1函数与方程思想（含解析版）练习题

这是一份1函数与方程思想（含解析版）练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

专题训练（一）
一、选择题
1．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1，3)　　　　　　　　 B．(－1，3)
C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3)
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S10－S4＝(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
3．(经典题)已知θ∈(0，π)，且sin(θ－)＝，则tan2θ＝(　　)
A. B.
C．－ D.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对x∈R均成立，则a2＋a4＝(　　)
A．40 B．60
C．80 D．－120
6．若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，则二面角A－PB－C的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
7．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝(x>0)的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是(　　)
A．π B.
C. D.
8．定义域为R的连续函数f(x)，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其导函数f′(x)满足(x－2)f′(x)>0，则当2 A．f(2a) C．f(log2a) 9．若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．(0，]
C．[，＋∞) D．(0，]
10．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
11．已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，若|PF1|·|PF2|＝n，则(　　)
A．n＝12 B．n＝24
C．n＝36 D．n≠12且n≠24且n≠36
12．若方程x2－x－m＝0在x∈[－1，1]上有实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－ B．－ C．m≥ D．－≤m≤
13．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|＝，则弦长|AB|为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
14．定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足>x，则下列不等式成立的是(　　)
A．3f(2)<2f(3) B．3f(4)<4f(3)
C．2f(3)<3f(4) D．f(2)<2f(1)
二、填空题
15．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，3)，且a⊥(ta＋b)，则实数t＝________．
16．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，则a＝________．
17．已知(x＋)n的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4的系数为________．
18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c，过右焦点，且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2(e为双曲线的离心率)，则e的值为________．
19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为________．
20．已知函数f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，若存在实数m，使得f(m－sinx)≤f(－＋cos2x)对定义域内的一切实数x均成立，则实数m的取值范围为________．

1．对于函数f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤　　　　　　　 B．m≥
C．m≤1 D．m≥1
2．方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝lnan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　)
A．126 B．130
C．132 D．134
4．已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．g(a)<0 C．0 6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2S3＝a4－1，2S2＝a3－1，则公比q＝________．
7．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
8．若数列{an}的通项公式为an＝×()n－3×()n＋()n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________．

