数学八年级上册第四章 一次函数4 一次函数的应用教学设计

4.4.2一次函数的应用

教学目标：

1．能通过函数图像获取信息，发展形象思维，培养学生的数形结合意识．

2．能利用函数图像解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力，培养学生良好的环保            意识和热爱生活的意识．

3．初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系．

教学重点：

一次函数图象的应用．

教学难点：                                                              正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题．

教法及学法指导：                                                                             1．教法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”

本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．另外，还可以引导学生结合图像理解函数的实际意义．

2．学法：通过分析实际情景，建立函数模型，并通过观察图像来确定函数的性质，最终能够结合函数图象及其性质解决实际问题．

课前准备：

教具准备：多媒体课件　三角板　彩笔

学生用具：三角板　铅笔等   

教学过程：

一 、创设情境，引入新课

师：水是生命之源，生活中我们处处离不开水！这里有一段有关水资源的资料，请一位同学读一下．

生:今年3月22日是第20个世界水日，今年世界水日的主题是“水与粮食安全 ”.水是生命之源．虽然地球70.8％的面积被水覆盖，但97.5％的水是海水，既不能直接饮用也不能灌溉．在余下的2.5％的淡水中，人类真正能够利用的不足世界淡水总量的1％．

生:听后，学生一篇感叹声．．．

师：由此可见，节约用水对我们的生活有多重要．请同学们观察下面这四幅图来反映了怎样的自然现象？

生1：土地在龟裂；

生2：水在减少导致干旱；

生3：干涸，水资源在减少，土地都裂了.

师：这几位同学说得很好．造成干旱的原因既有人为因素，也有自然因素．水在枯竭，如果我们还不珍惜，最后一滴水将与血液等价．

今天我们就一起针对节约用水的问题，从数学知识的角度来进行全面的分析，共同学习如何用一次函数的图象来帮助我们解决生活中的实际问题．

 板书课题：4.4一次函数的应用（2）

设计意图：通过水资源的资料和生活中的图片引入新课比较贴近生活，可以吸引学生的注意力，增强学生的社会使命感，调动了学生学习新课的兴趣. 激发学生的学习热情，引入课题．

二 、合作探究 ，学习新知

探究活动1 ：

师：（多媒体展示）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间(天)与蓄水量(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：

（1）上图反映的是                 和                   的函数图象.

（2）水库原有蓄水量是多少？

（3）干旱持续天，蓄水量为多少？连续干旱天呢？

（4）蓄水量小于时，将发出严重干旱警报，干旱多少天后将发出严重干旱警报？

（5）按照这个规律，预计持续多少天水库将干涸？

处理方式：先让学生独立思考，试试自己能否独立完成．然后小组交流讨论，教师巡视及时启发诱导，让学生学会识图．5分钟后学生展示．

师：时间到，下面哪位同学先来展示呢？

生1：图像反映的是蓄水量和干旱持续时间的函数图象．

生2：水库原有蓄水量1200万立方米．

师：为什么？说明理由．

生2：如图1因为水库原有蓄水量就是干旱开始时，

水库的最高蓄水量，即当时，的值．

 师：第三题呢？

生3：干旱持续10天，蓄水量为1000万立方米．

师：你是怎么得到的答案的呢？

生3：先找到10天，然后向x轴作垂线，交图象于一点，再过这一点向y轴作垂线，可以找到1000．

师：(通过多媒体演示)先在横轴上找到10天，并过这一点作横轴的垂线，与图象交于一点，过这一点作纵轴的垂线，得到蓄水量为1000万立方米．如图2.

师：23天呢？

生：700万立方米.

师：（通过多媒体演示）先在横轴上找到23天，并过这一点作横轴的垂线，与图象交于一点，过这一点作纵轴的垂线，得到蓄水量为700万立方米.

师：第四题呢？

生：40天.

师：你能演示一下吗？

生：（用实物展台演示）：先在纵轴上找到400，并过这一点作纵轴的垂线，与图象交于一点，过这一点作横轴的垂线，得到40天．如图3.

师：最后一问呢？

生：60天.

师：你是怎么得到的？

生：延长直线交横轴与一点，交点的横坐标即为所求.如图4.

