2022年中考复习基础必刷40题专题28等腰三角形

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题28等腰三角形，共32页。试卷主要包含了 如图，在中，，，，则， 如图，中，，．则的度数为， 如图，厂房屋顶人字形等内容，欢迎下载使用。


1. 如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60∘到AQ．连接DQ，则线段DQ的最小值为（ ）

A.52B.52C.533D.3

2. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为( )
A.22B.17C.17或22D.26

3. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42∘方向上，在海岛B的北偏西84∘方向上．则海岛B到灯塔C的距离是( )
A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

4. 如图，在中，，，，则( )

A.B.C.D.

5. 如图，中，，．则的度数为( )

A.100∘B.90∘C.80∘D.70∘

6. 如图，在△中，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为( )

A.50∘B.40∘C.30∘D.20∘

7. 如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≅的是( )

A.B.
C.D.

8. 如图，∠MAN＝63∘，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（ ）

A.54∘B.63∘C.117∘D.126∘

9. 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36∘，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）

A.5sin36∘米B.5cs36∘米C.5tan36∘米D.10tan36∘米

10. 如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ）

A.4cmB.3cmC.2cm

11. 如图，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点．∠CDE=18∘，则∠GFE的度数是（ ）

A.50∘B.48∘C.45∘D.36∘

12. 如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是( )

A.∠DAE=30∘B.∠BAC=45∘C.EFFB=12D.ADAB=32

13. 如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AD平分∠BAC，DE // AB，AD=3，CE=5，则AC的长为（ ）

A.9B.8C.6D.7

14. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65∘，点D是BC边上任意一点，过点D作DF//AB交AC于点E，则∠FEC的度数是( )

A.120∘B.130∘C.145∘D.150∘

15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC=2cm，则∠A的度数为( )

A.30∘B.25∘C.15∘D.10∘

16. 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2−6x+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A.7B.7或6C.6或−7D.6

17. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为( )
A.13B.17C.13或17D.13或10

18. 如图，在△ABC中，∠A=40∘，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（ ）

A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘

19. 已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为( )
A.2B.3C.4D.43

20. 如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C=65∘，则∠DBC的度数是( )

A.25∘B.20∘C.30∘D.15∘

21. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=________​∘．


22. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为________．


23. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50∘，则∠A的大小为________．

24. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60∘，∠ACB=60∘，BC=48米，则AC=________米．


25. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35∘，则∠BAD=________度．


26. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为________．


27. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有________个．

28. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，且BC＝BD＝AD，则CDBC的值为________．


29. 如图，BE是半径为6的⊙D的14圆周，C点是BE上的任意一点， △ABD是等边三角形则四边形ABCD的周长P的取值范围是________


30. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为________．


31. 如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB=∠CDB=60∘，AC=23，则⊙O的面积是________．


32. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是________．

33. 如图，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动（如图1）；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动（如图2），…，每次旋转的角度都不大于120∘，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．


34. 已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC=∠ABD=30∘，AB=4，AC=AD=22，则CD长为_________．

35.
(1)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则该等腰三角形的周长为________.

(2)已知等腰三角形的两边长分别是4和5，则周长是________.

36. 如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．

(1)M是CD的中点，OM=3，CD=12，求圆O的半径长；

(2)点F在CD上，且CE=EF，求证：AF⊥BD．

37. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC，CN于D，M两点．

(1)求证：MD=MC；

(2)若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．

38. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

(1)求证：AE=AB；

(2)若AB=10，BC=6，求CD的长．

39. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：△ABD≅△ACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由．

40. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．

(1)求证：BF=DF；

(2)若AC=4，BC=3，CF=1，求半圆O的半径长．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题二十七_等腰三角形
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
等边三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
A
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质与判定
【解析】
题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：分两种情况：
当腰为4时，4+4<9，
所以不能构成三角形；
当腰为9时，4+9>9，
所以能构成三角形，
周长是：9+9+4＝22．
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
三角形的外角性质
等腰三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
根据题意得：∠CBD=84∘，∠CAB=42∘，
∵∠C=∠CBD−∠CAB=42∘=∠CAB，
∴BC=AB，
∵AB=15海里/时×2时=30海里，
∴BC=30海里，
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
平行线的判定
等腰三角形的判定
【解析】
先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到|∠BCD.
【解答】
解：AB=AC,∠A=40∘
∠B=∠ACB=70∘
：CDIIAB，
∠BCD=∠B=70∘
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
圆周角定理
等腰三角形的判定
【解析】
首先根据弧、弦、圆心角的关系得到|AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得
∠BOC=2×A，进而可得答案．
【解答】
解：AB→=AC→
AB=AC
∴ ∠ABC=∠ACB=70∘
∴A=180∘−70∘×2=40∘
圆O是△ABC的外接圆，
∠BOC=2∠A=40∘×2=80∘
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的判定
【解析】
由作图过程可知BC=BD，根据等边对等角得到∠BCD=∠BDC=70∘，则∠ACD的度数即可求解．
【解答】
ΔA=50∘，可得∵B=40∘
BC=BD
∠BCD=∠BDC
∠B+∠BCD+∠BDC=180∘
∠BCD=70∘
∠ACD=90∘−70∘=20∘
故选：D．
7.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的判定
【解析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【解答】
解：A、若添加AD=AE，由于AB=AC∠A是公共角，则可根据SAS判定△ABE≅ACD，故本选项不符合题意；
B、若添加BE=CD，不能判定△ABE≅ACD，故本选项符合题意；
C、若添加∠ADC=∠AEB，由于∵AB=AC,2A是公共角，则可根据AAS判定△ABE≅ACD，故本选项不符合题意；
D、若添加∠DCB=∠EBCAB=AC2ABC=∠ACB，…∠ABE=∠ACD，由于∵AA是公共角，则可根据ASA判定△ABE
□ACD，故本选项不符合题意．
故选：B．
8.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质与判定
【解析】
由作图知BA＝BC，利用等边对等角的性质即可得出答案．
【解答】
由作图可知BA＝BC，
∴ ∠A＝∠BCA＝63∘，
9.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
此题暂无解析
【解答】
AB=AC,AD⊥BC,BC=10米，
DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36∘
∴ tan36∘=ADBD，即AD=BD⋅tan36∘=5ttan36∘（米）．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质
切线的性质
【解析】
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
【解答】
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵ △ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴ △ABC的高为23cm，
∴ OC=3cm，
又∵ ∠ACB＝60∘，
∴ ∠OCF＝30∘，
在Rt△OFC中，可得FC=32cm，
即CE＝2FC＝3cm．
11.
【答案】
B
【考点】
直角三角形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
矩形的性质
等边三角形的性质
【解析】
由矩形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60∘，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90∘，AB // CD，AB＝CD，可得∠DAE＝∠CBE＝30∘，由锐角三角函数可求cs∠DAC＝＝，由“SAS”可证∴ △ADE≅△BCE，可得DE＝CE＝CD＝AB，通过证明△ABF∽△CEF，可得，通过排除法可求解．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，
∴ AB=AE=BE，∠EAB=∠EBA=60∘，AD=BC，∠DAB=∠CBA=90∘，AB // CD，AB=CD，
∴ ∠DAE=∠CBE=30∘，故选项A不合题意；
∴ cs∠DAE=32=ADAE=ADAB，故选项D不合题意；
在△ADE和△BCE中，
∠DAE=∠CBEAE=BEAD=BC，
∴ △ADE≅△BCE(SAS)，
∴ DE=CE=12CD=12AB，
∵ AB // CD，
∴ △ABF∽△CEF，
∴ CEAB=EFBF=12，故选项C不合题意.
故选B.
13.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质与判定
平行线的性质
角平分线的定义
【解析】
根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝BAC＝60∘，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠ADE＝60∘，∠DEC＝∠BAC＝120∘，推出△ADE是等边三角形，于是得到结论．
【解答】
解：∵ ∠BAC=120∘，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60∘.
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD=∠ADE=60∘，
