考点19 函数与方程练习题

考点19 函数与方程

一、单选题

1．函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2-4x+4的图象的交点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

2．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内                    (　　)．

A．没有零点 B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点

3．函数在的零点个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

4．函数的图象和函数的图象的交点个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

6．函数在区间上的零点个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

7．已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

8．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

9．已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

10．已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是

A． B．[，] C．[，]{} D．[，）{}

11．已知函数,函数,则函数的零点的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

12．已知以为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

14．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．

15．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为____________.

16．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是          ．

参考答案

1．C

【详解】

在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.

2．B

【详解】

令，，则它们的图像如图

故选B

3．B

【分析】

令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.

【详解】

由，

得或，，

．

在的零点个数是3，

故选B．

【点睛】

本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．

4．C

【详解】

试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示：

由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.

考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．

5．B

【分析】

由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选B.

考点：函数与方程，函数的图象.

【详解】

6．D

【详解】

由，得或；其中，由，得，故.又因为，所以.所以零点的个数为个.故选D.

【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.

7．A

【详解】

试题分析：令，分别作出与的图像如下，

由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.

当与相切时，设切点为，

由，则切线方程为，

则，解得，此时

当直线在轴和直线及切线和直线之间时，

与图像产生两个交点，此时或

故答案选.

考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.

8．C

【详解】

分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

9．B

【详解】

试题分析：当时，若x接近时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述，

考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．

【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可．

10．C

【详解】

试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.

【考点】函数性质综合应用

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

11．A

【详解】

当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.

考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.

12．B

【详解】

因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得

令，则有

由

同样由与第三个半椭圆无交点，由可计算得

综上知．

13．．

【详解】

试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．

（方法二）显然，∴．令，则

∵，∴．结合图象可得或．

考点：方程的根与函数的零点．

14．

【分析】

由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围

【详解】

有两个零点，

有两个零点，即与的图象有两个交点，

由可得，或

①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意

②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意

③当时，函数单调递增，故不符合题意

④时，单调递增，故不符合题意

⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点

综上可得，或

故答案为：

【点睛】

本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．

15．

【详解】

试题分析：时取得最小值．即函数的图像的最低点为．

当时，由数形结合可知此时直线与的图像必有两个交点，故舍；

当时，要使直线与的图像只有一个交点，则有直线必过点，

即，解得．

综上可得．

考点：1函数图像交点问题；2数形结合思想．

16．（0,1）

【详解】

试题分析：函数的图象如下图所示：

由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，

即方程f（x）=k有两个不同的实根

考点：1．函数图像及性质；2．方程与函数的转化