知识讲解_函数与方程_提高练习题

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函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点

两个不相等的实根
两个零点

两个相等的实根
一个二重零点

无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：
①当x1＜x2＜k时，有；
②当k＜x1＜x2时，有；
③当x1＜k＜x2时，；
④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；
⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．
①；
②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1. 求下列函数的零点.
(1) ；
(2)；
（3）．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2．
【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1) 由，令，得，故函数零点是-3，1；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；
(3)令，即，
即，得，故函数的零点是-2，0，2．
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）；（2）-3，1，2．
【解析】(1) 令，即，得．
(2)方程可化为

由知
所以函数的零点为；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
【变式2】已知函数，当时，函数的零点,则 ．
【答案】2 .
【解析】用数形结合法
作出 及的图象，
作出 及的图象
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
类型二、函数零点的存在性定理
例2．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D．（e，+∞）
【答案】 B
【解析】 从已知的区间（a，b）中，求和，判断是否有．
∵，，∴在（1，2）内无零点，A错；
又，∴，
∴在（2，3）内有一个零点．
【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否满足，还要看函数的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
利用函数零点的存在性定理判定函数的零点（或方程的实根）所在的大致区间，有时比用数形结合（即作出两函数y=ln x与的图象，再确定两图象交点的横坐标所在的大致区间）更简捷，因此要善于灵活运用函数零点的存在性定理来分析解决问题．
举一反三：
【高清课程：函数与方程377543 例3】
【变式1】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
【变式2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 ．

-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09

1
2
3
4
5
【答案】
【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7,39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于，所以根所在的最小区间为（1，2）．
【高清课程：函数与方程377543 例5】
【变式3】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：
①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
类型三、利用函数图象求函数的零点个数
例3．已知函数，－1是函数F（x）=f（x）+2的一个零点，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立，求实数a，b的值．
【思路点拨】根据－1是F（x）的一个零点知F（－1）=lgb－lga+1=0，而由对任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立可得：恒成立．所以，带入lga=lgb+1可得：，所以便得到b=10，a=100．
【答案】a=100，b=10
【解析】由已知条件知，F（－1）=0；
∴lgb－lga+1=0；
又f（x）≥2x恒成立，有恒成立；
∴；
由将 lgb－lga+1=0得，lga=lgb+1；
∴；
∴；
故lgb=1，即b=10，则a=100．
【总结升华】考查函数零点的概念，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及对数的运算．
举一反三：
【变式1】关于x的方程(x2―1)2―|x2―1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】 据题意令|x2－1|=t（t＞0） ①，
则原方程化为 t2―t+k=0 ②，
作出函数y=|x2―1|的图象如图，结合函数的图象可知：
当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的实根；
当0＜t＜1时，方程①有4个不等的实根；
当t=1时，方程①有3个不等的实根．
（1）当时，方程t2―t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；
（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；
（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；
（4）当k＜0时，一元二次方程t2―t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2―t+k=0的正根t＞1，故原方程只有2个不等的实根；
（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．
故选A．

类型四、一元二次方程根的分布
例4．（2016 广州模拟）已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）―f（x）=2x―1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）―mx的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．
【思路点拨】（1）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）―f（x）=2x―1，求出a，b，得到函数的解析式．
（2）求出函数f（x）的对称轴，然后求解，列出关系式即可求解实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3），若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．
【答案】（1）；（2）（－∞，5）；（3）
【解析】（1）由f（0）=2，即c=2，
又f（x+1）―f（x）=2x―1，得2ax+a+b=2x―1，
故，解得：a=1，b=―2，
所以．
（2），对称轴为x=1∈[―1，2]，
又f（―1）=5，f（2）=2，所以=f（―1）=5．
关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]有解，则t＜=5，
所以实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3），若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，
则满足
解得：，所以实数m的取值范围为．
【总结升华】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
例5．若二次函数y=―x2+mx―1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】
【解析】 先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m范围．
线段AB的方程为x+y=3（0≤x≤3），
由题意得方程组有两组实解．
①代入②得x2－(m+1)x+4=0（0≤x≤3）有两个实根，
令．因此问题转化为二次函数在x∈[0，3]上有两个不同的实根，故有
，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f(x)在[0，3]的实根，又转化为二次函数f(x)在[0，3]上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型五、用二分法求函数的零点的近似值
例6.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
【答案】1.7
【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式1】根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

【思路点拨】令，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．
【答案】C
【解析】由上表可知，
令，
则f（－1）≈0.37+1－2＜0，
f（0）=1－0－2=－1＜0，
f（1）≈2.72－1－2＜0，
f（2）≈7.39－2－2＞0，
f（3）≈20.09－3－2＞0．
故f（1）f（2）＜0，
故选：C．



类型六、用二分法解决实际问题
例7． 学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问30名工人如何分组（一组制作课桌，一组制作椅子）能使任务完成最快？
【答案】 13人 、17人
【解析】 设x（1≤x≤29，x∈N）名工人制作课桌，（30－x）名工人制作椅子．一名工人在一个单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间，制作200把椅子所需要的时间．要想任务完成最快，则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象如图3-1-2-5中实线部分所示，则x0即为y取最小值时的x的值．此时P(x)=Q(x)，下面用二分法的知识求x0的整数值．
令，则，，所以x0∈（1，29）；取中点，f(15)≈－0.38＜0，所以x0∈（1，15）；同理可得x0∈（8，15），x0∈（11.5，15），x0∈（11.5，13.25），x0∈（12.375，13.25），x0∈（12.375，12.8125），又因为x0∈N，所以x0=12或x0=13．当x0=12时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.19；当x0=13时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.18＜1.19，所以取x0=13，即用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快．
【总结升华】首先将问题转化为求函数的最值问题，然后用二分法求方程的解．本题也可以直接求方程的解．
举一反三：
【变式1】 某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】 （1）3200；（2）11%
【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f (x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．