高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后测评

课时作业37　函数模型的应用

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数图象正确的是(　A　)

解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明是高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.

2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　B　)

A.y＝2x－2   B．y＝(x2－1)

C．y＝log2x   D．y＝logx

解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

3．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(　B　)

A．a12－1   B．(1＋a)12－1

C．a   D．a－1

解析：不妨设第一年1月份的产量为b，则2月份的产值为b(1＋a)，3月份的产值为b(1＋a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1＋a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a)12－1.

4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　A　)

A．10元   B．20元

C．30元   D.元

解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.

又SA(100)＝SB(100)，

∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，

于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，故选A.

5．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　C　)

A．10.5万元   B．11万元

C．43万元   D．43.025万元

解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，

所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.

因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或x＝11时，总利润取得最大值，最大值为43万元．

6．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为95元．

解析：设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．

∴当x＝95时，y最大．

7．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税，王老师写一本书共纳税420元，则这本书的稿费(纳税前)为3_800元．

解析：设纳税前稿费为x元，纳税为y元，由题意可知

y＝

∵此人纳税为420元，

∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800.

8．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是12h(车身长度不计)．

解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km所用的时间，因此t＝＝＋≥12，当且仅当＝，即v＝时取等号．故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.

9．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，再逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

解：(1)设该店月利润余额为L元，则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①

由题中销量图易得Q＝

代入①式得L＝

当14≤P≤20时，Lmax＝450元，

此时P＝19.5元；

当20<P≤26时，Lmax＝元，

此时P＝元．

故当P＝19.5元时，月利润余额最大，最大值为450元．

(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．

10.已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．

(1)根据图象求b，k的值；

(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．

解：(1)由题中图象知：

即解得

(2)当P＝Q时，有2(1－6t)(x－5)2＝2，

即(1－6t)(x－5)2＝11－⇒2(1－6t)＝＝＝－.

令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m.

∵x≥9，∴m∈(0，]．

当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，

即税率的最小值为.

——能力提升类——

11．下图表示的是一位骑自行车者与一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象(均从甲地出发到乙地)，由图中信息，判断以下说法正确的序号为(　B　)

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时，晚到1小时；

②骑自行车者是先变速运动再匀速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者出发后1.5小时后追上了骑自行车者．

A．①③  B．①②③

C．②③  D．①②

解析：说法①：由题中图象可知骑自行车者在骑摩托车者出发三个小时后才出发的，并比骑摩托车者提早到达一个小时；说法②：根据物理知识可以知道题中图象表示的是速度曲线，骑自行车者的图象是曲线，故表示的是变速运动，再匀速运动，骑摩托车者的图象是直线，故表示的是匀速运动；说法③：题中两图象的交点在4.5 h，并且在大于4.5 h之后骑摩托车者的图象在上方，即表示追上了骑自行车者，故骑摩托车者在出发了1.5 h后追上了骑自行车者．所以说法①②③都是正确的．

12．某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)，要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是(　C　)

A．y＝(x－50)2＋500

B．y＝10＋500

C．y＝(x－50)3＋625

D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]

解析：由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.

13．某景区提供自行车出租服务，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115>0，解得x>2.3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.

当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20，x∈Z.

∴y＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6<x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

∵270>185，

∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20<x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；

当20<x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

再由已知得解得

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝

(2)依题意及(1)可得f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)取得最大值，其最大值为60×20＝1 200；

当20<x≤200时，

f(x)＝x(200－x)≤2＝，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f(x)取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．