初中人教版12.3 角的平分线的性质教案

《角的平分线的性质》

一、说教材

1、教材的地位及作用：

本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的作法和角平分线的性质定理。这节课的学习将为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后对圆的内心的学习作好知识准备.因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用 ，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。

2、教学目标：

根据《新课程》对本节课内容的要求，针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：

（1）知识与技能：

掌握作已知角的平分线的方法和角平分线性质；能运用角平分线及其性质解决有关的数学问题。

（2）过程与方法：

在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用；在学习过程中发展几何直觉，培养数学推理能力。

（3）情感态度：

培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的自信心。获得解决问题的成功体验，逐步发展培养学生的理性精神。

3、教学重点、难点：

根据教材的内容及作用确定本节课的教学

重点：角平分线的性质的证明及运用，

难点：角平分线的性质的探究

二、学情分析

学生具备基础的几何知识，有一定的推理能力，好奇心强，有探究的欲望，能在教师的引导下发现生活中的数学知识，并运用所学推出新知。

三、说教法

现代教学理论认为：在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我将借助多媒体，创设问题情景，采用 “启发诱导—探索发现”以及“讲练结合”的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的引导下发现、分析和解决问题，给学生留出足够的思考时间和空间，从真正意义上完成对知识的自我建构。

四、说学法

在教学中，学生始终是主体，教师只是起引导作用。学生的学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。学习者在一定情境中对学习材料的亲身经验和发现,才是学习者最有价值的东西.在教授知识的同时,必须设法教给学生好的学习方法,让他们 “会学习”.通过本节课的教学,让学生学会从生活实际中发现数学问题，探究原理并运用其解决问题;让学生学会引申、变更问题,以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力。让学生在观察、比较、分析、概括等活动中，体验知识的生成、发展与应用。

五、教学过程：

（一）创设情境 导入新课

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

设计目的：能聚拢学生的思维为新课的开展创造了良好的教学氛围。

（二）合作交流 探究新知

（活动一）探究角平分仪的原理。具体过程如下：

播放奥巴马访问我国的录像资料------引出雨伞-----观察它的截面图，使学生认清其中的边角关系-----引出角平分线；并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示，让学生直观感受伞面形成的角与主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪；并利用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理。

设计目的：用生活中的实例感知。以最近大事作引入点，以最常见的事物为载体，让学生感受到生活中处处都有数学，认识到数学的价值。其中设计制作角平分仪，可培养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。使学生很轻松的完成活动二。

（活动二）通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

    分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性。

    讨论结果展示：教师根据学生的叙述，利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法：

    已知：∠AOB．

    求作：∠AOB的平分线．

    作法：

    （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

    （2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

设计目的：使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣。

议一议：

    1．在上面作法的第二步中，去掉“大于 MN的长”这个条件行吗？

    2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

   设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。

   学生讨论结果总结：

    1．去掉“大于 MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

    2．若分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

    3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

    4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

   （活动三）探究角平分线的性质

思考：已知一角及其角平分线添加辅助线构成全等三角形；构成全等的直角三角形。这样的三角形有多少对？

这样设计的目的是加深对全等的认识，自然引出性质的证明图形及方法，符合由已知推导新知教学原则，也为后面涉及角平分线题型作辅助线起了潜移默化的作用。证明过程学生完全能够自己完成。

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥ OA于D，PE⊥ OB于E．

求证：PD＝PE．

引导分析PD、PE就是角平分线上的点到角的两边的距离。由学生归纳角平分线的性质定理，由此得到：

定理1  在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．

（角平分线的性质定理）

设计目的：培养学生的数学抽象概括能力及理性精神。

表达方式：

如图4，∵　P是∠AOB的平分线OC上一点，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，

　          ∴　PD＝PE．                                图4

设计目的：告诉学生运用性质定理的两个前提，使学生能够正确使用定理。

练习    

（1）判断正误，并说明理由：

①如图5，                            ②如图6，

∵ 　P是∠AOB的平分线   　　     　∵　PD⊥OA于D，

OC上任意一点，　　　　　　　       PE⊥OB于E，                　　　　　　　　　　

　 ∴　PD＝PE．                     　 ∴　PD＝PE．

图5                     　图6

（2）填空：如图7，△ABC中，∠C＝90°，

BD平分∠ABC，CD＝3cm，则点D到AB的距

离为          cm．

此设计旨在加深对性质的理解和学会初步的运用，突出本节重点。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图7

（三）、综合应用：

例题 已知：如图，∠1＝∠2，CD⊥AB于D，

BE⊥AC于E，BE、CD交于点O．

求证：OC=OB．

进一步提出：

（1）思考 不改变已知条件：

①图中还有哪些线段相等？

②图中有那些全等的三角形 ？

③若连结ED，则AO与ED有怎样的位置关系？

设计意图：本例对学生来说更具挑战性，既含新知又有旧知，旨在培养学生的综合运用能力、推理能力和数学思维的周密性；另外对一题的引申变化能激发学生对数学知识的深入探究；使教学达到举一反三，事半功倍的效果。让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力；使他们认识学数学不是题海战术而是思维的革命。

（2）思考                         　　　

在直角三角形中画出一个锐角的平分线，除前面的方法外，你还有其他方法吗？

设计意图：探索画角平分线的新方法，培养创新精神。

（四）巩固训练

 (1)已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相   交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

让学生加深对角平分线性质的理解，提高运用知识的能力，为后面解决与角平分线有关的实际问题的打下基础。

(五)小结

（1、你学习了什么？2、你学会了什么？3、你有什么疑惑？）

这样可以进一步培养学生的概括能力、语言表达能力，鼓励学生对本节知识归纳总结。既有知识的总结，又有方法的提炼，引导学生从多角度将本节知识归纳总结，感悟点滴，从而将知识系统化、条理化。

点学生应按由差生再中等生最后优生的顺序，这样差生有话说，后来优生讲时，他们也有思考的时间和空间。

两题均能考查学生对角平分线的性质的理解和运用，突出本节课的主旨。第二题是角平分线性质与直角三角形全等的综合运用，可培养学生的推理思维能力。第四题可以发展学生的直觉---------证点到线的距离相等可先证这点在角平分线上。

六、教学设计说明：

本节课我是以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则。情景引入，激发兴趣，学习过程体现自主，知识结构循序渐进，转化思想有机渗透，注重了师生互动共同发展的过程，给学生构建自主探究、合作交流的舞台，使他们在自主探究的过程中理解角的平分线的性质，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。