数学九年级下册9 弧长及扇形的面积课后复习题

初中数学·北师大版·九年级下册——第三章　圆

9　弧长及扇形的面积

测试时间:25分钟

一、选择题

1.(2021贵州毕节中考)某小区内的消防车道有一段弯道,如图,弯道的内外边缘均为圆弧,,所在圆的圆心为O,点C,D分别在OA,OB上.已知OC=12 m,消防车道宽AC=4 m,∠AOB=120°,则弯道外边缘的长为　              (　　)

A.8π m　　　　B.4π m　　　　C.π m　　　　D.π m

2.(2020湖北随州曾都期末)半径为6 cm的圆上有一段长度为2.5π cm的弧,则此弧所对的圆心角的度数为              (　　)

A.45°　　　　B.75°　　　　C.90°　　　　D.150°

3.(2019陕西渭南韩城期末)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在网格的格点上,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C',点C在AB'上,则的长为              (　　)

A.π　　　　B.　　　　C.7π　　　　D.6π

4.(2021陕西西安曲江一中模拟)如图,点C在以AB为直径的半圆上,O为圆心.若∠BAC=30°,AB=12,则阴影部分的面积为              (　　)

A.6π　　　　B.12π　　　　C.18π　　　　D.9+

5.(2021湖北武汉江岸模拟)如图,扇形AOB中,OA=2,C为上的一点,连接AC,BC,若四边形AOBC为平行四边形,则图中阴影部分的面积为              (　　)

A.-　　　　B.-2　　　　C.-　　　　D.-2

二、填空题

6.(2021浙江丽水期末)如图所示的图形叫弧三角形,又叫莱洛三角形,是机械学家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的:先画正三角形ABC,然后分别以点A,B,C为圆心,AB长为半径画弧.若正三角形ABC的边长为2 cm,则弧三角形的周长为　　　　. 

7.(2021浙江杭州翠苑中学二模)如图,AB为△ABC外接圆☉O的直径,AB=6,D为☉O上一点,∠ADC=30°,则劣弧BC的长为　　　　. 

8.(2020重庆中考A卷)如图,在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC的中点为O,分别以点A,C为圆心,以AO的长为半径画弧,分别与正方形的边相交,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π) 

9.(2020安徽合肥三模)如图,在△ABC中,AB=AC=2,以AB为直径的☉O交AC于E点,交BC于D点.若劣弧DE的长为,则∠BAC=　　　　. 

10.(2021山东烟台龙口模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,把△ABC绕AB边上的点D逆时针旋转90°得到△A'B'C',A'C'交AB于点E,若AD=BE,则阴影部分的面积是　　　　. 

三、解答题

11.(2021湖北武汉七一华源中学月考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=140°,∠CAO=60°,OA=4,求弧BC的长.

12.在学习扇形的面积公式时,同学们推得S扇形=,并通过比较扇形的面积公式与弧长公式l=,得出扇形面积的另一种计算方法S扇形=lR,接着老师让同学们解决以下两个问题:

问题Ⅰ:求弧长l为4π,圆心角为120°的扇形的面积;

问题Ⅱ:某小区设计的花坛形状如图中阴影部分所示,已知和所在圆的圆心都是点O,的长为l1,的长为l2,AC=BD=d,求花坛的面积.

(1)请你解答问题Ⅰ;

(2)在全班交流中,有位同学发现扇形面积公式S扇形=lR类似于三角形面积公式.类比梯形面积公式,他猜想花坛的面积S=(l1+l2)d.他的猜想正确吗?如果正确,写出推导过程;如果不正确,请说明理由.

13.(2021江苏淮安期末)如图,已知直线PA交☉O于A、B两点,AE是☉O的直径,点C为☉O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.

(1)求证:CD为☉O的切线;

(2)若∠AEC=30°,☉O的半径为10,求图中阴影部分的面积.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　C　∵OC=12 m,AC=4 m,∴OA=OC+AC=12+4=16(m),∵∠AOB=120°,∴弯道外边缘的长为=(m),故选C.

