二次方程的应用(1)
教学目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究1：两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二、巩固练习（列出方程）
1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三、应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
四、课堂检测
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
一元二次方程 的应用(2)
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
导学流程：
一、复习引入
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是 元，总件数应是
解：设每张贺年卡应降价x元
二、自主探究：教材50页例2
三、练习教材50页的练习
四、提高练习
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?
五、小结：
六、课堂检测：
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有多少人．
2．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
3．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
一元二次方程的应用(3)
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元导学流程：
一、复习引入
说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式 （学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
三、、自主探究：教材51——52页例3
四、练习教材52页的练习
五、提高练习
1、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
思考： (1)本体中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
2、.如图22－3－4所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
六、小结
七、课堂检测
（一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
图22-10
（二）、综合提高题
1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3．谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
一元二次方程（复习课）
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程
回忆整理
1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。
例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是
___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________ （2）
（3） （4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。
4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5
4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2= ；x1 ·x2= ____________
例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________
交流提高
请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。
典例精析
例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
例2：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；(3)5x2－4x－12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x. （5）（x＋1）（x－1）＝
（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
巩固练习
1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：（1） x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ；
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)
7、在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，则参赛队有多少支队。
8、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
《一元二次方程》测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解为（ ）
A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2－2x－99=0化为(x－1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2－7t－4=0化为 D.3y2－4y－2=0化为
6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2 B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2－5xy－6y2=0（xy≠0）,则＝6或＝－1
D.若分式值为零，则x＝1，2
7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
9、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
10、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
11、方程的解是________,方程的解是__________。
12、若方程mx2+3x－4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
13、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x－6的值互为相反数，则x= .
14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解答题(每小题7分，共28分)
15、解方程： 16、解方程x2 —4x+1=0
17、解方程：3x2+5(2x+1)=0 18、解方程：3(x－5)2=2(5－x)
四、应用题
19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
20.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
21、（10分）已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。
22、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？
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