∠DEC=∠BAC=120∘，
∴ ∠AED=60∘，
∴ ∠ADE=∠AED=60∘，
∴ △ADE是等边三角形，
∴ AE=AD=3，
∴ AC=AE+CE=3+5=8.
故选B.
14.
【答案】
B
【考点】
平行线的判定
三角形内角和定理
等腰三角形的性质
【解析】
根据等腰三角形的性质可得1，进一步即可求出结果．
【解答】
解：∵ AB=AC，∠C=65∘，
∴ ∠B=∠C=65∘，
∴A=180∘−∠B−∠C=50∘.
∵ DF//AB，
∴ ∠DEC=∠A=50∘，
∴ ∠FEC=130∘.
故选B．
15.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
等边三角形的性质与判定
【解析】
连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【解答】
解：连接OB和OC，
∵ 圆O半径为2，BC=2，
∴ △OBC为等边三角形，
∴ ∠BOC=60∘，
∴ ∠A=30∘.
故选A.
16.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的性质
一元二次方程的解
【解析】
当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即Δ=−62−4×k+2=0，解方程即可得到结论．
【解答】
解：当m=4或n=4时，
42−6×4+k+2=0，解得k=6，
当m=n时，
Δ=(−6)2−4×(k+2)=0，解得k=7，
综上，k=6或7.
故选B.
17.
【答案】
B
【考点】
等腰三角形的性质
三角形三边关系
【解析】
等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：①当腰是3，底边是7时，
3+3<7，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，
则其周长为3+7+7=17.
故选B.
18.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的性质
平行四边形的性质
【解析】
根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，∠A=40∘，AB=AC，
∴ ∠C=(180∘−40∘)÷2=70∘，
∵ 四边形BCDE是平行四边形，
∴ ∠E=∠C=70∘．
故选D.
19.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
等边三角形的性质
【解析】
根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【解答】
解：根据等边三角形的三线合一性质：
设它的边长为x，可得：x2=x22+232，
解得：x1=4，x2=−4（舍去）.
故选C．
20.
【答案】
D
【考点】
等腰三角形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=65∘，
∴∠A=180∘−65∘×2=50∘.
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=15∘.
故选D.
二、 填空题 （本题共计 15 小题 ，每题 3 分 ，共计45分 ）
21.
【答案】
30
【考点】
等边三角形的性质
线段垂直平分线的性质
三角形的外角性质
【解析】
根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60∘，从而可得∠B的度数．
【解答】
解：∵ EF垂直平分BC，
∴ BF=CF，
∴ ∠B=∠BCF，
∵ △AFC是等边三角形，
∴ ∠AFC=60∘，
∴ ∠B=∠BCF=12∠AFC=30∘．
故答案为：30．
22.
【答案】
5
【考点】
等腰三角形的性质
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】
解：∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，BD=CD=6，
∴ ∠ADB=90∘，
∴ AB=AD2+BD2=82+62=10.
∵ AE=EB，
∴ DE=12AB=5.
故答案为：5.
23.
【答案】
80∘
【考点】
等腰三角形的性质
【解析】
根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180∘列式进行计算即可得解．
【解答】
解：∵ AB=AC，∠B=50∘，
∴ ∠C=∠B=50∘，
∴ ∠A=180∘−2×50∘=80∘．
故答案为：80∘．
24.
【答案】
48
【考点】
等边三角形的性质与判定
【解析】
根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】
解：∵ ∠ABC=60∘，∠ACB=60∘，
∴ ∠BAC=60∘，
∴ △ABC是等边三角形.
∵ BC=48米，
∴ AC=48米．
故答案为：48.
25.
【答案】
40
【考点】
等腰三角形的性质
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】
解：∵ AD=DC，
∴ ∠DAC=∠C=35∘，
∴ ∠ADB=∠DAC+∠C=70∘．
∵ AB=AD，
∴ ∠B=∠ADB=70∘，
∴ ∠BAD=180∘−∠B−∠ADB=180∘−70∘−70∘=40∘．
故答案为：40.
26.
【答案】
9
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
【解析】
利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≅△CAE后即可求得CE的长．
【解答】
解：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
在△BAD和△CAE中，
∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠B=∠C，
∴ △BAD≅△CAE，
∴ CE=BD=9.
故答案为：9.
27.
【答案】
8
【考点】
正多边形和圆
等边三角形的判定
【解析】
在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．
【解答】
解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
故答案是：8．
28.
【答案】
5−12
【考点】
等腰三角形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB，再由BC＝BD＝AD，∠ABC平分∠B，即可推出∠A＝∠ABD＝∠DBC，∠C＝∠BDC＝∠ABC，可求得∠ABC＝2∠A，∠C＝2∠A，然后根据三角形内角和定理即可推出∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36∘，∠C＝∠BDC＝∠ABC＝72∘，求出BCAB=5−12，通过求证△BDC∽△ABC，推出CDBC=BCAB．
【解答】
设CDBC=CDAD=x，
∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠ACB，
∵ BC＝BD＝AD，BD的平分∠ABC，