师：大家说得非常棒，刚才我们用图象法解决了这个问题

还有其它的方法吗？

生：可以利用图象求出函数关系式．

师：很好！这位同学想到了利用数形结合的思想解决问题，那么该怎样做呢？

处理方式：学生在练习本上做，教师将一同学的解答过程通过展台进行展示．

解：设一次函数关系式：

把和代入中

解得

即：一次函数关系式：

师：我们用了图象法和关系式法两种方法解决了这个问题，你能对比一下这两种方法的优缺点吗？

生1：解析式法比较准确但是不直观．

生2：图象法比较直观但是不够准确．

师：这两个同学回答的非常好，掌声鼓励.（生响起一阵掌声！）

师：大家讲的都很好！我们从本题中得到哪些反思呢？

生1：通过对本题的探索，我们学会观察函数图象．

生2：通过本题的画面和探索，给我们带来了很大的震撼，我们要保护环境，珍惜水资源．

师：回答很好！如何解答实际情景函数图象的信息？

处理方式：由学生自由发挥，集体讨论然后师生共同总结得出：

1：理解横纵坐标分别表示的的实际意义．

2：分析已知（看已知的是自变量还是因变量），通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横、纵坐标的值读出要求的值．

3：利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定出“数”．

教师强调：仔细观察图象,弄清横轴和纵轴表示的意义,找出图象中的特殊点是解决问题的关键.

师：请同学们思考在上面的关系式里，k和b的实际意义是什么？

生：经过讨论得出k表示水库每天减少的蓄水量，b表示水库干旱前的蓄水量．

师：好!今天我们除了要学会利用图象信息解决实际问题也要了解k和b的实际意义．

设计意图：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，把整个探索过程交给小组去做，教师只作为一个协助者，让学生思考、讨论、从而得出结论，了解点的坐标的实际意义，培养了学生的识图能力.学生通过自己的观察、分析、合作，初步感受到数形结合的解题方法，同时对比掌握图形观察法与表达式计算法两种方法的优点及缺点，培养学生灵活应用不同方法解决问题的能力.

跟踪练习：

（出示课件）：一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含有备用零钱）的关系如图：

（1）农民自带的零钱有多少元？

（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

（3）降价后他每千元将剩余土豆售完，这是他手中的钱是元，问他带了多少千克土豆？

（问题一出，学生沸腾了．每看一条，学生都大胆回答．教师也参与其中，看他们是怎样做的，听他们是怎样说的．适时的指导一下，并收集平时比较内敛缺乏自信的几个学生，准备回答，给他们以鼓励．）

学生展示：

生1：农民带来的零钱是10元，从图像中我们发现所谓的零钱就是时，的值．

生2: 降价前他每千克土豆出售的价格是1.2元．观察图像可知包括零钱和出售土豆的钱，所以．

生3：他带了的土豆，由图像可知中包括零钱和降价前后售出的土豆钱，所以，然后再加上降价前的土豆即．

设计意图：通过跟踪练习，让学生进一步体会生活中一次函数图象的应用．同时，检验学生对已学内容掌握情况，为以后的学习作铺垫．另外，通过此题要学生体会到农民的不易，号召同学们珍惜现在的生活和学习.

探究活动2

（多媒体展示）某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量(升)与摩托车行驶路程(千米)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）该图反映的是                和          　　关系的函数图象．其中横轴表示              ，纵轴表示               .

（2）油箱最多可储油多少升？

（3）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

（4）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

（5）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警？

处理方式：因为在前面探索中已向学生介绍了如何识读一次函数图象，因此本题可放手让学生自己读图、识图，完成题中的问题，然后老师组织学生在班上交流．当学生有疑问时也可请求其他学生帮助解决．在答题过程中，老师适时地书写解答过程．

 解：观察图象，得

（1）该图反映的是油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系；其中横轴表示摩托车行驶路程，纵轴表示油箱中的剩余油量.

（2）当x=0时，y=10，此时表示： 摩托车的油箱最多可储油10升.

（3）当时，，此时表示:一箱汽油最多可供摩托车行行驶500千米．

  （4）x从0增加到100时，y从10减少到8，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．

  （5）当时，，因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．

设计意图：通过摩托车的油箱的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，进一步巩固用函数图像的思想解决生活中的问题．

三 、合作探索，再得新知

师：请大家看图填空

(1)当时，；

(2)直线对应的函数表达式是________________．

生1：观察图象可知当时，；

生2：直线过和

设表达式为，

根据题意，得

解之得：　

所以直线对应的函数表达式是

师：请大家根据刚做的练习来思考：一元一次方程与一次函数有什么联系？(问题一出，同学议论开来，各抒己见，议论纷纷.)