专题训练(一)
一、选择题
1．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1，3)　　　　　　　　 B．(－1，3)
C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3)
【答案】　C
【解析】　由题意得，f′(x)＝3x2－1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝3x02－1＝2，解得x0＝±1，从而P(－1，3)或P(1，3)．
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S10－S4＝(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
【答案】　B
【解析】　依题意，得2(a4＋2)＝a2＋a5，又a1＝2，故4q3＋4＝2q＋2q4，因为q>0，故q＝2，故S10－S4＝2 046－30＝2 016.
3．(经典题)已知θ∈(0，π)，且sin(θ－)＝，则tan2θ＝(　　)
A. B.
C．－ D.
【答案】　C
【解析】　由sin(θ－)＝，得(sinθ－cosθ)＝，sinθ－cosθ＝.
解方程组得或
因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－，故选C.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】　A
【解析】　依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.选A.
5．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对x∈R均成立，则a2＋a4＝(　　)
A．40 B．60
C．80 D．－120
【答案】　D
【解析】　令x＝0得a0＝－1， ①
令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1， ②
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－243， ③
由①②③联立解得a2＋a4＝－120.
6．若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，则二面角A－PB－C的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，0，1)，＝(，1，0)，＝(，0，0)，＝(0，－1，1)．
方法一：设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则
⇒
⇒
令x＝1，则m＝(1，－，0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则
⇒
⇒
令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)．
∴cos〈m，n〉＝＝.
方法二：设PB的中点为D，则
＝(＋)＝(，－，)．
∵·＝(，－，)·(，1，－1)＝0，
∴⊥.
作AE⊥PB于E，设＝λ＝(λ，λ，－λ)，
∴＝＋＝(λ，λ，－λ＋1)．
∵⊥，
∴·＝(λ，λ，－λ＋1)·(，1，－1)
＝4λ－1＝0，
∴λ＝.
∴＝(，，)．
设二面角A－PB－C的大小为θ，则
cosθ＝＝
＝＝.
7．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝(x>0)的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是(　　)
A．π B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　∵y＝(x>0)，∴yx2－2x＋y＝0，将其视为关于x的一元二次方程，设x1，x2是其两根，∴绕x轴旋转而成的几何体的体积V＝πy2|x1－x2|＝πy2·＝2π≤π，当且仅当y2＝，即y＝时等号成立，故选A.
8．定义域为R的连续函数f(x)，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其导函数f′(x)满足(x－2)f′(x)>0，则当2 A．f(2a) C．f(log2a) 【答案】　D
【解析】　∵对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴x＝2是f(x)的对称轴，又∵(x－2)f′(x)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x<2时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又∵2 由f(2＋x)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，
∴f(log2a)＝f(4－log2a)，由1 ∴f(2) 即f(2) 9．若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．(0，]
C．[，＋∞) D．(0，]
【答案】　C
【解析】　根据题意，函数y＝ax2与函数y＝ex的图像在(0，＋∞)上有公共点，令ax2＝ex，得a＝.设f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝2，
当0 当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上是增函数，
所以当x＝2时，函数f(x)＝在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝，所以a≥，故选C.
10．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
【答案】　A
【解析】　不妨设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)，由于l1⊥l2，所以×(－)＝－1，则x2＝.又切线l1：y－lnx1＝(x－x1)，l2：y＋lnx2＝－(x－x2)，于是A(0，lnx1－1)，B(0，1＋lnx1)，所以|AB|＝2.联立，解得xP＝.所以S△PAB＝×2×xP＝，因为x1>1，所以x1＋>2，所以S△PAB的取值范围是(0，1)，故选A.
11．已知F1，F2是双曲线M：－＝1的焦点，y＝x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，若|PF1|·|PF2|＝n，则(　　)
A．n＝12 B．n＝24
C．n＝36 D．n≠12且n≠24且n≠36
【答案】　A
【解析】　由题意易得，双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，不妨设|PF1|>|PF2|，从而可知⇒⇒|PF1|·|PF2|＝n＝12.
12．若方程x2－x－m＝0在x∈[－1，1]上有实根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－ B．－ C．m≥ D．－≤m≤
【答案】　D
【解析】　m＝x2－x＝(x－)2－，x∈[－1，1]．
当x＝－1时，m最大为，当x＝时，m最小为－，
∴－≤m≤.
13．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|＝，则弦长|AB|为(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
【答案】　D
【解析】　抛物线C的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，可得y0＝＝＝(k·－2k)＝，x0＝y02＝，可得P(，)，∵|PF|＝，∴＝，解得k2＝2，因此x1＋x2＝4，根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋2＝6.
14．定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足>x，则下列不等式成立的是(　　)
A．3f(2)<2f(3) B．3f(4)<4f(3)
C．2f(3)<3f(4) D．f(2)<2f(1)
【答案】　A
【解析】　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f′(x)<0，又∵>x，∴f(x)0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(3)>g(2)，即>，即3f(2)<2f(3)，A正确．
二、填空题
15．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，3)，且a⊥(ta＋b)，则实数t＝________．
【答案】　－2
【解析】　∵a⊥(ta＋b)，∴a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝5t＋10＝0，t＝－2.
16．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，则a＝________．
【答案】　－2
【解析】　由不等式可得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)(x－)<0，由解集特点可得a<0，且＝－，所以a＝－2.
17．已知(x＋)n的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中x4的系数为________．
【答案】　7
【解析】　(x＋)n的展开式中前三项的系数分别为Cn0，Cn1×，Cn2×()2，由已知得Cn0＋Cn2×()2＝2Cn1×，得n＝8，(x＋)8的展开式的通项Tr＋1＝C8rx8－r×()r＝C8rx8－2r×()r，令8－2r＝4，得r＝2，因而展开式中x4的系数为C82×()2＝7.
18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c，过右焦点，且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2(e为双曲线的离心率)，则e的值为________．
【答案】　
【解析】　因为斜率为1的直线过右焦点，且与双曲线的右支交于两点，故该直线的斜率大于双曲线过一、三象限的渐近线的斜率，即<1，b c2<2a2，故e2<2.又抛物线y2＝4cx的准线为x＝－c，所以准线x＝－c与双曲线的一个交点是(－c，be2)，代入双曲线的方程得－＝1，即2e4－9e2＋9＝0，解得e2＝或e2＝3(舍去)，故e＝.
19．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为________．
【答案】　(－4，0)
【解析】　设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为(，)，代入欧拉直线得，－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0　①.AB的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，联立解得所以△ABC的外心为(－1，1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，所以点C的坐标为(－4，0)．
20．已知函数f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，若存在实数m，使得f(m－sinx)≤f(－＋cos2x)对定义域内的一切实数x均成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】　{m|m＝－或≤m≤3}
【解析】　依题意得
即
因为sinx的最小值为－1，－cos2x的最小值为，－(sinx－)2的最大值为0，故要满足题意，应有解得m＝－或≤m≤3，所以实数m的取值范围为{m|m＝－或≤m≤3}．