∴ ∠A＝∠ABD＝∠DBC，∠C＝∠BDC＝∠ABC，
∴ ∠ABC＝2∠A，∠C＝2∠A，
∴ ∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36∘，∠C＝∠BDC＝∠ABC＝72∘，
∵ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∴ △BCD∽△ABC．
∴ BCCD=ACBC，
又BC＝BD＝AD，
∴ AD2＝AC⋅DC．
∵ AD2＝AC⋅DC，CDBC=CDAD=x，AC＝AD+CD，
∴ AD2＝(AD+CD)⋅CD，
AD2＝(AD+x⋅AD)⋅x⋅AD，
x(1+x)＝1，
x2+x−1＝0，
x=−1±52（负值舍去）．
即x=−1+52，
29.
【答案】
18【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABD是等边三角形
∴ AB+AD+CD=18，得P>18
∵ BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE=62
∴ P≤18+62
∴ p的取值范围是18故答案为：1830.
【答案】
1+2
【考点】
作角的平分线
等腰三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
31.
【答案】
4π
【考点】
等边三角形的性质与判定
圆周角定理
三角形的外接圆与外心
【解析】
由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60∘，所以∠A＝∠ACB＝60∘，得到△ACB为等边三角形，又AC＝23，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．
【解答】
解：∵ ∠A=∠BDC，
而∠ACB=∠CDB=60∘，
∴ ∠A=∠ACB＝60∘，
∴ △ACB为等边三角形，
∵ AC=23，
∴ 圆的半径为2，
∴ ⊙O的面积是4π.
故答案为：4π.
32.
【答案】
1
【考点】
旋转的性质
生活中的旋转现象
等边三角形的性质与判定
【解析】
根据旋转的性质可得AE=AC.∠CAE=70∘，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出DEC的度数，再根据锐角三
角函数的定义即可求出答案．
【解答】
解：由旋转的性质可知：AE=AC,∠CAE=70∘
∠ACE=∠AEC=55
又：∠AED=∠ACB∠CAB=55∘,∠ABC=25
∠ACB=∠AED=100∘
∠DEC=100∘−55∘=45∘
tan∠DEC=tan45∘=1
故答案为：1
33.
【答案】
560π
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质
轨迹
【解析】
先求出第一次到第六次旋转的路径的长分别是多少，探究规律后即可解决问题．
【解答】
第一次旋转的路径长为120π⋅1180=23π，
第二次旋转的路径长为30π⋅1180=16π，
第三次旋转的路径长为0，
第四次旋转的路径长为16π，
第五次旋转的路径长为23π，
第六次旋转的路径长为0，
…
由此发现每三次旋转的路径和为23π+16π=56π．
2016÷3＝672，
∴ 完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为672×56π＝560π．
34.
【答案】
23,±2，4，26
【考点】
等腰三角形的性质
角平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图1，满足条件的△ABC与△ABD的形状为如下两种情况，点C，D不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；
如图2，△ABC≅△ABD，此时，BC=BD，由题可知：
∠CBD=∠ABC+∠ABD=30∘+30∘=60∘，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ CD=BC，
过A点作AE⊥BC ，垂足为E点，
在Rt△ABE中，AB=4,∠ABC=30∘，
∴ AE=12AB=2，
BE=42−22=23；
在Rt△ACE中，CE=AC2−AE2=222−22=2；
∴ BC=23+2；
如图3，△ABC≅△ABD，此时， BC=BD ，
由题可知：∠CBD=∠ABC+∠ABD=30∘+30∘=60∘，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ CD=BC，
过A点作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△ABM中，∵ AB=4,∠ABC=30∘，
∴ AM=12AB=2，
BM=42−22=23，
在Rt△ACM中，CM=AC2−AM2=222−22=2；
（同理可得到图4和图5中的BD=23−2,DF=2 BF=23．
∴ CD=BC=BM−CM=23−2，
如图4，由上可知：CD=CF+FD=CF+BF−BD=2+23−23−2=4，
如图5，过D点作DN⊥BC ，垂足为N点，
∵ ∠CBD=∠ABC+∠ABD=30∘+30∘=60∘，
∴ ∠BDN=30∘，
∴ 在Rt△BDN中，BN=12BD=1223−2=3−1，
DN=BN⋅tan60∘=33−1=3−3，
CN=CB−BN=23+2−3−1=3+3，
∴ 在Rt△DCN中，CD=NC2+DN2=3+32+3−32=26，
综上可得：CD的长为23±2，4，26，
故答案为：23,±2，4，26
35.
【答案】
20
13或14
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
20
13或14
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
(1)解：连接OC，如图，
∵ OM平分CD，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=90∘，
∵ CD=12，
∴MC=6，
在Rt△OMC 中，OC=MC2+OM2
=62+32
=35.
（2）∵ CE=EF, AB⊥CD，
∴ AF=AC, ∠1=∠3,
∵ ∠B=∠C ，
∴ ∠3+∠C=∠2+∠B， ∠3=∠2，
∴ ∠1=∠2，
∵ ∠1+∠B=∠2+∠B=90∘ ，
∴ AF⊥BD.
【考点】
垂径定理
勾股定理
等腰三角形的性质：三线合一
线段垂直平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：连接OC，如图，
∵ OM平分CD，
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=90∘，
∵ CD=12，
∴MC=6，
在Rt△OMC 中，OC=MC2+OM2
=62+32
=35.
（2）∵ CE=EF, AB⊥CD，
∴ AF=AC, ∠1=∠3,
∵ ∠B=∠C ，
∴ ∠3+∠C=∠2+∠B， ∠3=∠2，
∴ ∠1=∠2，
∵ ∠1+∠B=∠2+∠B=90∘ ，
∴ AF⊥BD.
37.
【答案】
解：(1)连接OC.
∵ CN为⊙O的切线，
∴ OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90∘.
∵ OM⊥AB，
∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴ MD=MC；
(2)由题意可知AB=5×2=10，AC=45.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ BC=102−(45)2=25.
∵ ∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴ △AOD∼△ACB，
∴ ODCB=AOAC，即OD25=545，
可得：OD=2.5.
设MC=MD=x.
在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52，
解得：x=154，即MC=154．
【考点】
等腰三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定
切线的性质
勾股定理
【解析】
（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】
解：(1)连接OC.
∵ CN为⊙O的切线，
∴ OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90∘.
∵ OM⊥AB，
∴ ∠OAC+∠ODA=90∘.
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∴ ∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴ MD=MC；
(2)由题意可知AB=5×2=10，AC=45.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ BC=102−(45)2=25.
∵ ∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴ △AOD∼△ACB，
∴ ODCB=AOAC，即OD25=545，
可得：OD=2.5.
设MC=MD=x.
在Rt△OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52，
解得：x=154，即MC=154．
38.
【答案】
(1)证明：连接AC，OC，如图，
∵ CD为切线，
∴ OC⊥CD.
∵ CD⊥AD，
∴ OC // AD，
∴ ∠OCB=∠E.
∵ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠B，
∴ ∠B=∠E，
∴ AE=AB.
(2)解：∵ AB为直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ AC=102−62=8，
∵ AB=AE=10，AC⊥BE，
∴ CE=BC=6，
∵ 12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴ CD=6×810=245．
【考点】
切线的性质
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
三角形的面积
【解析】
（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC // AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90∘，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．
【解答】
(1)证明：连接AC，OC，如图，
∵ CD为切线，
∴ OC⊥CD.
∵ CD⊥AD，
∴ OC // AD，
∴ ∠OCB=∠E.
∵ OB=OC，
∴ ∠OCB=∠B，
∴ ∠B=∠E，
∴ AE=AB.
(2)解：∵ AB为直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ AC=102−62=8，
∵ AB=AE=10，AC⊥BE，
∴ CE=BC=6，
∵ 12CD⋅AE=12AC⋅CE，
∴ CD=6×810=245．
39.
【答案】
(1)证明：∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD≅△ACE(SAS).
(2)解：△BOC是等腰三角形.
理由如下：
∵ △ABD≅△ACE，
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，
∴ ∠OBC=∠OCB，
∴ BO=CO，
∴ △BOC是等腰三角形．
【考点】
等腰三角形的判定
全等三角形的判定
全等三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD≅△ACE(SAS).
(2)解：△BOC是等腰三角形.
理由如下：
∵ △ABD≅△ACE，
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，
∴ ∠OBC=∠OCB，
∴ BO=CO，
∴ △BOC是等腰三角形．
40.
【答案】
(1)证明：连接OD，如图1.
∵ 过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴ ∠ODF=90∘，
∴ ∠ADO+∠BDF=90∘.
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ ∠OAD+∠BDF=90∘.
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠OAD+∠B=90∘，
∴ ∠B=∠BDF，
∴ BF=DF.
(2)解：连接OF，OD，如图2.
设圆的半径为r，则OD=OE=r.
∵ AC=4，BC=3，CF=1，
∴ OC=4−r，DF=BF=3−1=2.
∵ OD2+DF2=OF2=OC2+CF2，
∴ r2+22=(4−r)2+12，
∴ r=138，
故圆的半径为138．
【考点】
切线的性质
等腰三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90∘，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90∘，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4−r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】
(1)证明：连接OD，如图1.
∵ 过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴ ∠ODF=90∘，
∴ ∠ADO+∠BDF=90∘.
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ ∠OAD+∠BDF=90∘.
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠OAD+∠B=90∘，
∴ ∠B=∠BDF，
∴ BF=DF.
(2)解：连接OF，OD，如图2.
设圆的半径为r，则OD=OE=r.
∵ AC=4，BC=3，CF=1，
∴ OC=4−r，DF=BF=3−1=2.
∵ OD2+DF2=OF2=OC2+CF2，
∴ r2+22=(4−r)2+12，
∴ r=138，
故圆的半径为138．