考点20 导数的概念练习题

考点20 导数的概念

一、单选题

1．已知曲线在点处切线的斜率为8，

A． B． C． D．

2．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为

A．x-y-2=0 B．x+y-2=0 C．x+4y-5=0 D．x-4y-5=0

3．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）

A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15

4．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A．  B．  C．  D．

5．函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

7．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A．0 B．1 C．2 D．3

8．曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为

A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x

9．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（     ）.

A． B． C．2 D．1

10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为

A．－ B．0 C． D．5

11．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A． B．

C． D．

12．设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .

15．曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________

16．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

参考答案

1．D

【详解】

y′=4x3+2ax

由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,

∴a=-6.故选D.

2．B

【详解】

求导得斜率-1，代点检验即可选B.

，选B.

3．C

【详解】

y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．

即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.

4．C

【分析】

求导得,求出切线的斜率，从而得到切线的倾斜角.

【详解】

求导得

在点处的切线斜率.

所以切线的倾斜角为.

故选：C

【点睛】

本题考查导数的几何意义.属于基础题.

5．B

【分析】

求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

6．D

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

7．D

【详解】

D

试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解：，

∴y′（0）=a﹣1=2，

∴a=3．

故答案选D．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

8．A

【详解】

试题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．

解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，

∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，

∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），

即y=3x﹣1，

故选A．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．

9．C

【详解】

试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.

考点：导数的集合意义.

10．B

【解析】

试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数是上以5为周期的可导偶函数，所以因为是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0

考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R上的偶函数的性质

11．C

【分析】

先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.

【详解】

当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．

【点睛】

本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

12．A

【详解】

试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

13．

【分析】

求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.

【详解】

由，得，

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

【点睛】

求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

14．1

【详解】

函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，

切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，

l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.

故答案为1.

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

15．

【详解】

函数的导数为，所以在的切线斜率为

，所以切线方程为，即.

16．4.

【分析】

将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】

当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为．

【点睛】

本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.