初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程第1课时教学设计

教

学

目

标

知　识

和

能　力

过　程

和

方　法

情　感

态　度

价值观

一、引言

    在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题

问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?

教学要点

1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；

2．学生解答，教师巡视指导；

3．让一两位同学板演，教师讲评。

问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?

教学要点

1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。

2．让学生完成解答，教师巡视指导。

3．教师分析存在的问题，书写解答过程。

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的  函数关系式为：y＝ax2  (a＜0)    (1)

因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得    －2.4＝a×0.82  所以：a＝－

因此，函数关系式是  y＝－x2    (2)

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。

(1)图象与x轴交点的坐标是什么；

(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?

(3)你能从中得到什么启发?

教学要点

1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。

2．教师巡视，与学生合作、交流。

3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。

4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。

5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。

6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

三、试一试

    根据问题3的图象回答下列问题。

    (1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?

    (当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)

    (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?    (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)

    想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?

    让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：

    (1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。

    (2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。

四、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?

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