2.答案　B　设此弧所对的圆心角的度数为n°,由题意得2.5π=,解得n=75.故选B.

3.答案　A　根据题图知,∠BAB'=45°,AB=4,∴的长为=π,故选A.

4.答案　A　∵直径AB=12,点C在半圆上,∠BAC=30°,∴OA=OB=6,∠COB=60°,

∴S△AOC=S△BOC,∴阴影部分的面积=S扇形BCO==6π,故选A.

5.答案　D　如图,连接OC,过点A作AD⊥OC于点D,

∵四边形AOBC是平行四边形,OA=OB,

∴四边形AOBC为菱形,∴OA=AC=2.

又∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,

∴∠AOC=∠BOC=60°,

∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形,∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°.

∵AO=2,∴AD=OA×sin 60°=2×=,

∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOC=-2××2×=-2.故选D.

二、填空题

6.答案　2π cm

解析　∵△ABC是正三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴的长==(cm),则弧三角形的周长=×3=2π(cm),故答案为2π cm.

7.答案　2π

解析　如图,连接OC.

∵AB是直径,AB=6,∴OA=OB=3,

∵∠AOC=2∠ADC=60°,∴∠BOC=120°,∴的长==2π,故答案为2π.

8.答案　4-π

解析　题图中阴影部分的面积为正方形的面积与两个扇形面积和的差,易得AC==2,∴OA===,∴S阴影=22-2×π×()2=4-π,故答案为4-π.

9.答案　30°

解析　如图,连接AD,∵AB为☉O的直径,AB=2,∴∠ADB=90°,☉O的半径为AB=1,∴AD⊥BC,∵AB=AC=2,∴∠CAD=∠BAD.连接OE,OD,设∠DOE=n°,∵劣弧DE的长为,∴=,解得n=30,∴∠CAD=∠DOE=15°,∴∠BAC=2∠CAD=30°,故答案为30°.

10.答案　π-

解析　∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,

设AD=BE=x,则DE=5-2x,

∵△ABC绕AB边上的点D逆时针旋转90°得到△A'B'C',

∴∠BDB'=∠ADA'=90°,∠A'=∠A,DA'=DA=x,△ABC≌△A'B'C',

∴∠A'DE=∠ACB=90°,又∵∠A'=∠A,∴△A'DE∽△ACB,

∴=,即=,解得x=1.5,

∴A'D=1.5,DE=2,DB=3.5,

∴阴影部分的面积=S扇形BDB'-(S△A'B'C'-S△A'DE)=-=π-.

故答案为π-.

三、解答题

11.解析　如图,连接OC,∵OA=OC,∠CAO=60°,∴△AOC为等边三角形,

∴∠AOC=60°,∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=140°-60°=80°,则的长==π.

12.解析　(1)由弧长公式l=及该扇形的弧长l为4π,圆心角为120°,可得该扇形的半径R==6,所以S扇形=lR=12π.

(2)他的猜想是正确的.

设大扇形的半径为r1,小扇形的半径为r2,圆心角为m°,

则由弧长公式得r1=,r2=.

所以题图中花坛的面积为S大扇形-S小扇形=l1·r1-l2·r2

=l1·-l2·

=(-)=(l1+l2)(l1-l2)

=×·(l1+l2)

=(l1+l2)(r1-r2)=(l1+l2)d,

故他的猜想正确.

13.解析　(1)证明:如图,连接OC.

∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,

∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC,

∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.

∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,

又∵点C在☉O上,

∴CD是☉O的切线.

(2)∵∠AEC=30°,∴∠AOC=2∠AEC=60°,

∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,

∵☉O的半径为10,

∴等边△AOC的面积为×10×5=25,

扇形AOC的面积为=π,

∴图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积-等边△AOC的面积=π-25.