数学北师大版1 两条直线的位置关系教学设计

《2.1两条直线的位置关系》

一、教学目标

1、知识与技能目标：

（1）理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用；

（2）通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识.

2、过程与方法目标：

（1）通过探究过定点的直线系的方程表示形式，对比分析两条直线平行时直线方程的系数关系，探究直线方程系数关系与直线位置关系的联系；

（2）理解用直线方程来研究直线位置关系的过程，并体会其中蕴含的数学思想方法.

3、情感、态度与价值观目标：

（1）通过精心设计适宜的教学情境，通过师生互动、生生互动的教学活动过程，让学生在师生和谐、互动的氛围中，愉快地、自然地、主动地接受新知识，形成体验性认识，体会成功的喜悦，从而提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度.

（2）通过学习，培养学生辩证思维的方法和能力，树立事物在一定的条件下可以相互转化的辩证唯物主义观点，以及严谨的治学精神.

二、教学重点和难点

教学重点：两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

教学难点：用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路．

三、教学过程

（一）创设情境，提出问题

从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件.

在直线方程中，取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？

回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点．

据此引导学生探究：

（1）该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？

（2）该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？

在直线方程中，当值固定，取遍所有实数，也可得无数条直线，这无数条直线又可以说成是什么样的直线系呢？

回答：该方程表示斜率为的平行直线系.

（二）自主探究，形成概念

对于直线  ，，同学们会得出：

∥

继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件.

已知两条直线的方程为

为此，我们解方程组

当时，得

因此，当时，方程组有唯一一组解.

这时，两条直线相交，交点的坐标就是

当时方程组无解.又由直线方程的一般形式可知不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也就是这两条直线平行.

如果则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可知两个方程表示同一条直线，即直线与重合.

通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件：

∥

.

（三）典例剖析，深化概念

例题1 已知直线 求证：当时，∥.

证明：因为 所以∥，或又因为

当时，由已知有，所以因此两条直线平行；当时，又直线方程的定义可知，于是两条直线方程变为这是两条与轴垂直的直线，所以它们平行或重合.又由于,所以它们是平行的直线.

结论：与直线平行的直线的方程可以表示成

例题2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：

（1）                   （2）

解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为

由于所求直线过点代入方程，得

因此所求直线方程为

（2）设所求的直线方程为

由于所求直线过点代入方程，得

因此，所求直线方程为

（四）课堂练习，学以致用

教材第39页做一做.

（五）课堂小结，认识升华

两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件.

若，，则

若

则

.

（六）课后作业，巩固提高