课时质量评价13　函数与方程练习题

这是一份课时质量评价13　函数与方程练习题，共7页。
A组 全考点巩固练
1．函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
B 解析：由题知函数f (x)是增函数．根据函数零点存在定理及f (0)＝－2＜0，f (1)＝e－2>0，可知函数f (x)在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B．
2．函数f (x)＝1－xlg2x的零点所在区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1，2)D．(2，3)
C 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \f(1,4)lg2eq \f(1,4)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,2)lg2eq \f(1,2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)>0，f (1)＝1－0>0，f (2)＝1－2lg22＝－10)的图象如图所示．
由图可知函数f (x)在定义域内的零点个数为2.
6．设f (x)在区间[－1,1]上单调递增，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0时，f (x)有一个零点，需－a0.综上，01，02.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min，即m≤4.所以实数m的取值范围为(2,4]．
16．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，0≤x≤1，,|lnx－1|，x>1.))若方程f (x)＝kx－2有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
[3，＋∞) 解析：由题意知函数f (x)的图象与恒过定点(0，－2)的直线y＝kx－2有两个交点，作出y＝f (x)与y＝kx－2的图象，如图所示．
当直线y＝kx－2过点(1,1)时，k＝3.
结合图象知，当k≥3时，直线与y＝f (x)的图象有两个交点．
17．已知a∈R，函数f (x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a)).
(1)当a＝5时，解不等式f (x)＞0；
(2)若函数g(x)＝f (x)＋2lg2x只有一个零点，求实数a的取值范围；
解：(1)当a＝5时，f (x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋5)).
由f (x)＞0，即lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋5))＞0，可得eq \f(1,x)＋5＞1，解得x＜－eq \f(1,4)或x＞0.
即不等式f (x)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪(0，＋∞)．
(2)g(x)＝f (x)＋2lg2x＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))＋2lg2x＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))·x2(其中x＞0)．
因为函数g(x)＝f (x)＋2lg2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解，
即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．
①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意．
②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1.
当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意；
当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点，
则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)＞0，,Δ＝1＋4a＝0，))解得a＝－eq \f(1,4) .
综上可得，实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))∪[0，＋∞)．