初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系第2课时课后练习题

初中数学·北师大版·九年级下册——第三章　圆

6　直线和圆的位置关系

第2课时

测试时间:20分钟

一、选择题

1.(2020上海嘉定一模)下列四个选项中,表述正确的是 (　　)

A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

2.(2021北京昌平期末)如图,以点P为圆心,以下列选项中的线段的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是　              (　　)

A.PA　　　　B.PB　　　　C.PC　　　　D.PD

3.(2021河北唐山路北期末)如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 (　　)

A.三条边的垂直平分线的交点　　　　　B.三条角平分线的交点

C.三条中线的交点　　　　　          D.三条高的交点

4.如图,点C是☉O上的一点,AB是☉O的直径,∠CAB=∠DCB,那么CD与☉O的位置关系是 (　　)

A.相交　　　　B.相离　　　　C.相切　　　　D.相交或相切

二、填空题

5.如图,A是☉O上一点,且PA=12,PB=8,OB=5,则PA与☉O的位置关系是　　　　. 

6.如图,☉O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则☉O的面积为　　　　. 

三、解答题

7.如图,AD是☉O的弦,AB经过圆心O,交☉O于点C,∠DAB=∠B=30°,求证:直线BD是☉O的切线.

8.(2021河南驻马店汝南期末)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且ME=NE=3.

(1)求证:BC是☉O的切线.

(2)若AE=4,求☉O的直径AB的长度.

9.(2020宁夏中考)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的☉O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB.

(1)求证:AE是☉O的切线;

(2)连接DE,若∠A=30°,求.

10.(2021山东烟台龙口五月模拟)如图,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠ACB的平分线交☉O于点D,∠BDE=∠ACD.

(1)求证:DE∥AB;

(2)求证:DE是☉O的切线;

(3)若AC=4,BC=3,求弦CD的长.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　C　经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,故A,B,D选项不正确,C选项正确,故选C.

2.答案　B　∵PB⊥l于B,∴以点P为圆心,以PB的长为半径的圆与直线l相切.故选B.

3.答案　B　∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到三边的距离相等,∴点O是△ABC的三条角平分线的交点.故选B.

4.答案　C　连接OC,如图所示.

∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO,

∵∠DCB=∠CAB,∴∠DCB=∠ACO,

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,

∴∠DCB+∠OCB=90°,

∴∠OCD=90°,即CD⊥OC,

∴CD为☉O的切线.故选C.

二、填空题

5.答案　相切

解析　如图,连接OA,∵PB=8,OB=5,∴OP=PB+OB=13,OA=OB=5,∴PA2+OA2=OP2,∴∠PAO=90°,即OA⊥PA,∴PA是☉O的切线.故答案为相切.

6.答案　

解析　如图,设BC切☉O于点D,连接OC,OD,

则∠OCD=∠ACB=×60°=30°,OD⊥BC,BD=CD=BC=×2=1.

∴OD=CD·tan∠OCD=1×=,

∴☉O的面积为π×=.

三、解答题

7.证明　如图,连接OD,∵OA=OD,∠DAB=∠B=30°,∴∠ODA=∠DAB=∠B=30°,

又∵∠BOD为△AOD的外角,∴∠BOD=∠DAB+∠ODA=60°,

∴∠ODB=180°-∠BOD-∠B=180°-60°-30°=90°,即OD⊥BD,

∵OD是☉O的半径,

∴直线BD是☉O的切线.

8.解析　(1)证明:∵ME=NE=3,∴AB⊥MN,

又∵MN∥BC,∴BC⊥AB,

∴BC是☉O的切线.

(2)连接OM,如图,

设☉O的半径是r,

在Rt△OEM中,OE=AE-OA=4-r,ME=3,OM=r,

∵OM2=ME2+OE2,

∴r2=32+(4-r)2,

解得r=,

∴AB=2r=.

9.解析　(1)证明:如图,连接OE.

∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.

∵OE=OC,∴∠ACE=∠OEC,

∴∠BCE=∠OEC,∴OE∥BC,

∴∠AEO=∠B.

又∵∠B=90°,∴∠AEO=90°,

∴OE⊥AE,∴AE是☉O的切线.

(2)解法一:∵CD是☉O的直径,∴∠DEC=90°=∠B.

又∵∠DCE=∠ECB,∴△DCE∽△ECB.

∴=.

∵∠A=30°,∴∠ACB=60°,∴∠DCE=∠ACB=×60°=30°.

∴=cos∠DCE=cos 30°=.

∴=.

解法二:设☉O的半径为r,在Rt△AOE中,∵∠A=30°,OE=r,∴AO=2r,

∵OD=r,∴D为AO的中点,∴DE=AO=r.

在Rt△ABC中,AC=AO+OC=3r,∠A=30°,∴BC=r.

在Rt△BCE中,BC=r,∠BCE=∠ACB=(90°-∠A)=30°,

∴BE=BC·tan 30°=r×=r,

∴=.

10.解析　(1)证明:∵=,∴∠ACD=∠ABD,

∵∠ACD=∠BDE,∴∠ABD=∠BDE,∴DE∥AB.

(2)证明:连接OD,如图,

∵CD平分∠ACB,∴=,∴∠AOD=2∠ACD=2∠BCD=∠BOD,

∵∠AOD+∠BOD=180°,∴∠AOD=∠BOD=90°,

∵DE∥AB,∴∠ODE=∠AOD=90°,

∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.

(3)∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∠ADB=90°,

由(2)知=,∴AD=BD,∴△ADB是等腰直角三角形.

∵BC=3,AC=4,∴AB===5,

∴AD=BD=AB= ,

∵四边形ADBC内接于圆O,∴∠DBE=∠DAC,

又∵∠BDE=∠ACD,∴△BDE∽△ACD,

∴==,∴=,

∴BE=,∴CE=CB+BE=,

∵∠BDE=∠ACD=∠DCE,∠DEB=∠CED,∴△DEB∽△CED,

∴=,∴DE2=BE·CE=×,

∴DE=,∴=,∴CD= .