1．对于函数f(x)＝4x－m·2x＋1，若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤　　　　　　　 B．m≥
C．m≤1 D．m≥1
【答案】　B
【解析】　若存在实数x0，使得f(－x0)＝－f(x0)，
则4－x0－m·2－x0＋1＝－4x0＋m·2x0＋1，
整理得2m(2x0＋2－x0)＝ 4x0＋4－x0，
2m＝＝
＝2x0＋2－x0－，
设2x0＋2－x0＝t(t≥2)，2m＝t－，其在[2，＋∞)上为增函数，当t＝2时，2m＝1，m＝，所以m≥，故选B.
2．方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
【答案】　A
【解析】　由原式得m＝x－，设＝t(t≥0)，
则m＝1－t2－t＝－(t＋)2，
∴m＝－(t＋)2在[0，＋∞)上是减函数．
∴t＝0时，m的最大值为1.
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝lnan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　)
A．126 B．130
C．132 D．134
【答案】　C
【解析】　∵{an}是各项不为0的正项等比数列，
∴bn＝lnan是等差数列．
又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2.
∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n.
∴(Sn)max＝S11＝S12＝－112＋23×11＝132.
4．已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
【答案】　A
【解析】　如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.
则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为

l＝＝.
令f(h)＝＋h2，
则f′(h)＝－＋2h＝，
令f′(h)＝0，解得h＝2.
显然当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；
当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增．
所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，
故其侧棱长的最小值l＝＝2.
5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．g(a)<0 C．0 【答案】　A
【解析】　首先确定a，b的范围，再根据函数的单调性求解．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)是增函数．
∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝＋2x>0.
∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数．
∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴0 ∵g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴10，g(a)<0.
6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2S3＝a4－1，2S2＝a3－1，则公比q＝________．
【答案】　3
思路　本题主要考查了等比数列的通项公式、前n项和公式以及性质等基础知识，考查了方程思想与计算能力．
【解析】　设数列{an}的首项为a1，公比为q，因为2S3＝a4－1，2S2＝a3－1，所以解得q＝0(舍)或q＝3.
7．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
【答案】　[1，＋∞)
【解析】　利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解．
设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x，a－x2)，＝(－x，a－x2)．
由于∠ACB＝，所以·＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，
整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，
即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.
所以解得a≥1.
8．若数列{an}的通项公式为an＝×()n－3×()n＋()n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________．
【答案】　2
【解析】　设()n＝t，则an＝t3－3t2＋t，且t∈(0，]．
令f(t)＝t3－3t2＋t，则f′(t)＝8t2－6t＋1.
令f′(t)＝0，得t1＝，t2＝，由导数知识可知t＝时，函数f(t)在区间(0，]上取得最大值，即an有最大值．再由()n＝，得n＝2，即m＝2.