生1：一元一次方程的解为，一次函数包括许多点．因此是的特殊情况．

生2：当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解．

生3：函数与轴交点的横坐标即为方程的解．

师：大家说得非常好，一元一次方程与一次函数到底有什么联系？

师生总结：

从“数”的角度看，当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解；

从“形”的角度看，函数与x轴交点的横坐标即为方程的解．

设计意图：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，让学生明晰函数与方程的关系：从“数”的角度看，当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解；从“形”的角度看，函数与x轴交点的横坐标即为方程的解．使学生能用函数关系解决方程问题的同时也能用方程的观点来看待函数．

四、总结归纳，能力提升

师：本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获呢？

生1：我们学会了怎样从实际情景函数图象中获取信息．

生2：我们学会了利用函数图象解决简单的实际问题．

生3：我们初步认识到了方程与函数之间的联系．

学生畅所欲言，相互进行补充，从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用．

设计意图：培养学生的语言表达能力，让学生对本节所学的内容有个大体了解，使知识系统化，又能让学生在较短时间内及时回顾,快速复习了本节知识.

五 、能力检测，当堂达标

师：同学们一节课，快过去了，大家表现的都很棒，现在到了检验你们的时刻了．

（课件出示检测题）1．某植物天后的高度为厘米，图1中反映了与之间的关系，根据图象回答下列问题：

（1）3天后该植物的高度为多少？

（2）预测该植物12天后的高度；

（3）几天后该植物的高度为10厘米？

（4）图象对应的一次函数中，k和b的实际意义分别是什么？

2．全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积，沙漠面积，土地沙漠化的变化情况如图2所示．

（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？

（2）如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？

（3）如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到？

（3）一次函数的图象如图3所示，根据图象回答：当y=0时，x=_____；

方程的解是________．

点拨：

1．（1）3天后该植物高度为5厘米.

（2）预测该植物12天后的高度为11.4厘米.

（3）10天后该植物的高度为10厘米.

（4）k表示植物每天生长的高度，b表示植物的原始高度.

2．（1）如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米2．

（2）从图象可知，每年的土地面积减少2万千米2，现有土地面积100万千米2，100÷2=50，故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．

（3）如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米2沙漠，每年沙化2万千米2，实际每年改造面积2万千米2，由于，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．

3．利用一次函数与一元一次方程的关系得：当y=0时，x=-3；

方程的解是 x=-3．

设计意图：1、2题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题；第3题一元一次方程与一次函数联系. 及时检测学生的掌握情况，达到当堂达标的目的.

六、布置作业，落实目标f

1．必做题：课本92页习题4.6 第1，2题．

2．选做题：课本93页习题4.6 第3题．

设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备．

板书设计：

教学反思：

成功之处：在本节课的教学中,我坚持以学生为主体,采用自主探究、小组合作交流的教学模式．在教学过程中，首先有水资源的的资料引人，以干涸的水库为画面情境，贴近生活，引起学生的兴趣，从而激起学生的求知欲望．然后通过三个探究活动完成了对新课的认知．探究活动1先由学生小组内讨论学习，教师适当点拨，耐心地引导学生如何识图，尽量从图象上获取信息，找准图象上点的横坐标和纵坐标分别所表示的意义，使学生学会利用图象解决实际问题．对于探究活动2，我采用先独立完成，再小组讨论，然后找几名学生上台进行讲授并展示过程，使学生的问题通过学生自己解决，既培养了基础好的学生的语言表达能力，又培养了学生之间的合作交流意识，使学生在合作中得到发展，让学生成为学习的主体．探究活动3让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，让学生明晰函数与方程的关系，能用函数关系解决方程问题，同时也能用方程的观点来看待函数．通过层层练习，让学生进一步体会函数与方程、数与形的关系．三个探究活动顺利的完成了本节课的目标要求.

不足及努力方向：1.课堂组织语言还需要精炼；2.课堂时间把握不足，导致检测时间仓促，以后注意时间的分配要合理，更要精选题；3.为提高课堂效率应该给学生制定详细的预习计划，这样可以把课堂问题分流到课下解决，从而达到使课堂轻松顺利的目的.